Квазипериодическое движение и синхронизация частот
В последующем изложении (§ 30-32) будет удобным поль- зоваться определенными геометрическими образами. Для этого введем математическое представление о пространстве состоя- ний жидкости, каждая точка которого отвечает определенному распределению (полю) скоростей в ней. Состояниям в близкие моменты времени соответствуют при этом близкие точки 4) . Образом стационарного движения служит точка, а образом периодического движения — замкнутая линия (траектория) в г) Если направление волнового вектора к (в плоскости ху) не совпадает с направлением v, а образует с ним угол <р, то в B9.8) v заменится на v cos if] это ясно из того, что невозмущенная скорость входит в исходное линеаризо- ванное уравнение Эйлера только в комбинации (vV). Очевидно, что и такие возмущения будут неустойчивы. ) Численные расчеты устойчивости производились для плоскопараллель- ных течений с профилем скоростей, меняющихся между двумя значениями ±г>о по некоторому закону, например, v = vq th (z/h) (роль числа Рейнольдса играет при этом R = voh/v). Нейтральная кривая в плоскости кК оказывает- ся выходящей из начала координат, так что для каждого значения R имеется интервал значений к (возрастающий с увеличением R), для которых течение неустойчиво. 3) Параграфы 30-32 написаны совместно с М.И. Рабиновичем. 4) В математической литературе это бесконечномерное функциональное пространство (или конечномерные пространства, которыми оно может быть в некоторых случаях заменено — см. ниже) часто называют фазовым. Мы не пользуемся здесь этим термином во избежание смешения с более конкрет- ным смыслом, который он обычно имеет в физике. 156 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill пространстве состояний; о них говорят соответственно как о пре- дельной точке или предельном цикле. Если эти движения устой- чивы, то это значит, что соседние траектории, описывающие про- цесс установления движения, стремятся (при t —>> оо) к предель- ной точке или предельному циклу. Предельный цикл (или точка) имеет в пространстве состоя- ний определенную область притяжения: начинающиеся в этой области траектории в конце концов выходят на цикл. В этой связи о предельном цикле говорят как об аттракторе . Под- черкнем, что для движения жидкости в заданном объеме с опре- деленными граничными условиями (и при заданном значении R) аттрактор может быть не единствен. Возможны ситуации, когда в пространстве состояний существуют различные аттракторы, каждый из которых имеет свою область притяжения. Другими словами, при R > RKp может оказаться более чем один устой- чивый режим движения и различные режимы осуществляются в зависимости от способа достижения данного значения R. Под- черкнем, что эти различные устойчивые режимы являются ре- шениями нелинейной (!) системы уравнений движения 2) . Обратимся к изучению явлений, возникающих при дальней- шем увеличении числа Рейнольдса, после достижения им крити- ческого значения и установления рассматривавшегося в § 26 пе- риодического течения. По мере увеличения R наступает в конце концов момент, когда становится неустойчивым и это периоди- ческое движение. Исследование этой неустойчивости должно, в принципе, производиться аналогично изложенному в § 26 спосо- бу определения неустойчивости исходного стационарного движе- ния. Роль невозмущенного движения играет теперь периодиче- ское движение vo(r, t) (с частотой ooi), а в уравнения движения подставляется v = vq + V2, где V2 — малая поправка. Для V2 получается снова линейное уравнение, но его коэффициенты яв- ляются теперь функциями не только координат, но и времени, причем по времени эти коэффициенты представляют собой пе- риодические функции с периодом Т\ = 2тт/оо\. Решение такого уравнения должно разыскиваться в виде v2 = П(г, t)e~iuj\ C0.1) где П(г, t) — периодическая функция времени (с тем же перио- дом Т]_). Неустойчивость наступает снова при появлении часто- ты оо = 002 + ^72 5 У которой мнимая часть 72 > 0, а вещественная часть 002 определяет новую появляющуюся частоту. ) От английского слова attraction — притяжение. 