Если в заданной конфигурации жидкости и твердых стенок постепенно увеличивать число Рэлея, то наступит момент, ког- да состояние покоя жидкости становится неустойчивым по от- ношению к сколь угодно малым возмущениям х) . В результате возникает конвекция, причем переход от режима чистой тепло- проводности в неподвижной жидкости к конвективному режиму совершается непрерывным образом. Поэтому зависимость числа Нуссельта от 1Z при этом переходе не испытывает скачка, а лишь излом. Теоретическое определение критического значения 7?кр долж- но производиться по схеме, уже объясненной в § 26. Повторим ее здесь применительно к данному случаю. Представим Т1 и р1 в виде Т1 = ТЬ + т, р = р'о + pw, E7.1) где Tq и р'о относятся к неподвижной жидкости, а т и w — возму- щение. Tq и p'q удовлетворяют уравнениям ^ 0, dz2 dz Из первого имеем Tq = — Az, где А — постоянная; в интересую- щем нас случае подогрева жидкости снизу эта постоянная А > 0. В уравнениях E6.4), E6.5) малыми величинами являются v (невозмущенная скорость отсутствует), т и w. Опустив квадра- тичные члены и рассматривая возмущения, зависящие от време- ни как e~iujt, получим уравнения: —шлг = — Ww + z/Av — /3rg, —гиот — Avz = x^ri divv = 0. Целесообразно записать эти уравнения в безразмерном виде, вве- дя следующие единицы измерения всех фигурирующих в них ве- личин: для длины, частоты, скорости, давления и температуры это будут соответственно /i, ^//i2, vjh, pu2/h2 и Ahv/x- Ниже в этом параграфе (а также в задачах к нему) все буквы обо- значают соответствующие безразмерные величины. Уравнения принимают вид -ioov = -\/w + Av + Urn, E7.2) -гоитР = At + vz, E7.3) divv = 0 E7.4) ) He смешивать эту неустойчивость с конвективной неустойчивостью, о которой шла речь в § 28! § 57 КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 311 (п —единичный вектор в направлении оси z, — вертикально вверх). Здесь ясно выступают безразмерные параметры 1Z и Р. Если граничащие с жидкостью твердые поверхности поддержи- ваются при постоянных температурах, то на них должны выпол- няться условия х) v = О, т = 0. E7.5) Уравнения E7.2)-E7.4) с граничными условиями E7.5) опре- деляют спектр собственных частот ио. При 1Z < 1ZKp их мнимые части 7 = Im cj < 0 и возмущения затухают. Значение 1ZKp опре- деляется моментом, когда (по мере увеличения 1Z) впервые по- является собственное значение частоты с j > 0; при 1Z = 7?Кр значение j проходит через нуль. Задача о конвективной неустойчивости неподвижной жид- кости обладает той спецификой, что все собственные значения гио вещественны, так что возмущения затухают или усиливают- ся монотонно, без колебаний. Соответственно, и возникающее в результате неустойчивости неподвижной жидкости устойчивое движение стационарно. Покажем это для жидкости, заполняю- щей замкнутую полость, с граничными условиями E7.5) на ее стенках 2) . Умножим уравнения E7.2) и E7.3) соответственно на г>* и т* и проинтегрируем их по объему полости. Проинтегрировав члены v*Av и т*Ат по частям 3) и заметив, что интегралы по поверхности полости обращаются в нуль в силу граничных усло- вий, получим -ш f\v\2dV= I\-\ rot v|2 +HTV$)dV, E7.6) -гшР Г \т\2 dV = A-|Vr|2 + t*vz) dV. Вычитая из этих равенств их комплексно-сопряженные, 1)Мы рассматриваем простейшие граничные условия, отвечающие иде- ально теплопроводящим стенкам. При конечной теплопроводности стенок к системе уравнений должно было бы быть добавлено еще и уравнение рас- пространения тепла в стенке. Мы не рассматриваем также случаев, когда жидкость имеет свободную поверхность. В таких случаях, строго говоря, должна была бы учитываться деформация поверхности в результате возму- щения, и появляющиеся при этом силы поверхностного натяжения. ) В этом выводе и дальнейшей формулировке вариационного принципа мы следуем B.C. Сорокину A953). ) С использованием равенств v* Av = — v* rot rot v = div [v* rot v] — | rot v|2, r* At = div (r* Vr) — |Vr| , vAw = div (wv). 312 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ ГЛ. V находим -г(ш + ш*) Г |v|2 dV = U f(rv*z - t*vz) dV, -i(o; + o;*)P f \r\2 dV = - Г(rv*z - r*vz) dV. Наконец, умножив второе равенство на 1Z и сложив с первым, получим Reo; /(|v|2 + ?