Мы уже неоднократно ссылались на то обстоятельство, что очень большие числа Рейнольдса эквивалентны очень малой вяз- кости, в результате чего жидкость может рассматриваться при таких R как идеальная. Однако такое приближение во всяком случае непригодно для движения жидкости вблизи твердых сте- нок. Граничные условия для идеальной жидкости требуют лишь исчезновения нормальной составляющей скорости; касательная же к поверхности обтекаемого тела компонента скорости остает- ся, вообще говоря, конечной. Между тем, у вязкой реальной жид- кости скорость на твердых стенках должна обращаться в нуль. Отсюда можно сделать вывод, что при больших числах Рей- нольдса падение скорости до нуля будет происходить почти пол- ностью в тонком пристеночном слое жидкости. Этот слой носит название пограничного и характеризуется, следовательно, нали- чием в нем значительных градиентов скорости. Движение в по- граничном слое может быть как ламинарным, так и турбулент- ным. Здесь мы рассмотрим свойства ламинарного пограничного слоя. Граница этого слоя не является, конечно, резкой, и пере- ход между ламинарным движением в нем и в основном потоке жидкости происходит непрерывным образом. Падение скорости в пограничном слое обусловливается в ко- нечном итоге вязкостью жидкости, которой нельзя пренебречь здесь, несмотря на большие значения R. Математически это про- является в том, что градиенты скорости в пограничном слое ве- лики и потому вязкие члены в уравнениях движения, содержа- щие производные от скорости по координатам, велики, несмотря на малость v . Выведем уравнения движения жидкости в ламинарном по- граничном слое. Для простоты вывода рассмотрим двумерное обтекание жидкостью плоского участка поверхности тела. Эту плоскость выберем в качестве плоскости xz, причем ось х на- правлена по направлению обтекания. Распределение скорости не зависит от координаты z\ ^-компонента скорости отсутствует. 1) Идея и основные уравнения теории ламинарного пограничного слоя бы- ли сформулированы Прандтлем (L. Prandtl, 1904). 224 пограничный слой гл. iv Точные гидродинамические уравнения Навье-Стокса и урав- нение непрерывности, написанные в компонентах, принимают вид: vT—- + vv—- = ———-\-v\—- + —-1, C9.1) ох ду р ох \ ох2 ду2 / OVy . OVy 1 Op . f О Vv . О Vv \ /пл л\ vx—- + vy—- = ——--\-и[ - + -1, (oy.zj дх ду р ду V дх2 ду2 / ^ + ^ = 0. C9.3) дх ду Движение предполагается стационарным, и потому производных по времени не пишем. Ввиду тонкости пограничного слоя ясно, что движение в нем будет происходить в основном параллельно обтекаемой поверх- ности, т. е. скорость Vy будет мала по сравнению с vx (это видно уже и непосредственно из уравнения непрерывности). Вдоль направления оси у скорость меняется быстро — замет- ное изменение ее происходит на расстояниях порядка толщины S пограничного слоя. В направлении же оси х скорость меняет- ся медленно; заметное изменение ее происходит здесь на протя- жении расстояний порядка характеристической длины / задачи (скажем, размеров тела). Поэтому ее производные по у велики по сравнению с производными по х. Из сказанного следует, что в уравнении C9.1) можно пренебречь производной d2vx/dx2 по сравнению с d2vx/dy2, а сравнивая первое уравнение со вторым, мы видим, что производная др/ду мала по сравнению с др/дх (по порядку величины — в отношении vy/vx). В рассматриваемом приближении можно положить просто ? = 0, C9.4) ду т. е. можно считать, что в пограничном слое нет поперечного градиента давления. Другими словами, давление в пограничном слое равно давлению р(х), имеющемуся в основном потоке жид- кости и являющемуся при решении задачи о пограничном слое заданной функцией от ж. В уравнении C9.1) можно теперь на- писать вместо др/дх полную производную dp(x)/dx; эту произ- водную можно выразить с помощью скорости U(x) основного потока. Поскольку вне пограничного слоя движение потен- циально, то справедливо уравнение Бернулли р + pU2/2 = const, откуда р dx dx § 39 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ 225 Таким образом, получаем систему уравнений движения в ла- минарном пограничном слое — уравнения Прандтля — в виде vx^ + vy^-u^ = -1-^ = uf, C9.5) дх ду ду2 р ах ах ^ + ^ = 0. C9.6) дх ду Граничные условия к этим уравнениям требуют обращения в нуль скорости на стенке: vx = Vy = 0 при у = 0. C9.7) При удалении от стенки продольная скорость должна асимпто- тически приближаться к скорости основного потока: vx — U(x) при у —>> оо C9.8) (постановка же отдельного условия для