ДИПЛОМНІ КУРСОВІ РЕФЕРАТИ


ИЦ OSVITA-PLAZA

Реферати статті публікації

Пошук по сайту

 

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Теоретична фізика у 10 томах

Квазипериодическое движение и синхронизация частот
В последующем изложении (§ 30-32) будет удобным поль-
зоваться определенными геометрическими образами. Для этого
введем математическое представление о пространстве состоя-
ний жидкости, каждая точка которого отвечает определенному
распределению (полю) скоростей в ней. Состояниям в близкие
моменты времени соответствуют при этом близкие точки 4) .
Образом стационарного движения служит точка, а образом
периодического движения — замкнутая линия (траектория) в
г) Если направление волнового вектора к (в плоскости ху) не совпадает с
направлением v, а образует с ним угол <р, то в B9.8) v заменится на v cos if]
это ясно из того, что невозмущенная скорость входит в исходное линеаризо-
ванное уравнение Эйлера только в комбинации (vV). Очевидно, что и такие
возмущения будут неустойчивы.
) Численные расчеты устойчивости производились для плоскопараллель-
ных течений с профилем скоростей, меняющихся между двумя значениями
±г>о по некоторому закону, например, v = vq th (z/h) (роль числа Рейнольдса
играет при этом R = voh/v). Нейтральная кривая в плоскости кК оказывает-
ся выходящей из начала координат, так что для каждого значения R имеется
интервал значений к (возрастающий с увеличением R), для которых течение
неустойчиво.
3) Параграфы 30-32 написаны совместно с М.И. Рабиновичем.
4) В математической литературе это бесконечномерное функциональное
пространство (или конечномерные пространства, которыми оно может быть
в некоторых случаях заменено — см. ниже) часто называют фазовым. Мы не
пользуемся здесь этим термином во избежание смешения с более конкрет-
ным смыслом, который он обычно имеет в физике.
156 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill
пространстве состояний; о них говорят соответственно как о пре-
дельной точке или предельном цикле. Если эти движения устой-
чивы, то это значит, что соседние траектории, описывающие про-
цесс установления движения, стремятся (при t —>> оо) к предель-
ной точке или предельному циклу.
Предельный цикл (или точка) имеет в пространстве состоя-
ний определенную область притяжения: начинающиеся в этой
области траектории в конце концов выходят на цикл. В этой
связи о предельном цикле говорят как об аттракторе :) . Под-
черкнем, что для движения жидкости в заданном объеме с опре-
деленными граничными условиями (и при заданном значении R)
аттрактор может быть не единствен. Возможны ситуации, когда
в пространстве состояний существуют различные аттракторы,
каждый из которых имеет свою область притяжения. Другими
словами, при R > RKp может оказаться более чем один устой-
чивый режим движения и различные режимы осуществляются
в зависимости от способа достижения данного значения R. Под-
черкнем, что эти различные устойчивые режимы являются ре-
шениями нелинейной (!) системы уравнений движения 2) .
Обратимся к изучению явлений, возникающих при дальней-
шем увеличении числа Рейнольдса, после достижения им крити-
ческого значения и установления рассматривавшегося в § 26 пе-
риодического течения. По мере увеличения R наступает в конце
концов момент, когда становится неустойчивым и это периоди-
ческое движение. Исследование этой неустойчивости должно, в
принципе, производиться аналогично изложенному в § 26 спосо-
бу определения неустойчивости исходного стационарного движе-
ния. Роль невозмущенного движения играет теперь периодиче-
ское движение vo(r, t) (с частотой ooi), а в уравнения движения
подставляется v = vq + V2, где V2 — малая поправка. Для V2
получается снова линейное уравнение, но его коэффициенты яв-
ляются теперь функциями не только координат, но и времени,
причем по времени эти коэффициенты представляют собой пе-
риодические функции с периодом Т\ = 2тт/оо\. Решение такого
уравнения должно разыскиваться в виде
v2 = П(г, t)e~iuj\ C0.1)
где П(г, t) — периодическая функция времени (с тем же перио-
дом Т]_). Неустойчивость наступает снова при появлении часто-
ты оо = 002 + ^72 5 У которой мнимая часть 72 > 0, а вещественная
часть 002 определяет новую появляющуюся частоту.
) От английского слова attraction — притяжение.
2) Такова, например, ситуация при потере устойчивости куэттовским тече-
нием; устанавливающееся новое движение фактически зависит от истории
процесса, которым цилиндры приводятся во вращение с определенными уг-
ловыми скоростями.