гР|т|2) dV = 0. В виду существенной положительности интеграла, отсюда сле- дует искомый результат Re о; = 0 х) . Отметим, что при А < < 0 (жидкость подогревается сверху), чему формально отвечает 1Z < 0, интеграл мог бы обращаться в нуль и гио могло бы быть комплексным. Вернемся к равенствам E7.6). Умножив теперь второе на 1Z и сложив с первым, получим для инкремента j = —ш следующее выражение: -7 = J/N, E7.7) где J и N обозначают интегралы J = /[(rot vJ + ?г(УтJ - 21Zrvz] dV, N = /(v2 + ПРт2) dV E7.8) (функции v и т предполагаются вещественными). Как извест- но, задача о собственных значениях самосопряженных линейных дифференциальных операторов допускает вариационную фор- мулировку, основанную именно на выражении вида E7.7), E7.8). Рассматривая J и N как функционалы по отношению к функ- циям v и т, потребуем экстремальности J при дополнительных условиях divv = 0 и TV = 1; последнее играет роль «условия :)С математической точки зрения, изложенный вывод сводится к дока- зательству самосопряженности системы уравнений E7.2)—E7.4). С физиче- ской точки зрения, происхождение этого результата можно пояснить сле- дующими соображениями. Пусть при возмущении элемент жидкости сме- щается, например, наверх. Попав в окружение менее нагретой жидкости, он будет охлаждаться за счет теплопроводности, оставаясь все же более нагре- тым, чем окружающая среда. Поэтому действующая на него сила плавуче- сти будет направлена вверх и элемент будет продолжать движение в том же направлении — затухающее или ускоряющееся в зависимости от соотноше- ния между градиентом температуры и диссипативными коэффициентами. В обоих случаях ввиду отсутствия «возвращающей силы» колебания не воз- никают. Отметим, что при наличии свободной поверхности возвращающая сила возникает за счет поверхностного натяжения, стремящегося сгладить деформированную поверхность; при учете этой силы сделанные утвержде- ния уже не справедливы. § 57 КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 313 нормировки». По общим правилам вариационного исчисления, составляем вариационное уравнение 6 J + jSN - f 2w6(div v) dV = О, E7.9) где константа 7 и функция w® играют роль лагранжевых не- определенных множителей. Вычислив входящие сюда вариации (произведя при этом интегрирования по частям с учетом гранич- ных условий E7.5)) и приравнивая нулю выражения при неза- висимых вариациях блг и 8т, действительно получим уравнения E7.2), E7.3). Значение J, вычисленное по поставленной таким образом вариационной задаче, определяет согласно E7.7) наи- меньшее значение —j = —71, т. е. инкремент наиболее быстро усиливающихся (или декремент наименее быстро убывающих — в зависимости от знака 7) возмущений. По смыслу его вывода, критическое значение 7?кр определяет границу устойчивости по отношению к бесконечно малым возму- щениям. Но для задачи о конвективной устойчивости неподвиж- ной жидкости оказывается, что это число является в то же время границей устойчивости по отношению к любым конечным возму- щениям х) . Другими словами, при TZ < TZKp не существует ника- ких незатухающих со временем решений уравнений движения, за исключением состояния покоя. Покажем это (В. С. Сорокин, 1954). Для конечных возмущений уравнения движения должны быть написаны в виде Vw + Av + Птп - (vV)v, P— = At + vz- PvVt, dt dt E7.10) отличающемся от E7.2), E7.3) нелинейными членами. Продела- ем с этими уравнениями в точности те же операции, которые были произведены выше с уравнениями E7.2), E7.3) при выводе соотношений E7.6) и E7.7). Ввиду равенства div v = 0, нелиней- ные члены сводятся к полным дивергенциям: v(vV)v = div f —v j, t(v\7)t = div f — v j и при интегрировании выпадают. Поэтому мы получим в резуль- тате соотношение 1 dN т Говоря о возмущениях конечной интенсивности, мы имеем здесь в ви- ду возмущения, для которых в уравнениях E6.4), E6.5) нельзя пренебре- гать нелинейными членами, но в то же время по-прежнему удовлетворяются условия, поставленные при выводе этих уравнений. 