Рассмотрим теперь потерю устойчивости периодическим дви- жением путем прохождения мультипликатора через значение —1 или +1. В n-мерном пространстве состояний п—1 мультипликаторов определяют поведение траекторий в п — 1 различных направле- ниях в окрестности рассматриваемой периодической траектории (отличных от направления касательной в каждой точке самой этой траектории). Пусть близкий к ±1 мультипликатор отве- чает некоторому 1-му направлению. Остальные п — 2 мульти- пликаторов малы по модулю; поэтому по соответствующим им п — 2 направлениям все траектории будут со временем прижи- маться к некоторой двумерной поверхности (назовем ее S), кото- рой принадлежат 1-е направление и направление указанных каса- тельных. Можно сказать, что в окрестности предельного цикла пространство состояний при t —>• 00 оказывается почти двумер- ным (строго двумерным оно не может быть — траектории могут располагаться по обе стороны S и переходить с одной стороны поверхности на другую). Разрежем поток траекторий вблизи S ) Учет равного нулю ляпуновского показателя вносит в размерность вклад +1, отвечающий размерности вдоль самой траектории. 170 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill некоторой секущей поверхностью а. Каждая траектория, повтор- но пересекая а, ставит в соответствие исходной точке пересе- чения (назовем ее Xj) точку пересечения в момент следующего возврата xJ+i. Связь xJ+i = /(х^; R) называют отображением Пуанкаре (или отображением последования)] она зависит от па- раметра R (в данном случае —числа Рейнольдса 1)), значение которого определяет степень близости к бифуркации — потере устойчивости периодическим движением. Поскольку все траек- тории тесно прижаты к поверхности S, множество точек пере- сечения поверхности а траекториями оказывается почти одно- мерным, и его можно приближенно аппроксимировать линией; отображение Пуанкаре станет одномерным преобразованием xH1 = f(Xj;R), C2.1) причем х будет просто координатой на указанной линии 2) . Дис- кретная переменная j играет роль времени, измеряемого в еди- ницах периода движения. Отображение C2.1) дает альтернативный способ определе- ния характера течения вблизи бифуркации. Самому периодиче- скому движению отвечает неподвижная точка преобразования C2.1) —значение Xj = ж*, не меняющееся при отображении, т. е. для которого Xj+i = Xj. Роль мультипликатора играет производ- ная \i = dxj+i/dxj, взятая в точке Xj = х*. Точки Xj = х* + ? в окрестности ж* в результате отображения переходят в Xj+i « ~ х* + /i?. Неподвижная точка устойчива (и является аттракто- ром отображения), если |/i| < 1: повторно применяя (итерируя) отображение и начав с какой-либо точки в окрестности точки х*, мы будем асимптотически приближаться к последней (по закону |/i|r, где г— число итераций). Напротив, при |/i| > 1 неподвижная точка неустойчива. Рассмотрим потерю устойчивости периодическим движени- ем при переходе мультипликатора через —1. Равенство /i = — 1 означает, что начальное возмущение через интервал времени Tq меняет знак, не меняясь по абсолютной величине: еще через пе- риод Tq возмущение перейдет само в себя. Таким образом, при переходе \i через значение —1 в окрестности предельного цик- ла с периодом Tq возникает новый предельный цикл с перио- дом 2Tq — бифуркация удвоения периода 3) . На рис. 20 условно ) Или числа Рэлея, если речь идет о тепловой конвекции (§ 56). 2) Обозначение х в этом параграфе не имеет, разумеется, ничего общего с координатой в физическом пространстве! 