§ 30 КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИНХРОНИЗАЦИЯ 157
За период Т\ возмущение C0.1) меняется в \i = e~lujTl раз.
Этот множитель называют мультипликатором периодического
движения; он является удобной характеристикой усиления или
затухания возмущений этого движения. Периодическому движе-
нию непрерывной среды (жидкости) соответствует бесконечное
множество мультипликаторов, отвечающих бесконечному числу
возможных независимых возмущений. Потеря им устойчивости
происходит при числе RKp2, при котором один или более мульти-
пликаторов по модулю становятся равными 1, т. е. в комплекс-
ной плоскости значения /i пересекают единичную окружность.
Ввиду вещественности уравнений проходить через эту окруж-
ность мультипликаторы могут только комплексно-сопряженны-
ми парами, или поодиночке, оставаясь вещественными, т. е. в
точках +1 или — 1. Потеря устойчивости периодическим движе-
нием сопровождается определенной качественной перестройкой
поведения траекторий в пространстве состояний в окрестности
ставшего неустойчивым предельного цикла или, как говорят, сво-
ей локальной бифуркацией. Характер бифуркации в значитель-
ной степени определяется именно тем, в каких точках единичной
окружности мультипликаторы ее пересекают х) .
Рассмотрим бифуркацию при пересечении единичной окруж-
ности парой комплексно-сопряженных мультипликаторов вида
/i = ехр(=р2тгш), где а — иррациональное число. Это приводит
к появлению вторичного течения с новой независимой частотой
U02 — oiuoi, т. е. в результате возникает некоторое квазиперио-
дическое движение, характеризующееся двумя несоизмеримыми
частотами. Геометрическим образом этого движения в простран-
стве состояний служит траектория в виде незамкнутой намотки
на двумерном торе 2) , причем став-
ший неустойчивым предельный цикл
служит образующей тора; частота ио\
соответствует вращению по образую-
щей тора, частота ио2 — вращению на
торе (рис. 18). Подобно тому, как по-
сле появления первого периодическо-
го движения течение обладало одной
степенью свободы, теперь две величи-
ны (фазы) являются произвольными, Рис. 18
т. е. движение обладает двумя степенями свободы. Потеря устой-
чивости периодическим движением, сопровождающаяся «рожде-
нием» двумерного тора, типична для гидродинамики.
г) Отметим, что мультипликатор не может быть равным нулю: возмущение
не может обратиться в нуль за конечное время (один период Т\).
2) Мы пользуемся математической терминологией, согласно которой то-
ром называют поверхность без заключенного в ней объема. Так, двумерный
тор — двумерная поверхность трехмерного «бублика».
158 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill
Обсудим гипотетическую картину усложнения течения, воз-
никшего в результате такой бифуркации, при дальнейшем увели-
чении числа Рейнольдса, R > RKp2- Естественно было бы пред-
пол ожить, что при последующем увеличении R будут последо-
вательно появляться все новые периоды. На языке геометриче-
ских образов это означает потерю устойчивости двумерным то-
ром с возникновением в его окрестности трехмерного тора, затем
в результате очередной бифуркации ему на смену придет четы-
рехмерный тор и т. д. Интервалы между числами Рейнольдса,
соответствующими появлению новых частот, быстро падают, а
появляющиеся движения имеют все меньшие масштабы. Таким
образом, движение быстро приобретает сложный и запутанный
характер; его называют турбулентным в отличие от ламинар-
ного , правильного течения, при котором жидкость движется как
бы слоями, обладающими различными скоростями.
Полагая сейчас, что такой путь (или, как говорят, сценарий)
возникновения турбулентности действительно возможен х) , на-
пишем общий вид функции v(r, ?), зависимость которой от вре-
мени определяется некоторым числом N различных частот с^.
Ее можно рассматривать как функцию N различных фаз (npi =
= uoit-\- fii (и от координат), причем по каждой из них она перио-
дична с периодом 2тг. Такая функция может быть представлена
в виде ряда
1=1
представляющего собой обобщение B6.13) (суммирование по
всем целым числам pi, _p2, ... , Pn)- Описываемое такой фор-
мулой движение обладает N степенями свободы — в него входят
N произвольных начальных фаз /% 2) .
Состояния, фазы которых отличаются только на целое крат-
ное 2тг, физически тождественны. Другими словами, все суще-
ственно различные значения каждой из фаз лежат в интервале
О ^ (fi ^ 2тг. Рассмотрим какую-нибудь пару фаз ip\ = uo\t + f3\
и Lp2 = ио2^-\-^2- Пусть в некоторый момент времени фаза (pi име-