314 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ ГЛ. V отличающееся от равенства jN = — J E7.7) лишь тем, что вмес- то произведения 7^V" теперь стоит производная по времени. В си- лу сформулированного выше вариационного принципа, для лю- бых функций v и т будет — J ^ 7i^- Поэтому откуда N(t) ^ 7V@)e27lt. E7.11) Но в надкритической {1Z < 7^кр) области все полученные по ли- нейной теории инкременты, в том числе наибольший из них 7ъ отрицательны. Поэтому из E7.11) следует, что N(t) —>> 0 при t —>> —>> 00, а ввиду существенной положительности подынтегрального выражения в N стремятся к нулю также и сами функции v и т. Вернемся к вопросу о вычислении TZKp. Поскольку все соб- ственные значения ш вещественны, то равенство 7 = 0 при TZ = — 7^-кр означает, что и uj = 0. Значение 7^кр определяется тогда как наименьшее из собственных значений параметра 1Z в системе уравнений Av - Vw + TZrn = 0, E7.12) At = —vz, divv = 0 (эта задача тоже допускает вариационную формулировку— см. задачу 2). Обратим внимание на то, что ни сами уравнения E7.12), ни граничные условия к ним не содержат числа Р. Поэто- му и определяемое ими критическое число Рэлея для заданной конфигурации жидкости и твердых стенок не зависит от веще- ства жидкости. Наиболее простой и в то же время теоретически важной яв- ляется задача об устойчивости слоя жидкости между дву- мя неограниченными горизонтальными плоскостями, из кото- рых верхняя поддерживается при более низкой температуре, чем нижняя. Для этой задачи удобно привести систему E7.12) к одному уравнению 2) . Применив к первому уравнению операцию rot rot = = Vdiv—А, взяв затем его ^-компоненту и воспользовавшись двумя другими уравнениями, получим E7.13) Впервые поставленная экспериментально Бенаром (Н. Вёпаг, 1900) и рассматривавшаяся теоретически Рэлеем (Rayleigh, 1916). ) Вещественность iu для этой задачи была доказана Пелью и Саутвеллом (A. Pellew, R.V. Southwell, 1940). § 57 КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 315 (где А2 = д2/дх2 + д2/ду2 —двумерный лапласиан). Граничные условия на обеих плоскостях: г = О, vz = 0, — = 0 при z = 0, 1 OZ (последнее эквивалентно, ввиду уравнения непрерывности, усло- виям vx = vy = 0 при всех ж, у). Ввиду второго из уравнений E7.12) условия для vz можно заменить условиями для высших производных от т: я*2 ' dzs dz Ищем т в виде т = /(гМя, У), V = eikr E7.14) (где к — вектор в плоскости ху) и получаем для f(z) уравнение Общее решение этого уравнения представляет собой линейную комбинацию функций ch/jz и sh/i?, где с тремя различными значениями корня. Коэффициенты этой комбинации определяются граничными условиями, приводящими к системе алгебраических уравнений, условие совместности ко- торых дает трансцендентное уравнение, корни которого и опре- деляют зависимости к = кп(И), п = 1, 2, ... Обратные функции 1Z = 1Zn(k) имеют минимум при определенных значениях к] наи- меньший из этих минимумов и дает значение 7^кр г) . Оно оказы- вается равным 1708, причем соответствующее значение волново- го числа ккр = 3,12 в единицах 1/h (H. Jeffreys, 1908). Таким образом, горизонтальный слой жидкости толщины h с направленным вниз градиентом температуры А становится не- устойчивым при 2) ^^- > 1708. E7.15) "X Детали вычислений можно найти в кн.: Г.3. Гершуни, Е.М. Жуховицкий. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1972, а также в указанных на с. 145 книгах С. Чандрасекхара и Дразина и Рейда. ) При заданном значении А это условие во всяком случае выполняется при достаточно большом h. Во избежание недоразумений следует напомнить, что речь идет здесь лишь о таких высотах /г, при которых несущественно изме- нение плотности жидкости под влиянием поля тяжести. Поэтому к высо- ким столбам жидкости этот критерий неприменим. В таком случае следует применять критерий, полученный в § 4, из которого видно, что конвекция может отсутствовать при любой высоте столба, если градиент температуры не слишком велик. 316 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ ГЛ. V При 1Z > 7^Кр в жидкости возникает стационарное конвектив- ное движение, периодическое в плоскости ху. Все пространство между плоскостями разделяется на прилегающие друг к другу одинаковые ячейки, в каждой из которых жидкость движется по замкнутым траекториям, не переходя из одной ячейки в другую. Контуры этих ячеек на граничных плоскостях образуют в них некоторую решетку. Значение ккр определяет периодичность, но не симметрию этой решетки; линеаризованные уравнения дви- жения допускают в E7.14) любую функцию (р(х, у), удовлетво- ряющую уравнению (А2 — к2)ср = 0. Устранение этой неодно- значности в рамках линейной теории невозможно. По-видимо- му, должна осуществляться «двумерная» структура движения, в которой на плоскости ху имеется лишь одномерная периодич- ность—система параллельных полос .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Конвективная неустойчивость неподвижной жидкости» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Говоря о возмущениях конечной интенсивности, мы имеем здесь в ви- 