2) Такова, например, ситуация при потере устойчивости куэттовским тече- нием; устанавливающееся новое движение фактически зависит от истории процесса, которым цилиндры приводятся во вращение с определенными уг- ловыми скоростями. § 30 КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИНХРОНИЗАЦИЯ 157 За период Т\ возмущение C0.1) меняется в \i = e~lujTl раз. Этот множитель называют мультипликатором периодического движения; он является удобной характеристикой усиления или затухания возмущений этого движения. Периодическому движе- нию непрерывной среды (жидкости) соответствует бесконечное множество мультипликаторов, отвечающих бесконечному числу возможных независимых возмущений. Потеря им устойчивости происходит при числе RKp2, при котором один или более мульти- пликаторов по модулю становятся равными 1, т. е. в комплекс- ной плоскости значения /i пересекают единичную окружность. Ввиду вещественности уравнений проходить через эту окруж- ность мультипликаторы могут только комплексно-сопряженны- ми парами, или поодиночке, оставаясь вещественными, т. е. в точках +1 или — 1. Потеря устойчивости периодическим движе- нием сопровождается определенной качественной перестройкой поведения траекторий в пространстве состояний в окрестности ставшего неустойчивым предельного цикла или, как говорят, сво- ей локальной бифуркацией. Характер бифуркации в значитель- ной степени определяется именно тем, в каких точках единичной окружности мультипликаторы ее пересекают х) . Рассмотрим бифуркацию при пересечении единичной окруж- ности парой комплексно-сопряженных мультипликаторов вида /i = ехр(=р2тгш), где а — иррациональное число. Это приводит к появлению вторичного течения с новой независимой частотой U02 — oiuoi, т. е. в результате возникает некоторое квазиперио- дическое движение, характеризующееся двумя несоизмеримыми частотами. Геометрическим образом этого движения в простран- стве состояний служит траектория в виде незамкнутой намотки на двумерном торе 2) , причем став- ший неустойчивым предельный цикл служит образующей тора; частота ио\ соответствует вращению по образую- щей тора, частота ио2 — вращению на торе (рис. 18). Подобно тому, как по- сле появления первого периодическо- го движения течение обладало одной степенью свободы, теперь две величи- ны (фазы) являются произвольными, Рис. 18 т. е. движение обладает двумя степенями свободы. Потеря устой- чивости периодическим движением, сопровождающаяся «рожде- нием» двумерного тора, типична для гидродинамики. г) Отметим, что мультипликатор не может быть равным нулю: возмущение не может обратиться в нуль за конечное время (один период Т\). 2) Мы пользуемся математической терминологией, согласно которой то- ром называют поверхность без заключенного в ней объема. Так, двумерный тор — двумерная поверхность трехмерного «бублика». 158 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill Обсудим гипотетическую картину усложнения течения, воз- никшего в результате такой бифуркации, при дальнейшем увели- чении числа Рейнольдса, R > RKp2- Естественно было бы пред- пол ожить, что при последующем увеличении R будут последо- вательно появляться все новые периоды. На языке геометриче- ских образов это означает потерю устойчивости двумерным то- ром с возникновением в его окрестности трехмерного тора, затем в результате очередной бифуркации ему на смену придет четы- рехмерный тор и т. д. Интервалы между числами Рейнольдса, соответствующими появлению новых частот, быстро падают, а появляющиеся движения имеют все меньшие масштабы. Таким образом, движение быстро приобретает сложный и запутанный характер; его называют турбулентным в отличие от ламинар- ного , правильного течения, при котором жидкость движется как бы слоями, обладающими различными скоростями. Полагая сейчас, что такой путь (или, как говорят, сценарий) возникновения турбулентности действительно возможен х) , на- пишем общий вид функции v(r, ?), зависимость которой от вре- мени определяется некоторым числом N различных частот с^. Ее можно рассматривать как функцию N различных фаз (npi = = uoit-\- fii (и от координат), причем по каждой из них она перио- дична с периодом 2тг. Такая функция может быть представлена в виде ряда 1=1 представляющего собой обобщение B6.13) (суммирование по всем целым числам pi, _p2, ... , Pn)- Описываемое такой фор- мулой движение обладает N степенями свободы — в него входят N произвольных начальных фаз /% 2) . Состояния, фазы которых отличаются только на целое крат- ное 2тг, физически тождественны. Другими словами, все суще- ственно различные значения каждой из фаз лежат в интервале О ^ (fi ^ 2тг. Рассмотрим какую-нибудь пару фаз ip\ = uo\t + f3\ и Lp2 = ио2^-\-^2- Пусть в некоторый момент времени фаза (pi име- ет значение а. Тогда «одинаковые» с а значения фаза cpi будет иметь и во все моменты времени 1)Он был выдвинут Л.