3) В этом параграфе основной период, т. е. период первого периодическо- го движения, обозначаем как То (а не Т\). Критические значения числа Рейнольдса, отвечающие последовательным бифуркациям удвоения пери- ода, будем обозначать здесь через Ri, R2, ... , опуская индекс «кр» (чис- ло Ri заменяет прежнее RKP2). § 32 ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОСТИ 171 изображены две последовательные такие бифуркации; на рисун- ках а, б сплошными линиями показаны устойчивые циклы пери- одов 2Tq, 4Tq, а штриховыми — ставшие неустойчивыми преды- дущие циклы. Если принять условно неподвижную точку отображения Пу- анкаре за точку х = 0, то вблизи нее отображение, описывающее бифуркацию удвоения периода можно представить в виде раз- ложения = -[1 + (R - Ri - + х) + C2.2) где /3 > 0 . При R < Ri неподвижная точка ж* = О устойчива, а при R > Ri — неустойчива. Что- бы увидеть, как происходит удво- ение периода, надо итерировать отображение C2.2) дважды, т. е. рассмотреть его за два шага (две единицы времени) и определить неподвижные точки вновь полу- ченного отображения; если они существуют и устойчивы, то они и отвечают циклу удвоенного пе- риода. Двукратная итерация преобра- зования C2.2) приводит (с нужной точностью по малым величинам х Устойчивые циклы Неустойчивые циклы Рис. 20 и R — Ri) к отображению XjJr2 = Xj 2(R - - 2A C2.3) эта Оно всегда имеет неподвижную точку х* = 0. При R < точка единственна и устойчива (мультипликатор \dxj+2/dxj\ < < 1); для движения с периодом 1 (в единицах Tq) интервал вре- мени 2 — тоже период. При R = Ri мультипликатор обращается в +1 и при R > Ri точка ж* = 0 становится неустойчивой. В этот момент рождается пара устойчивых неподвижных точек ,1/2 гA)»B) _ ~Р C2.4) которые и соответствуют устойчивому предельному циклу удво- енного периода 2) ; преобразование C2.3) оставляет каждую из этих точек на месте, а преобразование C2.2) переводит каждую из них в другую. Подчеркнем, что цикл единичного периода при ) Коэффициент при R — Ri может быть обращен в единицу соответству- ющим переопределением R, а коэффициент при х] обращен в +1 переопре- делением Xj (что и предполагается в C2.2)). ) Или, как мы будем говорить для краткости, 2-циклу. Относящиеся к нему неподвижные точки будем называть элементами цикла. 172 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill описанной бифуркации не исчезает — он остается решением урав- нений движения, но неустойчивым. Вблизи бифуркации движение остается еще «почти периоди- ческим» с периодом 1: точки последовательных возвратов траек- тории 4 и4 близки друг к другу. Интервал ж* — ж* между ними является мерой амплитуды колебаний с периодом 2; она растет с надкритичностью как (R — RiI/2 — аналогично закону B6.10) возрастания амплитуды периодического движения после его возникновения в точке потери устойчивости стационарным движением. Многократное повторение бифуркаций удвоения периода от- крывает один из возможных путей возникновения турбулентно- сти. В этом сценарии число бифуркаций бесконечно, причем они следуют друг за другом (по мере увеличения R) через все убы- вающие интервалы; последовательность критических значений R\, i?2, ••• стремится к конечному пределу, за которым перио- дичность исчезает вовсе и в пространстве возникает сложный апериодический аттрактор, ассоциируемый в этом сценарии с возникновением турбулентности. Мы увидим, что этот сценарий обладает замечательными свойствами универсальности и мас- штабной инвариантности (M.J. Feigenbaum, 1978) . Излагаемая ниже количественная теория исходит из предпо- сылки, что бифуркации следуют друг за другом (при увеличении R) настолько быстро, что даже в промежутках между ними зани- маемая множеством траекторий область пространства состояний остается почти двумерной, и вся последовательность бифурка- ций может быть описана одномерным отображением Пуанкаре, зависящим от одного параметра. Выбор рассматриваемого ниже отображения естествен в си- лу следующих соображений. В значительной части интервала изменения переменной х отображение должно быть «растягива- ющим», \df(x; \)/dx\ > 1, это дает возможность возникновения неустойчивостей. Отображение должно также возвращать траек- тории, выходящие за границы некоторого интервала, обратно в него; противное означало бы неограниченное возрастание ампли- туд пульсаций скорости, что невозможно. Обоим этим требова- ниям вместе могут удовлетворять лишь немонотонные функции /(ж; А), т. е. не