Существенную часть силы сопротивления, испытываемой хо- рошо обтекаемым крылом (конечного размаха), составляет со- противление, связанное с диссипацией энергии в тонком турбу- лентном следе. Это сопротивление называют индуктивным. В § 21 было показано, каким образом можно вычислить свя- занную со следом силу сопротивления, рассматривая движение жидкости вдали от тела. Полученная там формула B1.1), од- нако, в данном случае неприменима. Согласно этой формуле со- противление определяется интегралом от vx по площади сечения следа, т. е. расходом жидкости через сечение следа. Но ввиду тон- кости следа за хорошо обтекаемым крылом этот расход в данном случае мал, и в рассматриваемом ниже приближении им можно вовсе пренебречь. Подобно тому как мы поступали в § 21, запишем силу Fx в ви- де разности полных потоков ж-компоненты импульса через плос- кости х = х\ и ж = ^2, проходящие соответственно значительно позади и значительно впереди тела. Написав три компоненты скорости в виде U + vx, vyi vZi будем иметь для компоненты Пхх плотности потока импульса выражение Пжж = р-\- p(U -\-vxJ, так § 47 ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 261 что сила сопротивления есть Fx =( fj - ff\ \p + p(U + vxJ} dy dz. D7.1) \X=X2 X=X\ / Ввиду тонкости следа можно пренебречь (в интеграле по плос- кости х = х\) интегралом по площади его сечения и, таким об- разом, интегрировать везде только по области вне следа. Но вне следа движение потенциально и имеет место формула Бернулли откуда р = ро - PUvx - p-{v2x + v2y + v2). D7.2) Пренебречь здесь квадратичными членами (как это было сде- лано в § 21) нельзя, так как именно ими определяется в данном случае искомая сила сопротивления. Подставляя D7.2) в D7.1), получим pUvx + P-{v2x-v2y- v2z)] dy dz. X=Xl Разность интегралов от постоянной величины ро + pU обраща- ется в нуль; исчезает также разность интегралов от pUvXi по- скольку потоки жидкости ff pvx dy dz через переднюю и заднюю плоскости должны быть одинаковыми (расходом жидкости через сечение следа в рассматриваемом приближении пренебрегаем). Далее, отодвигая плоскость х = Х2 достаточно далеко вперед от тела, будем иметь на ней очень малые значения скорости v, так что интегралом от p{v^ — Vy — v%) по этой плоскости можно пренебречь. Наконец, при обтекании хорошо обтекаемого крыла скорость vx вне следа мала по сравнению с vy и vz. Поэтому в ин- теграле по плоскости х = х\ можно пренебречь v\ по сравнению с Vy + v\. Таким образом, получаем D7.3) где интегрирование производится по плоскости х = const, распо- ложенной на большом расстоянии позади тела, причем сечение следа исключается из области интегрирования . ) Формула D7.3) может создать впечатление, что порядок величины ско- ростей vy, vz вообще не убывает с расстоянием х. Это действительно так до тех пор, пока толщина следа мала по сравнению с его шириной, что и предполагалось при выводе формулы D7.3). На очень больших расстояниях позади крыла след в конце концов расширится настолько, что его сечение станет примерно круговым. Формула D7.3) здесь уже неприменима, а ско- рости vy, vz будут быстро убывать с увеличением расстояния. 262 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ГЛ. IV Вычисленное таким образом сопротивление хорошо обтека- емого крыла можно выразить через ту же циркуляцию скоро- сти Г, которая определяет, и подъемную силу. Для этого прежде всего заметим, что на достаточно большом расстоянии от тела скорость слабо зависит от координаты х и потому можно рас- сматривать vy(y, z), vz(y, z) как скорость некоторого двумерно- го движения, считая ее не зависящей от х вовсе. Удобно ввести в качестве вспомогательной величины функцию тока (§ 10), так что vx = дф/ду, vy = —дф/dz. Таким образом, где интегрирование по вертикальной координате у производится от +оо до у\ и от у2 до —оо (yi, у2 — координаты верхней и ниж- ней границ следа; см. рис. 26). Ввиду потенциальности движения вне следа (rot v = 0) имеем ду2 dz2 Применяя к написанному интегралу двумерную формулу Грина, получаем где интегрирование производится по контуру, огибающему об- ласть интегрирования в исходном интеграле (д/дп — дифферен- цирование по направлению внешней нормали к контуру). На бес- конечности ф = 0 и, следовательно, надо интегрировать по кон- туру поперечного сечения следа (сечения плоскостью yz\ в в результате чего получаем рх [ф\() m\ 