Д. Ландау A944) и затем независимо Хопфом (Е. Hopf, 1948). 2) Если выбрать фазы (fi в качестве координат, описывающих траекторию на TV-мерном торе, то соответствующие скорости будут постоянными вели- чинами: ф{ = uj{. В связи с этим о квазипериодическом движении говорят как о движении на торе с постоянной скоростью. § 30 КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИНХРОНИЗАЦИЯ 159 где s — любое целое число. Фаза ср2 в эти моменты имеет значения ^ = /3 + (а/3 Но различные частоты несоизмеримы друг с другом, так что a^/^i —иррациональное число. Приводя каждый раз посредством вычитания должного целого кратного от 2тг значение ср2 к интер- валу между 0 и 2тг, мы получим поэтому, при пробегании числом s значений от 0 до оо, для ср2 значения, сколь угодно близкие к любому наперед заданному числу в этом интервале. Другими словами, в течение достаточно большого промежутка времени cpi и Lp2 одновременно пройдут сколь угодно близко к любой паре наперед заданных значений. То же самое относится и ко всем фа- зам. Таким образом, в рассматриваемой модели турбулентности в течение достаточно долгого времени жидкость проходит через состояния, сколь угодно близкие к любому наперед заданному состоянию, определенному любым возможным набором одновре- менных значений фаз (fi. Время возврата, однако, очень быстро растет с увеличением N и становится столь большим, что факти- чески никакого следа какой-либо периодичности не остается х) . Подчеркнем теперь, что рассмотренный путь возникновения турбулентности базируется, по существу, на линейных представ- лениях. Действительно, фактически предполагалось, что при по- явлении в результате развития вторичных неустойчивостей но- вых периодических решений уже имевшиеся периодические ре- шения не только не исчезают, но и почти не меняются. В данной модели турбулентное движение есть просто суперпозиция боль- шого числа таких неизменяющихся решений. В общем же случае, однако, характер решений при увеличении числа Рейнольдса и потери ими устойчивости изменяется. Возмущения взаимодей- ствуют друг с другом, причем это может привести как к упро- щению движения, так и к его усложнению. Проиллюстрируем первую возможность. Ограничимся простейшим случаем: будем полагать, что воз- мущенное решение содержит всего лишь две независимые часто- ты. Как уже говорилось, геометрическим образом такого течения является незамкнутая намотка на двумерном торе. Возмущение на частоте a;i, возникшее при R = RKpi, естественно считать в окрестности числа R = RKp2 (при котором возникает возмущение частоты 002) более интенсивным и поэтому полагать его неизмен- ) В установившемся турбулентном режиме описанного типа вероятность нахождения системы (жидкости) в заданном малом объеме вокруг избран- ной точки пространства фаз <^i, 922, • • • , ^n дается отношением величины этого объема Fip)N к полному объему B^)^. Поэтому можно сказать, что г " —>cN за достаточно оолыпои промежуток времени лишь в течение его доли е (где к = In Bтг/д(р)) система будет находиться в окрестности заданной точки. 160 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill ным при относительно небольших изменениях числа R в этой окрестности. Имея это в виду, для описания эволюции возмуще- ния с частотой 002 на фоне периодического движения частоты ио\ введем новую переменную a2(t) = \a2(t)\e-^); C0.3) модуль |а2| —кратчайшее расстояние до образующей тора (став- шего неустойчивым предельного цикла частоты o;i), т. е. относи- тельная амплитуда вторичного периодического течения, а ср2 — его фаза. Рассмотрим поведение а2(?) в дискретные моменты времени, кратные периоду Т\ = 2tt/lji. За время одного периода возмущение частоты ui2 меняется в \i раз, где \i = |/i| exp {—2niuo2/ooi) — его мультипликатор; по истечении целого числа т таких перио- дов функция п2 умножится на \iT. Мы считаем надкритичность R ~~ ^кр2 малой; тогда инкремент возрастания возмущения тоже мал и, соответственно, разность \\i\ — 1 хоть и положительна, но мала, так что за период Т\ возмущение а2 меняется по модулю незначительно; фаза