взаимнооднозначные отображения C2.1): значе- ние Xj+i однозначно определяется предшествующим значением Xj, но не наоборот. Простейший вид такой функции — функция 1) Последовательность бифуркаций удвоения периода (нумеруемых далее порядковыми номерами 1, 2, ... ) не обязательно должна начинаться с пер- вой же бифуркации периодического движения. Она может, в принципе, на- чаться и после нескольких первых бифуркаций с возникновением несоизме- римых частот, после их синхронизации за счет рассмотренного в § 30 меха- низма. § 32 ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОСТИ 173 с одним максимумом; в окрестности максимума положим xJ+1 = f(Xj;\) = l-\xl C2.5) где А — положительный параметр, который надо рассматривать (в гидродинамическом аспекте) как возрастающую функцию И1) . Примем условно отрезок [—1,+1] как интервал изменения вели- чины х] при А между 0 и 2 все итерации отображения C2.5) оставляют х в этом же интервале. Преобразование C2.5) имеет неподвижную точку —корень уравнения х* = 1 — Хх2. Эта точка становится неустойчивой при А > Ai, где Лх — значение параметра А, для которого мульти- пликатор \i = — 2Аж* = — 1; из двух написанных уравнений на- ходим Ai = 3/4. Это —первое критическое значение параметра А, определяющее момент первой бифуркации удвоения перио- да: появления 2-цикла. Проследим за появлением последующих бифуркаций с помощью приближенного приема, позволяющего выяснить некоторые качественные особенности процесса, хотя и не дающего точных значений характерных констант; затем будут сформулированы точные утверждения. Повторив преобразование C2.5) дважды, получим Xj+2 = 1 - А + 2Х2х] - Х3х^. C2.6) Пренебрежем здесь последним слагаемым — четвертой степени по Xj. Оставшееся равенство масштабным преобразованием 2) Xj ->> xj/olq, а0 = 1/A - А) приводится к виду Xj+2 = 1 - Ai2^, отличающемуся от C2.5) лишь заменой параметра А на 2A2(A-1). C2.7) х) Подчеркнем, что допустимость не взаимно-однозначных отображений связана с приближенностью одномерного рассмотрения. Если бы все траек- тории располагались строго на одной поверхности Е (так что отображение Пуанкаре было бы строго одномерным), подобная неоднозначность была бы невозможна: она означала бы пересечение траекторий (две траектории с различными Xj пересекались бы в точке xj+i). В этом же смысле следстви- ем приближенности является возможность обращения в нуль мультипли- катора— если неподвижная точка отображения расположена в экстремуме отображающей функции (такая точка может быть названа «сверхустойчи- вой» — приближение к ней происходит по закону более быстрому, чем ука- занный выше). 2) Это преобразование невозможно при значении Л = 1 (при котором непо- движная точка отображения C2.6) совпадает с центральным экстремумом: х* = 0). Это значение, однако, заведомо не является интересующим нас следующим критическим значением Л2. 174 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill Повторяя эту операцию с масштабными множителями а\ = = 1/A — Ai) ... , получим ряд последовательных отображений того же вида: -l). C2.8) Неподвижные точки отображений C2.8) отвечают 2т-циклам . Поскольку все эти отображения имеют тот же вид, что и C2.5), то можно сразу заключить, что 2т-циклы (га = 1, 2, 3, ...) ста- новятся неустойчивыми при \т = Лх = 3/4. Соответствующие же критические значения Ат исходного параметра А получаются путем решения цепочки уравнений Лх = <р(Л2), Л2 = <р(Лз), ... , Лт_х = <р(Лт); графически они даются построением, показанным на рис. 21. Очевидно, что при т —>> оо последовательность этих чисел сходится к конечному пределу А^ — корню уравнения А^ = <р(Лоо); он равен А^ = = A + л/3)/2 = 1,37. К конечному пределу стремятся и масштабные множители: ат —>• —v су гттр су — 1 I(Л — Л ^ — —9 Я Легко найти закон, по которому происхо- дит приближение Ат к Aqq при больших га. л3Лоо Из уравнения Лт = (p(Am+i) при малых A2A2Ai X разностях А^ — Ат находим Лоо - Лш+х = -(А^ - Лт), C2.9) Рис. 21 о где E = (^'(Лоо) = 