vy на бесконечности не требуется). Можно легко показать, что уравнения C9.5), C9.6) (выведен- ные для обтекания плоской стенки) остаются справедливыми и в более общем случае двумерного обтекания тела (поперечное об- текание бесконечно длинного цилиндра произвольного сечения). При этом х есть расстояние, отсчитываемое по длине линии кон- тура поперечного сечения тела от некоторой его точки, а у — расстояние от поверхности тела (по нормали к ней). Пусть Щ — характеристическая скорость данной задачи (на- пример, скорость на бесконечности натекающего на тело потока жидкости). Введем вместо координат ж, у и скоростей vXl vy без- размерные переменные ж7, у7, v'x, v'y согласно определениям: х = У, у=^=, vx = Uov'x, vy = ^ C9.9) (и соответственно полагаем U = UoUf), где R = ——. Тогда урав- нения C9.5), C9.6) принимают вид v'x^ + v'^-^!k = U'd-^, °<+dA = o. C9.10) х дх' у ду' ду'2 dx'' дх' ду' V J Эти уравнения (а также и граничные условия к ним) не содержат вязкости. Это значит, что их решения не зависят от числа Рей- ноль дса. Таким образом, мы приходим к важному результату: при изменении числа Рейнольдса вся картина движения в погра- ничном слое подвергается лишь подобному преобразованию, при котором продольные расстояния и скорости остаются неизмен- ными, а поперечные меняются обратно пропорционально корню из R. 8 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI 226 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ГЛ. IV Далее, можно утверждать, что получающиеся в результате решения уравнений C9.10) безразмерные скорости v'x, v'y, как не зависящие от R, должны быть порядка величины единицы. Из формул C9.9) можно, следовательно, заключить, что vy~Uo/y/R, C9.11) т. е. отношение поперечной скорости к продольной обратно про- порционально л/R. То же самое относится к толщине погранич- ного слоя 5: в безразмерных координатах х\ у' толщина 5' ~ 1, а в реальных координатах ж, у: C9.12) Применим уравнения пограничного слоя к обтеканию плос- кой полубесконечной пластинки плоско-параллельным потоком жидкости (Н. Blasius, 1908). Пусть пластинка совпадает с полу- плоскостью xz, соответствующей х > 0 (так что передним краем пластинки является линия х = 0). Скорость основного потока в этом случае постоянна: U = const. Уравнения C9.5), C9.6) при- нимают вид dvx dvx _ d2vx dvx 0vy _ ~ /oq -i n\ Ox Oy Oy2 Ox Oy В решениях уравнений Прандтля величины vx/U и vyx х (//([TV)I/2 могут быть, как мы видели, функциями только от х' = х/1 и у' = у(U/1ъ>I12. Но в задаче о полубесконечной пла- стинке нет никаких характерных параметров длины /. Поэтому vx/U может зависеть только от такой комбинации ж7 и у7, которая не содержала бы /; таковой является у' [~и V ух Что же касается vy, то здесь функцией от у1 jyxJ должно быть произведение Vyy/x1'. Чтобы сразу учесть связь меж:ду vx ж vyi выраж:аемую урав- нением непрерывности, введем функцию тока ф согласно опре- делению A0.9): vx = &, vy = -f. C9.14) ду дх Указанным выше свойствам функций vx(x, у) nvy(x, у) отвечает функция тока вида l^ C9.15) § 39 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ 227 Тогда C9.16) Уже без количественного определения функции /(?) можно сделать следующий существенный вывод. Основной характери- стикой движения в пограничном слое является распределение в нем продольной скорости vx (поскольку Vy мала). Эта скорость возрастает от нуля на поверхности пластинки до определенной доли U при определенном значении ?. Поэтому можно заклю- чить, что толщина пограничного слоя на обтекаемой пластинке (определенная как значение у, на котором vx/U достигает опре- деленного значения ~1) —порядка величины 8~y/xv]U. C9.17) Таким образом, толщина пограничного слоя возрастает пропор- ционально корню из расстояния от края пластинки. Подставив C9.16) в первое из уравнений C9.13) получим уравнение для функции /(?): //" + 2/'" = 0. Граничные же условия C9.7), C9.8) запишутся в виде /@) = /'@) = 0, /'(оо) = 1 (распределение скоростей, очевидно, симметрично относительно плоскости у = 0; поэтому достаточно рассмотреть сторону у > 0). Уравнение C9.18) должно решаться чис- ленными методами. График получающейся таким образом функции /'(?) изображен на рис. 27. Мы видим, что /'(?) весьма бы- стро стремится к своему предельному зна- чению—к единице. Предельный вид са- мой функции /(?) при малых ?: C9.18) C9.19) 0,8 0,4 ч a = 0,332; C9.20) Рис.27 членов с ?3 и ?4 в этом разложении не может быть, в чем легко убедиться из уравнения C9.18). Предельный же вид функции при больших ?: /(О =?