ет значение а. Тогда «одинаковые» с а значения фаза cpi будет
иметь и во все моменты времени
1)Он был выдвинут Л.Д. Ландау A944) и затем независимо Хопфом
(Е. Hopf, 1948).
2) Если выбрать фазы (fi в качестве координат, описывающих траекторию
на TV-мерном торе, то соответствующие скорости будут постоянными вели-
чинами: ф{ = uj{. В связи с этим о квазипериодическом движении говорят
как о движении на торе с постоянной скоростью.
§ 30 КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИНХРОНИЗАЦИЯ 159
где s — любое целое число. Фаза ср2 в эти моменты имеет значения
^ = /3 + (а/3
Но различные частоты несоизмеримы друг с другом, так что
a^/^i —иррациональное число. Приводя каждый раз посредством
вычитания должного целого кратного от 2тг значение ср2 к интер-
валу между 0 и 2тг, мы получим поэтому, при пробегании числом
s значений от 0 до оо, для ср2 значения, сколь угодно близкие
к любому наперед заданному числу в этом интервале. Другими
словами, в течение достаточно большого промежутка времени cpi
и Lp2 одновременно пройдут сколь угодно близко к любой паре
наперед заданных значений. То же самое относится и ко всем фа-
зам. Таким образом, в рассматриваемой модели турбулентности
в течение достаточно долгого времени жидкость проходит через
состояния, сколь угодно близкие к любому наперед заданному
состоянию, определенному любым возможным набором одновре-
менных значений фаз (fi. Время возврата, однако, очень быстро
растет с увеличением N и становится столь большим, что факти-
чески никакого следа какой-либо периодичности не остается х) .
Подчеркнем теперь, что рассмотренный путь возникновения
турбулентности базируется, по существу, на линейных представ-
лениях. Действительно, фактически предполагалось, что при по-
явлении в результате развития вторичных неустойчивостей но-
вых периодических решений уже имевшиеся периодические ре-
шения не только не исчезают, но и почти не меняются. В данной
модели турбулентное движение есть просто суперпозиция боль-
шого числа таких неизменяющихся решений. В общем же случае,
однако, характер решений при увеличении числа Рейнольдса и
потери ими устойчивости изменяется. Возмущения взаимодей-
ствуют друг с другом, причем это может привести как к упро-
щению движения, так и к его усложнению. Проиллюстрируем
первую возможность.
Ограничимся простейшим случаем: будем полагать, что воз-
мущенное решение содержит всего лишь две независимые часто-
ты. Как уже говорилось, геометрическим образом такого течения
является незамкнутая намотка на двумерном торе. Возмущение
на частоте a;i, возникшее при R = RKpi, естественно считать в
окрестности числа R = RKp2 (при котором возникает возмущение
частоты 002) более интенсивным и поэтому полагать его неизмен-
) В установившемся турбулентном режиме описанного типа вероятность
нахождения системы (жидкости) в заданном малом объеме вокруг избран-
ной точки пространства фаз <^i, 922, • • • , ^n дается отношением величины
этого объема Fip)N к полному объему B^)^. Поэтому можно сказать, что
г " —>cN
за достаточно оолыпои промежуток времени лишь в течение его доли е
(где к = In Bтг/д(р)) система будет находиться в окрестности заданной точки.
160 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill
ным при относительно небольших изменениях числа R в этой
окрестности. Имея это в виду, для описания эволюции возмуще-
ния с частотой 002 на фоне периодического движения частоты ио\
введем новую переменную
a2(t) = \a2(t)\e-^); C0.3)
модуль |а2| —кратчайшее расстояние до образующей тора (став-
шего неустойчивым предельного цикла частоты o;i), т. е. относи-
тельная амплитуда вторичного периодического течения, а ср2 —
его фаза. Рассмотрим поведение а2(?) в дискретные моменты
времени, кратные периоду Т\ = 2tt/lji. За время одного периода
возмущение частоты ui2 меняется в \i раз, где
\i = |/i| exp {—2niuo2/ooi)
— его мультипликатор; по истечении целого числа т таких перио-
дов функция п2 умножится на \iT. Мы считаем надкритичность
R ~~ ^кр2 малой; тогда инкремент возрастания возмущения тоже
мал и, соответственно, разность \\i\ — 1 хоть и положительна, но
мала, так что за период Т\ возмущение а2 меняется по модулю
незначительно; фаза же ср2 меняется просто пропорционально т.
Имея все это в виду, можно перейти к рассмотрению дискрет-
ной переменной т как непрерывной и описывать ход изменения
функции а,2{т) дифференциальным по т уравнением.
Понятие о мультипликаторе относится к самым малым вре-
менам после наступления неустойчивости, когда возмущение еще