4+л/З = 5,73. Другими словами, Л^—Ат ос Eт, т. е. значения Ат приближаются к пределу по закону геометри- ческой прогрессии. По такому же закону меняются интервалы между последовательными критическими числами: C2.9) мож- но переписать в эквивалентном виде д (\ Л^ f^.0 Л (W т-\-2 1Ym-\-\ — ~\1Ym-\-\ 1Ym)' yo^.i\jj В гидродинамическом аспекте, как уже указывалось, пара- метр А надо рассматривать как функцию числа Рейнольдса, со- ответственно чему появляются критические значения последне- го, отвечающие последовательным бифуркациям удвоения пе- риода и стремящиеся к конечному пределу Rqo- Очевидно, что ) Во избежание недоразумений подчеркнем, что после произведенных мас- штабных преобразований отображения C2.8) должны быть определены те- перь на растянутых интервалах |ж| ^ |aoai ... am_i| (а не на |ж| ^ 1, как в C2.5), C2.6)). Однако в силу сделанных пренебрежений выражения C2.8) могут фактически описывать лишь область вблизи центральных экстрему- мов отображающих функций. § 32 ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОСТИ 175 для этих значений справедливы те же предельные законы C2.9), C2.10) (с той же постоянной #), что и для чисел Ат. Изложенные рассуждения иллюстрируют происхождение основных закономерностей процесса: бесконечное множество би- фуркаций, моменты появления которых сходятся к пределу А^ по закону C2.9), C2.10); появление масштабного множителя а. Полученные при этом значения характерных констант, однако, не точны. Точные значения (полученные путем многократно- го компьютерного итерирования отображения C2.5)) показателя сходимости 6 (число Фейгенбаума) и масштабного множителя а: 6 = 4,6692 ... , а = -2,5029 ... C2.11) а предельное значение А^ = 1,401 . Обратим внимание на сравнительно большое значение 5] быстрая сходимость приводит к тому, что предельные законы хорошо выполняются уже после небольшого числа удвоений периода. Дефект произведенного вывода состоит и в том, что после пренебрежения всеми степенями xj, кроме первой, отображение C2.8) позволяет установить лишь факт возникновения следую- щей бифуркации, но не дает возможности определить все эле- менты описываемого этим отображением 2т-цикла 2) . В дей- ствительности итерированные отображения C2.5) представляют собой полиномы по x'jj степень которых при каждой итерации возрастает вдвое. Они представляют собой сложные функции от Xj с быстро возрастающим числом экстремумов, симметрично расположенных по отношению к точке Xj = 0 (которая тоже все- гда остается экстремумом). Замечательно, что не только значения 6 и а, но и предель- ный вид самого бесконечно кратно итерированного отображения оказываются в определенном смысле независящими от вида на- чального отображения #j+i = f{xj\ А): достаточно, чтобы зави- сящая от одного параметра функция /(ж; А) была гладкой функ- цией с одним квадратичным максимумом (пусть это будет в точ- х) Значение Лоо имеет несколько условный характер, поскольку оно за- висит от способа введения параметра в исходное отображение — функцию /(ж; Л) (значения же 8 и а от этого не зависят вовсе). 2) То есть все 2т точки xl , ж* , ..., переходящие последовательно друг в друга (периодические) при итерациях отображения C1.5) и неподвижные (и устойчивые) по отношению к 2т-кратно итерированному отображению. Отметим, во избежание возможных вопросов, что производные dxj+2m /dxj (!) / во всех точках xl , xl , ... автоматически одинаковы (и потому одновре- менно проходят через —1 в момент следующей бифуракции); мы не будем приводить здесь рассуждений, использующих правило дифференцирования функции от функции, доказывающих это свойство (необходимость которого заранее очевидна). 