Движением несжимаемой жидкости, неустойчивым в идеаль- ной жидкости, являются течения, при которых два слоя жидко- сти двигались бы друг относительно друга, «скользя» один по х) См. Куликовский А.Г. II Прикл. мат. и мех. 1968. Т. 32. С. 112. § 29 НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ТАНГЕНЦИАЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ 153 другому; поверхность раздела между этими двумя слоями жид- кости была бы поверхностью тангенциального разрыва, на ко- торой скорость жидкости (направленная по касательной к по- верхности) испытывала бы скачок (Н. Helmholtz, 1868; W. Kelvin, 1871). В дальнейшем мы увидим, к какой картине фактически осуществляющегося движения приводит эта неустойчивость (§ 35); здесь же проведем доказательство сделанного утверж- дения. Рассматривая небольшой участок поверхности разрыва и те- чение жидкости вблизи него, мы можем считать этот участок плоским, а скорости vi и V2 жидкости по обеим его сторонам постоянными. Не ограничивая общности, можно считать, что од- на из этих скоростей равна нулю; этого всегда можно добиться соответствующим выбором системы координат. Пусть V2 = 0, а vi обозначим просто как v; направление v выберем в качестве оси ж, а ось z направим по нормали к поверхности. Пусть поверхность разрыва испытывает слабое возмущение («рябь»), при котором все величины — координаты точек самой поверхности, давление и скорость жидкости — являются перио- дическими функциями, пропорциональными ег(кх~иг). Рассмотрим жидкость с той стороны от поверхности разрыва, где ее скорость равна v, и обозначим через v7 малое изменение скорости при возмущении. Согласно уравнениям B6.4) (с постоянным vq = v и v = 0) имеем для возмущения v7 следующую систему: divv' = 0, ^ + (vV)v'=-^. dt p Поскольку v направлено по оси ж, то второе уравнение можно переписать в виде *L + V*L = JE?. B9.1) dt дх р v J Если применить к обеим его частям операцию div, то в силу первого уравнения мы получим слева нуль, так что р' должно удовлетворять уравнению Лапласа Ар' = 0. B9.2) Пусть ( = ?(ж, t) есть смещение вдоль оси z точек поверхно- сти разрыва при возмущении. Производная d(/dt есть скорость изменения координаты ( поверхности при заданной координа- те х. Поскольку нормальная к поверхности разрыва компонента скорости жидкости равна скорости перемещения самой поверх- ности, то в требуемом приближении имеем (для vz надо, конечно, брать ее значение на самой поверхности). 154 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill Будем искать р' в виде р1 = f{z)ei^kx-U3t\ Подстановка в B9.2) дает для f(z) уравнение откуда / = const • е . Пусть пространство с рассматриваемой стороны поверхности разрыва (сторона 1) соответствует поло- жительным z. Тогда мы должны взять / = const • e~kz, так что р[ = const • ei(kx-ut)e-kzm B9<4) Подставляя это выражение в ^-компоненту уравнения B9.1), найдем ipi(kv — ш) Смещение ? тоже ищем в виде, пропорциональном такому же экспоненциальному множителю et(kx~ujt"), и получаем из B9.3) v'z = i((kv — uS). Вместе с B9.5) это дает , = _^{ку-ш)\ B9б) к Давление р'2 по другую сторону поверхности выразится такой же формулой, в которой надо теперь положить v = 0, и, кроме того, изменить общий знак (соответственно тому, что в этой области г<0и все величины должны быть пропорциональны ekz, а не e~kz). Таким образом, р'2 = (p-?f. B9.7) к Мы пишем различные плотности р\ и /92, имея в виду охватить также и случай, когда речь идет о границе раздела между двумя различными несмешивающимися жидкостями. Наконец, из условия равенства давлений р± и р% на поверхно- сти разрыва получаем откуда находим искомую зависимость между ио и к: ± %Jp\p2 v 7 = kv pi + р2 Случай kv = cj, в принципе возможный, нас не интересует, так как неустойчивость может быть связана только с комплексными, а не веществен- ными частотами ио. § 30 КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИНХРОНИЗАЦИЯ 155 Мы видим, что ио оказывается комплексной величиной, причем всегда имеются ио с положительной мнимой частью. Таким обра- зом, тангенциальные разрывы неустойчивы — уже по отношению к бесконечно малым возмущениям х) . В таком виде этот резуль- тат относится к сколь угодно малой вязкости. В этом случае не имеет смысла различать неустойчивость сносового типа от аб- солютной неустойчивости, поскольку с увеличением к мнимая часть ио неограниченно возрастает, и потому коэффициент уси- ления возмущения при его сносе может быть сколь угодно велик. При учете конечной вязкости тангенциальный разрыв теряет свою резкость; изменение скорости от одного до другого значе- ния происходит в слое конечной толщины. Вопрос об устойчиво- сти такого движения в математическом отношении вполне анало- гичен вопросу об устойчивости в ламинарном пограничном слое с перегибом в профиле скоростей (§ 41). Экспериментальные дан- ные и численные расчеты показывают, что в данном случае неус- тойчивость наступает очень рано, возможно даже, что всегда 2) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Неустойчивость тангенциальных разрывов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