-0, /5 = 1,72, C9.21) причем погрешность этого выражения, как можно показать, экс- поненциально мала. Сила трения, действующая на единицу площади поверхности пластинки, равна dvx ду 1/2 у=0 = ,p)"V'(o) \xv J 228 пограничный слой гл. iv или axv = 0,332W ^-. C9.22) V х Если пластинка имеет длину / (вдоль оси ж), то полная дей- ствующая на нее сила трения (отнесенная к единице длины вдоль края пластинки) равна l F = 2 faxydx = 1,328л/г/р/[/3 C9.23) о (множитель 2 учитывает наличие двух сторон пластинки) . Отметим, что сила трения оказывается пропорциональной полу- торной степени скорости натекающего потока. Формула C9.23) применима, конечно, только для длинных пластинок, для кото- рых число R = Uljv достаточно велико. Вместо силы обычно вводят коэффициент сопротивления как безразмерное отношение С= . C9.24) Согласно C9.23) эта величина при ламинарном обтекании пла- стинки обратно пропорциональна корню из числа Рейнольдса: С = 1,328RT1/2. C9.25) В качестве точно определенной характеристики толщины по- граничного слоя можно ввести так называемую толщину вытес- нения E* согласно определению оо US* = J(U- vx) dy. C9.26) о Подставив сюда vx из C9.16), имеем I оо I 5* = Jf /A-/')« = ^/р- и с учетом предельного выражения C9.21): 5* =/3^ =1,72^. C9.27) Выражение в правой части определения C9.26) есть «дефицит» расхода жидкости в пограничном слое по сравнению с тем, 1) Приближение пограничного слоя неприменимо у переднего края пла- стинки, где S ^ х. Это обстоятельство, однако, несущественно при вычислении полной силы F ввиду быстрой сходимости интеграла на нижнем пределе. § 39 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ 229 что было бы в однородном потоке со скоростью U. Поэтому мож- но сказать, что ?* есть расстояние, на которое обтекающий поток оттесняется наружу от пластинки из-за замедления жидкости в пограничном слое. С этим оттеснением связано и то обстоятель- ство, что поперечная скорость vy в пограничном слое стремится при у —>> оо не к нулю, а к конечному значению У = 9 V —^ ~ •> Jf-юо = f\ — = U'8b\/ —• C9.28) z у x z у x ух Полученные выше количественные формулы относятся, ко- нечно, только к обтеканию пластинки. Качественные же резуль- таты (такие как C9.11), C9.12)) справедливы и для обтекания тела произвольной формы; при этом под I надо понимать разме- ры тела в направлении обтекания. Упомянем особо еще о двух случаях пограничного слоя. Если плоский диск (большого радиуса) вращается вокруг оси, перпен- дикулярной его плоскости, то для оценки толщины погранич- ного слоя надо подставить в C9.17) fix вместо U (О —угловая скорость вращения). Тогда находим C9.29) Мы видим, что толщину пограничного слоя можно считать по- стоянной вдоль поверхности диска (в согласии с полученным в § 23 точным решением этой задачи). Что касается действующе- го па диск момента сил трения, то расчет с помощью уравнений пограничного слоя приводит, конечно, к формуле B3.4), посколь- ку эта формула является вообще точной и потому относится к ламинарному движению при любых R. Наконец, остановимся на вопросе о ламинарном пограничном слое, возникающем на стенках трубы вблизи места входа жидко- сти в нее. Жидкость вступает в трубу обычно с распределением скоростей, почти постоянным по всему поперечному сечению, и падение скорости происходит только в пограничном слое. По ме- ре удаления от входа начинают тормозиться слои жидкости все ближе к оси трубы. Поскольку количество протекающей жидко- сти должно оставаться постоянным, то наряду с уменьшением диаметра внутренней части течения (с почти постоянным про- филем скоростей) происходит одновременное его ускорение. Так продолжается до тех пор, пока асимптотически не устанавлива- ется пуазейлевское распределение скоростей, которое, таким об- разом, имеет место только на достаточно большом расстоянии от входа трубы. Легко определить порядок величины длины / этого так называемого начального участка течения. Он опреде- ляется тем, что на расстоянии / от входа толщина пограничного слоя делается порядка величины радиуса а трубы, так что по- граничный слой как бы заполняет собой все ее сечение. Полагая 230 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ГЛ. IV в C9.17) х ~ / и 5 ~ а, получим l~a2U/v~aR. C9.30) Таким образом, длина начального участка пропорциональна числу Рейнольдса .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Ламинарный пограничный слой» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 