176 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill ке х = 0); она не обязана даже быть симметричной относительно этой точки вдали от нее. Это свойство универсальности суще- ственно увеличивает степень общности излагаемой теории. Его точная формулировка состоит в следующем. Рассмотрим отображение, задаваемое функцией f(x) (функ- ция /(ж; А) с определенным выбором А — см. ниже), нормирован- ной условием /@) = 1. Применив его дважды, получим функ- цию f(f(x)). Изменим масштаб как самой этой функции, так и переменной х в «о = V/(l) Раз5 таким образом получим новую функцию fi(x) =aof(f(x/ao)), для которой снова будет /i@) = 1. Повторяя эту операцию, по- лучим последовательность функций, связанных рекуррентным соотношением х) fm+i(x) = amfm(fm(x/am)) = f/m, am = l//m(l). C2.12) Если эта последовательность стремится при т —>> оо к некоторой определенной предельной функции foo(x) =g(xI эта последняя должна быть «неподвижной функцией» определенного в C2.12) оператора Т, т. е. должна удовлетворять функциональному урав- нению g(x) =fg = ag(g(x/a)), a = l/g(l), g@) = 1. C2.13) В силу предположенных свойств допустимых функций /(ж), функция g(x) должна быть гладкой и иметь квадратичный экс- тремум в точке х = 0; никакого другого следа от конкретного вида f(x) в уравнении C2.13) или в налагаемых на его реше- ние условиях не остается. Подчеркнем, что после произведенных при выводе масштабных преобразований (с \ат\ > 1) решение уравнения определяется при всех значениях фигурирующей в нем переменной х от —оо до +оо (а не только на интервале — 1 ^ х ^ 1). Функция g(x) автоматически является четной по ж; она должна быть такой, поскольку среди допустимых функций f(x) имеются четные, а четное отображение заведомо остается четным после любого числа итераций. Такое решение уравнения C2.13) действительно существует и единственно (хотя и не может быть построено в аналитическом виде); оно представляет собой функцию с бесконечным числом экстремумов, неограниченную по своей величине; постоянная а определяется вместе с самой функцией g(x). Фактически доста- точно построить эту функцию на интервале [—1, 1], после че- го она может быть продолжена за его пределы итерированием операции Т. Обратим внимание на то, что на каждом шаге ите- ) Отметим очевидную аналогию этой процедуры с использованной выше при выводе C2.8). § 32 ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОСТИ 177 рирования Т в C2.12) значения функции fm+i(x) на интерва- ле [—1, 1] определяются значениями функции fm(x) на сокра- щенной в \ат\ « \а\ раз части этого отрезка. Это значит, что в пределе многократных итераций для определения функции g(x) на интервале [—1, 1] (а тем самым и на всей оси х) существен- ны все меньшие и меньшие части исходной функции вблизи ее максимума; в этом и состоит, в конечном итоге, источник уни- версальности х) . Функция g(x) определяет структуру апериодического аттрак- тора, возникающего в результате бесконечной последовательно- сти удвоений периода. Но это происходит при вполне определен- ном для функции f(x; А) значении параметра А = Л^. Ясно по- этому, что функции, образованные из f(x; А) путем многократ- ного итерирования преобразования C2.12), действительно схо- дятся к g(x) лишь при этом изолированном значении А. Отсюда в свою очередь следует, что неподвижная функция оператора Т неустойчива по отношению к ее малым изменениям, отвечающим малым отклонениям параметра А от значения Л^. Исследование этой неустойчивости дает возможность определения универсаль- ной постоянной 6 — снова без всякой связи с конкретным видом функции f(x) 2) . Масштабный множитель а определяет изменение — уменьше- ние — геометрических (в пространстве состояний) характеристик аттрактора на каждом шаге удвоений периода; этими характе- ристиками являются расстояния между элементами предельных циклов на оси х. Поскольку, однако, каждое удвоение сопро- вождается еще и увеличением числа элементов цикла, это утвер- ждение должно быть конкретизировано и уточнено. При этом заранее ясно, что закон изменения масштаба не может быть оди- наковым для расстояний между всякими двумя точками 3) . Дей- ) Уверенность в существовании единственного решения уравнения C2.13) основана на компьютерном моделировании. Решение ищется (на интервале [—1, 1]) в виде полинома высокой степени по ж2; точность моделирования должна быть тем выше, чем до более широкой области значений х (вне ука- занного отрезка) мы хотели бы затем продолжить функцию итерированием Т. На интервале [—1, 1] функция g(x) имеет один экстремум, вблизи кото- рого g(x) = 1 — 1,528ж2 (если считать экстремум максимумом; этот выбор условен ввиду инвариантности уравнения C2.13) относительно изменения знака g). 