же ср2 меняется просто пропорционально т. Имея все это в виду, можно перейти к рассмотрению дискрет- ной переменной т как непрерывной и описывать ход изменения функции а,2{т) дифференциальным по т уравнением. Понятие о мультипликаторе относится к самым малым вре- менам после наступления неустойчивости, когда возмущение еще описывается линейными уравнениями. В этой области функция а,2{т) меняется, согласно сказанному, как /iT, а ее производная d,CL2 1 / \ — = In/i-a2®, dr причем для малых надкритичностей: ln/i = In |/i| - 2тгг^ « |/i| - 1 - 2тгг^. C0.4) Это выражение — первый член разложения du2/dr по степеням «2 и а^ и при увеличении модуля |а2| (но пока он все же остается малым) надо учесть следующий член. Член, содержащий тот же осциллирующий множитель е~г(^2, есть член третьего порядка: 2. Таким образом, приходим к уравнению ^ 2 C0.5) ат где @2 (как и /i) —комплексный параметр, зависящий от R, при- чем Re @2 > 0 (ср. аналогичные рассуждения в связи с уравнени- ем B6.7)). Вещественная часть этого уравнения сразу определяет стационарное значение модуля: § 30 КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИНХРОНИЗАЦИЯ 161 Мнимая же часть дает уравнение для фазы ^(т); после уста- новления стационарного значения модуля, оно принимает вид *^ = 2тг^ + 1т/32-|40)|2- C0.6) Согласно этому уравнению фаза (f2 вращается с постоянной скоростью. Это свойство, однако, связано лишь с рассматривае- мым приближением; с ростом надкритичности R — RKp2 равно- мерность нарушается и скорость вращения по тору становится сама функцией ср2. Чтобы учесть это, добавим в правую часть уравнения C0.6) малое возмущение Ф(^); поскольку все физи- чески различные значения ср2 заключены в одном интервале от 0 до 2тг, функция Ф((р2) —периодическая с периодом 2тг. Далее, ап- проксимируем иррациональное отношение o^/^i рациональной дробью (это можно сделать со сколь угодной степенью точности) c^/^i = m2/mi + А, где 77^1, ?^2 —целые числа. Тогда уравнение принимает вид ^ = 2тг^ + А + Im/02 ¦ |40)I2 + *Ы- C0-7) ат mi Будем теперь рассматривать значения фазы лишь в моменты времени, кратные m\Ti, т. е. при значениях переменной т = туг, где т — целое число. Первый член в правой части C0.7) приводит за время т\Т\ к изменению фазы на 2тгт2, т. е. на целое, крат- ное 2тг, которое можно просто опустить. После этого вся правая часть уравнения оказывается малой величиной, и это позволяет описывать изменение функции <f>2(j) дифференциальным урав- нением по непрерывной переменной т: ^^ = д + im/?2 . |40)|2 + ФЫ C0.8) mi ат (на одном шаге изменения дискретной переменной т функция (^2/^1 меняется незначительно). В общем случае уравнение C0.8) имеет стационарные реше- ния ср2 = у4 •> определяющиеся обращением в нуль правой части уравнения. Но неизменность фазы (f2 в моменты времени, крат- ные 777iTi, означает, что на торе существует предельный цикл — траектория через mi оборотов замыкается. Ввиду периодично- сти функции Ф((^2) такие решения появляются парами (в про- стейшем случае — одна пара): одно решение на возрастающем, а другое —на убывающем участках функции Ф(<^2)- Из этих двух решений устойчиво только последнее, для которого вблизи точки ^2 = ^2 уравнение C0.8) имеет вид dcp2 j, ( @)ч -^ = —COnst • {(f2 — if\ ) dr 6 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI 162 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill (с коэффициентом const > 0) и действительно имеет решение, стремящееся к ср2 = цг2 5 второе же решение неустойчиво (для него const < 0). Рождение устойчивого предельного цикла на торе означа- ет синхронизацию колебаний х) —исчезновение квазипериодиче- ского и установление нового периодического режима. Это явле- ние, которое в системе со многими степенями свободы может произойти многими способами, препятствует возникновению ре- жима, представляющего собой суперпозицию движений с боль- шим числом несоизмеримых частот. В этом смысле можно ска- зать, что вероятность реального осуществления именно сцена- рия Ландау-Хопфа очень мала (этим не исключается, конечно, в частных случаях возможность возникновения нескольких несо- измеримых частот прежде, чем произойдет их синхронизация).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Квазипериодическое движение и синхронизация частот» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Под- 