Применим теперь полученные результаты к турбулентному течению жидкости по трубе. Вблизи стенок трубы (на расстоя- ниях, малых по сравнению с ее радиусом а) ее поверхность мож- но приближенно рассматривать как плоскую и распределение скоростей должно описываться формулой D2.7) или D2.8). Од- нако ввиду медленного изменения функции In у можно с лога- рифмической точностью применить формулу D2.7) и к средней скорости U течения жидкости в трубе, написав в этой формуле вместо у радиус а трубы: u=v_llnav±_ D3Л) Под скоростью U мы будем подразумевать количество (объем) жидкости, протекающей в 1 с через сечение трубы, деленное на площадь этого сечения: U = Q/(p7ra2). Для того чтобы связать скорость U с поддерживающим тече- ние перепадом давления Ар/1 (Ар —разность давлений на кон- цах трубы длиной /), замечаем следующее. Действующая на все сечение потока жидкости в трубе движущая сила есть тга^Ар. Эта сила идет на преодоление трения о стенки. Поскольку отне- сенная к единице площади стенки сила трения есть а = pv%, то полная сила трения равна 2тга1ру2. Приравнивая оба выражения, находим ^ = pvf- D3.2) / а Уравнения D3.1) и D3.2) определяют в параметрическом виде (параметром является г;*) связь скорости течения жидкости по трубе с перепадом давления в ней. Об этой связи говорят обычно как о законе сопротивления трубы. Выражая г;* через Ар/1 из D3.2) и подставляя в D3.1), получаем закон сопротивления в виде уравнения ln / • D3-3) 2pi \is\l 2pl J V J Обычно в этой формуле вводят так называемый коэффициент сопротивления трубы, являющийся безразмерной величиной и определяющийся как отношение PU2/2 У J Зависимость А от безразмерного числа Рейнольдса R = 2aU/v определяется неявным образом уравнением _L = о,88 In (RVX) - 0,85. D3.5) vA 250 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ГЛ. IV Мы поставили здесь для ус значение D2.3) и прибавили к лога- рифму эмпирическую численную постоянную г) . Определяемый этой формулой коэффициент сопротивления является медленно убывающей функцией числа Рейнольдса. Для сравнения приве- дем закон сопротивления при ламинарном течении в трубе. Вво- дя в формулу A7.10) коэффициент сопротивления, получаем А = 64/R. D3.6) 100Х При ламинарном течении коэффициент сопротивления падает с ростом числа Рейнольдса быстрее, чем при турбулентном течении. На рис. 32 изображен (в логарифмическом масштабе) график зависимости А от R. Круто спадающая прямая соответствует ла- минарному режиму (формула D3.6)), а более пологая кривая (практиче- ски тоже близкая к прямой) — турбу- лентному течению. Переход с первой на вторую происходит по мере уве- личения числа Рейнольдса в момент турбулизации течения, который мо- жет наступить при различных значе- 1U 5 2,5 1,2 \ N \ °'71О3 104 105 106 R 107 ниях R в зависимости от конкретных Рис. 32 условий течения (от степени «возму- щенности» потока); в момент перехо- да коэффициент сопротивления резко возрастает. Написанные выше формулы относятся к трубам с гладкими стенками. Аналогичные формулы для труб с сильно шерохова- тыми стенками получаются просто заменой v/v* на d (ср. D2.13)). Для закона сопротивления получим теперь вместо D3.3) фор- мулу D3.7) Под знаком логарифма стоит теперь постоянная величина, не содержащая перепада давления, как это было в D3.3). Мы видим, что средняя скорость течения теперь просто пропорциональна квадратному корню из градиента давления в трубе. Если ввести 1) Коэффициент перед логарифмом в этой формуле взят в соответствии с коэффициентом в формуле D2.8) логарифмического профиля скоростей. Только при таком условии эта формула имеет теоретический смысл предель- ной формулы для турбулентного течения при достаточно больших значени- ях числа Рейнольдса. Если же выбирать в формуле D3.5) произвольным образом значение обеих входящих в нее постоянных, то она сможет играть роль лишь чисто эмпирической формулы для зависимости Л от R. В таком случае, однако, нет никаких оснований предпочитать ее любой другой, более простой, эмпирической формуле, достаточно хорошо описывающей экспери- ментальные данные. § 44 ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ 251 коэффициент сопротивления, то формула D3.7) примет вид А = ~^ш = i^wd)' D3-8) т. е. А — постоянная величина, не зависящая от числа Рейнольдса.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Турбулентное течение в трубах» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