2) См. оригинальные статьи: Feigenbaum M.J. // J. Stat. Phys. 1978. V. 19. P. 25; 1979. V. 21. P. 669. ) Имеются в виду расстояния на нерастянутом отрезке [—1, 1], условно выбранном с самого начала как интервал изменения ж, на котором распо- ложены все элементы циклов. Отрицательность а означает, что при бифур- кациях происходит также инверсия расположения элементов относительно точки ж = 0. 178 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill ствительно, если две близкие точки преобразуются через почти линейный участок функции отображения, расстояние между ни- ми уменьшится в \а\ раз; если же преобразование происходит че- рез участок функции отображения вблизи ее экстремума — рас- стояние сократится в а2 раз. В момент бифуркации (при А = Лш) каждый элемент (точка) 2т-цикла расщепляется на пару — две близкие точки, расстоя- ние между которыми постепенно возрастает, но точки остаются ближайшими друг к другу на всем протяжении изменения А до следующей бифуркации. Если следить за переходами элементов цикла друг в друга с течением времени (т. е. при последователь- ных отображениях Xj+\ = f(xj\ А)), то каждая из компонент пары перейдет в другую через 2т единиц времени. Это значит, что расстояние между точками пары измеряет амплитуду коле- баний вновь возникающего удвоенного периода, и в этом смысле представляет особый физический интерес. Расположим все элементы 2m+1-цикла в том порядке, в кото- ром они обходятся со временем, и обозначим их как xm+i(t), где время t (измеренное в единицах основного периода То) пробега- ет целочисленные значения t/T$ = 1, 2, ... , 2m+1. Эти элементы возникают из элементов 2т-цикла расщеплением последних на пары. Интервалы между точками каждой пары даются разно- стями Tm), C2.14) где Тт = 2mTo = Tm+i/2 —период 2т-цикла, т. е. половина пе- риода 2т+1-цикла. Введем функцию crm(t)—масштабный мно- житель, определяющий изменение интервалов C2.14) при пере- ходе от одного цикла к следующему : Wl(*)/fm(*)=<7m(t). C2'15) Очевидно, что U+\{t + Тт) = -?m+i(<), C2.16) и поэтому vm(t + Tm) = -am(t). C2.17) Функция <jm(t) имеет сложные свойства, но можно показать, что ее предельный (при больших га) вид с хорошей точностью 1) Поскольку оба цикла существуют в разных интервалах значений пара- метра Л (на интервалах (Лт_1, Лт) и (Лт, Am+i), и на этих интервалах величины C2.14) существенно меняются, то их смысл в определении C2.15) нуждается в уточнении. Будем понимать их при тех значениях параметра Л, когда циклы «сверхустойчивы» (см. примеч. на с. 173); по одному такому значению имеется в области существования каждого цикла. § 32 ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОСТИ 179 аппроксимируется простым образом: Г 1/а при 0 < t < Гш/2, " \ 1/а2 при Tm/2 <t<Tm (при надлежащем выборе начала отсчета ?) . Эти формулы позволяют сделать некоторые заключения об изменении спектра (частотного) движения жидкости, претерпе- вающей удвоения периода. В гидродинамическом аспекте вели- чину xm(t) надо понимать как характеристику скорости жид- кости. Для движения с периодом Тт спектр функции xm(t) (от непрерывного времени t\) содержит частоты киот {к = = 1, 2, 3, ...) —основную частоту иот = 2п/Тт и ее гармоники. После удвоения периода течение описывается функцией xm+i(t) с периодом Tm+i = 2Tm. Ее спектральное разложение содержит, наряду с теми же частотами киот1 еще и субгармоники частоты иот — частоты 1иот/2, / = 1, 3, 5, ... Представим xm+i(t) в виде 1 т ^ где ?m+i — разность C2.14), а ¦) =xm+i(t) Спектральное разложение r/m+i(t) содержит только частоты