2 J rl\dyJ2 KdzJll Здесь надо интегрировать по ширине следа dz, а стоящая в ква- дратных скобках разность есть скачок производной дф/ду при прохождении через след. Замечая, что дф/ду = vz = dtp/dz, имеем ,dyJ2 V ду ) 1 V dz ) 2 V dz / i dz так что р Г ,dT , Наконец, воспользуемся известной из теории потенциала фор- мулой Г 2тг J 1\дп/2 \dnJi § 47 ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 263 где интегрирование производится по некоторому плоскому кон- ТУРУ> т —расстояние от dl до точки, в которой разыскивается значение ф, а в квадратных скобках стоит заданный скачок про- изводной от ф по направлению нормали к контуру х) . В нашем случае контуром интегрирования является отрезок оси z, так что для значений функции ф(у, z) на оси z можно написать: z) = — / —- — [ —- In \z — z \dz = 2тг J l\dy J l \dy J\ i гад , i /. , / = —— / —у-^ m\z — z \az . 2тг J dz1 ' ' Наконец, подставляя это в FXl получим окончательно для индук- тивного сопротивления следующую формулу: Fx = -JL ffd-mdJ^l\n\z-z'\dzdz' D7.4) О О (L. Prandtl, 1918). Длина размаха крыла обозначена здесь через lz = /, а начало отсчета z выбрано на одном из его концов. Если увеличить все размеры по оси z в некоторое число раз (при неизменных Г), то интеграл D7.4) не изменится 2) . Это по- казывает, что полное индуктивное сопротивление крыла не изме- няется по порядку величины при увеличении его размаха. Дру- гими словами, индуктивное сопротивление, отнесенное к единице длины крыла, падает с увеличением этой длины 3) . В противо- положность сопротивлению полная подъемная сила Fy = -pU JTdz D7.5) :)Эта формула определяет в двумерной теории потенциала потенциал, создаваемый заряженным плоским контуром с плотностью заряда, равной ) Во избежание недоразумений отметим, что тот факт, что при изменении единиц измерения длины стоящий под знаком интеграла логарифм увели- чивается на постоянную, несуществен. Действительно, интеграл, отличаю- щийся от написанного тем, что в нем вместо In \z — z'\ стоит const, все равно /т-р — dz = Г| =0 (на краях следа Г обращается в нуль). dz 3) В пределе, при стремлении размаха к бесконечности, отнесенное к еди- нице длины индуктивное сопротивление обращается в нуль. В действитель- ности при этом остается небольшое сопротивление, определяющееся расхо- дом жидкости (т. е. интегралом JJ vx dy dz) в следе, которым мы прене- брегли при выводе формулы D7.3); это сопротивление включает в себя как сопротивление трения, так и остающуюся часть сопротивления, связанного с диссипацией в следе. 264 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ГЛ. IV растет примерно пропорционально размаху крыла, а отнесенная к единице длины — остается постоянной. Для фактического вычисления интегралов D7.4) и D7.5) удо- бен следующий метод. Вместо координаты z вводим новую пере- менную в согласно выражению z = -(l-cos0), 0^6>^тг. D7.6) Распределение же циркуляции задается в виде тригонометриче- ского ряда оо Г = -2UI J2 Ап sinnfl. D7.7) 71 = 1 Здесь выполнено условие Г = 0 на концах крыла, т. е. при z = 0, I или в = 0, тг. Подставив это выражение в формулу D7.5) и производя ин- тегрирование (учитывая при этом взаимную ортогональность функций sin в и s'm пб cn^l), получим Fy = elfnPA,. Таким образом, подъемная сила зависит только от первого ко- эффициента в разложении D7.7). Для коэффициента подъемной силы D6.2) имеем Су = тгЛЛь D7.8) где введено отношение А = 1/1х размаха крыла к его ширине. Для вычисления сопротивления перепишем формулу D7.4), произведя в ней однократное интегрирование по частям: {z)d^l^. D7.9) dz' z — z' О О Стоящий здесь интеграл no dz' должен быть взят, как легко ви- деть, в смысле его главного значения. Элементарное вычисление с подстановкой D7.7) 1) приводит к следующей формуле для ) При интегрировании по dz приходится брать интеграл (главное зна- чение) 7Г cos пв' , тг sin пв ¦ аи = cos в' — cos в sin в о При интегрировании же по dz пользуемся тем, что тг Г тг/2 при п = т, sin n# sin m# d6 = { ' . I 0 при п ф т. о § 48 ПОДЪЕМНАЯ СИЛА ТОНКОГО КРЫЛА 265 коэффициента индуктивного сопротивления: 71 = 1 Коэффициент сопротивления крыла мы определяем как Сх = —^ , D7.11) относя его, как и коэффициент подъемной силы, к площади кры- ла в плане.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Индуктивное сопротивление» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 