описывается линейными уравнениями. В этой области функция
а,2{т) меняется, согласно сказанному, как /iT, а ее производная
d,CL2 1 / \
— = In/i-a2®,
dr
причем для малых надкритичностей:
ln/i = In |/i| - 2тгг^ « |/i| - 1 - 2тгг^. C0.4)
Это выражение — первый член разложения du2/dr по степеням
«2 и а^ и при увеличении модуля |а2| (но пока он все же остается
малым) надо учесть следующий член. Член, содержащий тот же
осциллирующий множитель е~г(^2, есть член третьего порядка:
2. Таким образом, приходим к уравнению
^ 2 C0.5)
ат
где @2 (как и /i) —комплексный параметр, зависящий от R, при-
чем Re @2 > 0 (ср. аналогичные рассуждения в связи с уравнени-
ем B6.7)). Вещественная часть этого уравнения сразу определяет
стационарное значение модуля:
§ 30 КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИНХРОНИЗАЦИЯ 161
Мнимая же часть дает уравнение для фазы ^(т); после уста-
новления стационарного значения модуля, оно принимает вид
*^ = 2тг^ + 1т/32-|40)|2- C0.6)
Согласно этому уравнению фаза (f2 вращается с постоянной
скоростью. Это свойство, однако, связано лишь с рассматривае-
мым приближением; с ростом надкритичности R — RKp2 равно-
мерность нарушается и скорость вращения по тору становится
сама функцией ср2. Чтобы учесть это, добавим в правую часть
уравнения C0.6) малое возмущение Ф(^); поскольку все физи-
чески различные значения ср2 заключены в одном интервале от 0
до 2тг, функция Ф((р2) —периодическая с периодом 2тг. Далее, ап-
проксимируем иррациональное отношение o^/^i рациональной
дробью (это можно сделать со сколь угодной степенью точности)
c^/^i = m2/mi + А, где 77^1, ?^2 —целые числа. Тогда уравнение
принимает вид
^ = 2тг^ + А + Im/02 ¦ |40)I2 + *Ы- C0-7)
ат mi
Будем теперь рассматривать значения фазы лишь в моменты
времени, кратные m\Ti, т. е. при значениях переменной т = туг,
где т — целое число. Первый член в правой части C0.7) приводит
за время т\Т\ к изменению фазы на 2тгт2, т. е. на целое, крат-
ное 2тг, которое можно просто опустить. После этого вся правая
часть уравнения оказывается малой величиной, и это позволяет
описывать изменение функции <f>2(j) дифференциальным урав-
нением по непрерывной переменной т:
^^ = д + im/?2 . |40)|2 + ФЫ C0.8)
mi ат
(на одном шаге изменения дискретной переменной т функция
(^2/^1 меняется незначительно).
В общем случае уравнение C0.8) имеет стационарные реше-
ния ср2 = у4 •> определяющиеся обращением в нуль правой части
уравнения. Но неизменность фазы (f2 в моменты времени, крат-
ные 777iTi, означает, что на торе существует предельный цикл —
траектория через mi оборотов замыкается. Ввиду периодично-
сти функции Ф((^2) такие решения появляются парами (в про-
стейшем случае — одна пара): одно решение на возрастающем, а
другое —на убывающем участках функции Ф(<^2)- Из этих двух
решений устойчиво только последнее, для которого вблизи точки
^2 = ^2 уравнение C0.8) имеет вид
dcp2 j, ( @)ч
-^ = —COnst • {(f2 — if\ )
dr
6 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI
162 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill
(с коэффициентом const > 0) и действительно имеет решение,
стремящееся к ср2 = цг2 5 второе же решение неустойчиво (для
него const < 0).
Рождение устойчивого предельного цикла на торе означа-
ет синхронизацию колебаний х) —исчезновение квазипериодиче-
ского и установление нового периодического режима. Это явле-
ние, которое в системе со многими степенями свободы может
произойти многими способами, препятствует возникновению ре-
жима, представляющего собой суперпозицию движений с боль-
шим числом несоизмеримых частот. В этом смысле можно ска-
зать, что вероятность реального осуществления именно сцена-
рия Ландау-Хопфа очень мала (этим не исключается, конечно,
в частных случаях возможность возникновения нескольких несо-
измеримых частот прежде, чем произойдет их синхронизация).

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Квазипериодическое движение и синхронизация частот» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»

Заказать диплом курсовую реферат
Реферати та публікації на інші теми: ЕКОНОМІЧНИЙ ЗМІСТ ВИЗНАЧЕННЯ РІВНЯ ЯКОСТІ ПРОДУКЦІЇ
Аудит касових операцій. Мета, завдання, джерела аудиту
Проектний контроль
БАНК МІЖНАРОДНИХ РОЗРАХУНКІВ
СТРУКТУРА ГРОШОВОГО РИНКУ


Категорія: Теоретична фізика у 10 томах | Додав: koljan (29.11.2013)
Переглядів: 492 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]

Онлайн замовлення

Заказать диплом курсовую реферат

Інші проекти




Діяльність здійснюється на основі свідоцтва про держреєстрацію ФОП