киот] компоненты Фурье для субгармоник, -i- I rjm+1(t)eMt/T-dt = J- m + 1 J dt обращаются в нуль в силу равенства r/m+i(^ + Тт) = ?7m+i(t). С другой стороны, величины rjm(t) в первом приближении не ме- няются при бифуркации: r/m+i(^) ~Vm{t)] эт0 значит, что интен- сивность колебаний с частотами киот тоже остается неизменной. Спектральное же разложение величин ?m_|_i(?) содерж:ит, на- против, только субгармоники 1иот/2 — новые частоты, появляю- щиеся на (га + 1)-м шаге удвоений. Суммарная интенсивность 1)Мы не будем приводить здесь в принципе простого, но громоздкого исследования свойств функции am(t). См.: Фейгенбаум М. // УФН. 1983. Т. 141, С. 343 [Los Alamos Science. 1980. V. 1. P. 4]. 180 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill этих спектральных компонент определяется интегралом Тщ + 1 Wi-Л- [ &+1 (*)<**• C2.19) J-m + l J о Выразив ?m+i(?) через ?m(?), пишем о С учетом C2.16)-C2.18) получим о и окончательно 1т/1т+1 = Ю,8. C2.20) Таким образом, интенсивность новых спектральных компо- нент, появляющихся после бифуркации удвоения периода, пре- вышает таковую для следующей бифуркации в определенное, не зависящее от номера бифуркации, число раз (M.J. Feigenbaum, 1979) *). Обратимся к изучению эволюции свойств движения при даль- нейшем увеличении параметра А за значением А^ (числа Рей- нольдса R > Rqo)—в «турбулентной» области. Поскольку в мо- мент своего рождения (при А = А^) апериодический аттрактор описывается одномерным отображением Пуанкаре, можно счи- тать, что и при значениях А, незначительно превосходящих Лоо, допустимо рассматривать свойства аттрактора в рамках такого отображения. Аттрактор, возникший в результате бесконечной цепочки удвоений периода, в момент своего рождения не является стран- ным в определенном в § 31 смысле: «2°°-цикл», возникающий как предел устойчивых 2т-циклов при т —>> оо, тоже устойчив. Точ- ки этого аттрактора образуют на отрезке [—1, 1] несчетное мно- жество канторового типа. Его мера на этом отрезке (т. е. полная 1) Это относится не только к суммарной интенсивности появляющихся суб- гармоник, но и к интенсивности каждой из них. На каждую субгармонику, появляющуюся после гп-й бифуркации, приходится по две (по одной спра- ва и слева) субгармоники после (т + 1)-й бифуркации. Поэтому отношение интенсивностей отдельных новых появляющихся после двух последователь- ных бифуркаций спектральных пиков вдвое больше величины C2.20). Более точное значение этой величины 10,48. Оно получается путем анализа состо- яния в самой точке Л = Лоо с помощью универсальной функции g(x)\ в этой точке присутствуют уже все частоты и вопрос, подобный указанному в при- мечании на с. 178 не возникает. См.: Nanenberg M., Rudnick J. // Phys. Rev. 1981. V. 24В. P. 493. § 32 ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОСТИ 181 «длина» совокупности его элементов) равна нулю; его размер- ность лежит между 0 и 1 и оказывается равной 0,54 г) . При А > Лоо аттрактор становится странным — притягиваю- щим множеством неустойчивых траекторий. На отрезке [—1, 1] принадлежащие ему точки заполняют интервалы, общая длина которых отлична от нуля. Эти отрезки — следы на секущей по- верхности а непрерывной двумерной ленты, совершающей боль- шое число оборотов и замыкающейся на себя. Снова напомним в этой связи о приближенности одномерного рассмотрения. В действительности эта лента имеет небольшую, но конечную тол- щину. Поэтому и составляющие ее сечение отрезки представляют собой в действительности полоски конечной ширины. Вдоль этой ширины странный аттрактор имеет канторову структуру опи- санного в предыдущем параграфе слоистого характера 2) . Ниже эта структура нас не будет интересовать, и мы возвращаемся к рассмотрению в рамках одномерного отображения Пуанкаре. Эволюция свойств странного аттрактора при увеличении А за Лоо состоит в общих чертах в следующем. При заданном зна- чении А > Лоо аттрактор заполняет ряд интервалов на отрезке [—1, 1]; участки между этими интервалами — области притяже- ния аттрактора и в них же находятся элементы неустойчивых циклов с периодами, начиная от некоторого 2т и меньше. При увеличении А скорость разбегания траекторий на странном ат- тракторе увеличивается, и он «разбухает», последовательно по- глощая циклы периодов 2m, 2m+1, ... ; при этом число интерва- лов, занятых аттрактором, уменьшается, а их длины увеличива- ются. Другими словами, число витков упомянутой выше ленты последовательно уменьшается вдвое, а их ширины увеличива- Рис. 22 ются. Таким образом, возникает как бы обратный каскад после- довательных упрощений аттрактора. Поглощение аттрактором неустойчивого 2т-цикла называют обратной бифуркацией удво- ения. Рисунок 22 иллюстрирует этот процесс для двух послед- х)См. Grassberger P. // J. Stat. Phys. 1981. V. 26. P. 173. ) Размерность аттрактора в этом направлении мала по сравнению с еди- ницей. Она, однако, не универсальна и зависит от конкретного вида отобра- жения. 182 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill них обратных бифуркаций. На рис. 22 а лента совершает четыре оборота, обратная бифуркация превращает ее в ленту с двумя оборотами (рис. 22 б): наконец, последняя бифуркация приво- дит к ленте, совершающей всего один оборот и замыкающейся на себя, предварительно «перекрутившись» (рис. 22 в). Обозначим значения параметра А, отвечающие последова- тельным обратным бифуркациям удвоения через Am+i, причем они расположены в последовательности Ат > Лш+х- Покажем, что эти числа удовлетворяют закону геометрической прогрессии с тем же универсальным показателем ?, что и для прямых би- фуркаций. Перед последней (при увеличении А) обратной бифуркацией аттрактор занимает два интервала, разделенных промежутком, в котором находится неподвижная точка ж* отображения C2.5), отвечающая неустойчивому циклу периода 1: Х* 2А ¦ Бифуркация произойдет при значении А = Лх, когда границы расширяющегося аттрактора достигнут этой точки. Из рис. 22 б видно, что внешняя граница аттрактора (ленты) после одного оборота становится его внутренней границей, а еще через обо- рот— границей интервала, разделяющего витки. Отсюда ясно, что значение А = Лх определяется условием ?j+2 — ж*, гДе Xj+2 = 1 - АA - АJ есть результат двукратной итерации отображения над точкой Xj = 1 — границей аттрактора (это значение Лх = 1,543). Мо- менты предшествующих обратных бифуркаций Л2, Лз, ... могут быть приближенно определены одно за другим с помощью рекур- рентного соотношения, связывающего Лт+х с Лт. Это прибли- женное соотношение выводится тем же способом, которым бы- ла рассмотрена выше последовательность прямых бифуркаций удвоения и имеет вид Ат = cp(Am+i) с той же функцией <р(Л) из C2.7). Соответствующее графическое построение показано на верхней части рис. 21. Поскольку функция (f(A) для последо- вательностей прямых и обратных бифуркаций одна и та же, то одинаков и закон, по которому последовательности чисел Ат и Ат сходятся (соответственно снизу и сверху) к общему пределу Лоо^Лоо: _ _ Лш+1 -Аоо = -(Ат - Аоо). C2.21) о Эволюция свойств странного аттрактора при А > А^ сопро- вождается соответствующими изменениями в частотном спектре интенсивности. Хаотичность движения выражается в спектре § 32 ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОСТИ 183 появлением в нем «шумовой» компоненты, интенсивность ко- торой возрастает вместе с шириной аттрактора. На этом фоне присутствуют дискретные пики, отвечающие основной частоте неустойчивых циклов, их гармоникам и субгармоникам; при по- следовательных обратных бифуркациях исчезают соответству- ющие субгармоники — в порядке, обратном тому, в котором они появлялись в последовательности прямых бифуркаций. Неустой- чивость создающих эти частоты циклов проявляется в уширении спектральных пиков.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Переход к турбулентности путем удвоения периодов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. При R < Ri неподвижная точка ж* = О устойчива, 
/ 