В уравнении Навье-Стокса ста- ционарного движения (vV)v = -V^ + z/Av B1.5) р вдали от тела используем приближение Осеена — заменяем член (vV)v на (UV)v (ср. B0.17)). Кроме того, в области внутри сле- да можно пренебречь в Av производной по продольной коор- динате х по сравнению с поперечными производными. Таким образом, исходим из уравнения Л V+ ,(? + ?). B1.6) дх р \ ду2 dz2 J Ищем его решение в виде v = vi + V2, где vi—решение уравнения [/^ = ^ + ^i). B1.7) дх \ ду2 dz2 ) V } Величину же V2, связанную с членом —V(p/p) в исходном урав- нении B1.6), можно искать в виде градиента УФ от некоторого скаляра . Поскольку вдали от тела производные по х малы по сравнению с производными по у и z, в рассматриваемом прибли- жении надо пренебречь членом дФ/дх, т. е. считать vx = v\x. Таким образом, для vx имеем уравнение Это уравнение формально совпадает с двумерным уравнени- ем теплопроводности, причем роль времени играет ж/С/, а роль коэффициента температуропроводности — вязкость v. Решение, убывающее с возрастанием у и z (при заданном ж), а в пределе при х —>> 0 приводящее к бесконечно малой ширине следа (в рас- сматриваемом приближении расстояния порядка размеров тела считаются малыми), есть B1.9) Далее в этом параграфе потенциал скорости обозначаем как Ф, в отли- чие от азимутального угла ср сферической системы координат. 106 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II (ср. § 51). Коэффициент в этой формуле выражен через силу сопротивления с помощью формулы B1.1), в которой, ввиду бы- строй сходимости интеграла, можно распространить его по всей плоскости уz. Если ввести вместо декартовых координат сфе- рические г, 6, (р с полярной осью по оси ж, то области следа (л/у2 + z1 <С ж) будут соответствовать значения полярного угла в <^1. Формула B1.9) в этих координатах примет вид B1.10) Опущенный нами член с дФ/дх (с Ф из получаемой ниже фор- мулы B1.12)) дал бы в vx член, содержащий дополнительную малость ~0. Такой же вид, как B1.9) (но с другими коэффициентами), должны иметь и v\y, v\z. Выберем направление подъемной силы в качестве оси у (так что Fz = 0). Согласно B1.2), и замечая, что на бесконечности Ф = 0, имеем vy ay dz = /( v\y + — I dydz = / v\y dydz = — —% J J V ^2/ / У pt/ ^i^ rfy d2: = 0. Ясно поэтому, что viy отличается от B1.9) заменой Fx на Fyi a viz — 0. Таким образом, находим I U VU +Z I . ^Ф ^Ф /O1 -, -, \ exp --ii >- +—, ^ = —. B1.11) Для определения функции Ф поступаем следующим образом. Пишем уравнение непрерывности, пренебрегая в нем продольной производной dvx/dx: diw^ -р- + -^ = ( — + —- )Ф + + ^ = (^ + ^ ду dz \ду2 dz2) ду dz \ду2 dz2) ду Продифференцировав это равенство по ж и воспользовавшись уравнением B1.7) для v\y, получаем \ду2 dz2 J дх ду\дх) U\dy2 dz2 J ду Отсюда дх U ду Наконец, подставив выражение для v\y (первый член в B1.11)) и проинтегрировав по ж, находим окончательно: F у ~ 2тгРи у2 + г § 21 ЛАМИНАРНЫЙ СЛЕД 107 (постоянная интегрирования выбрана так, чтобы Ф оставалось конечным при у = z = 0). В сферических координатах (с азиму- том (р, отсчитываемым от плоскости ху): Ф = -_^^(ехр[-^1 - l). B1.13) 2тг pU гв I FL 4i/ J J V 7 Из B1.11)—B1.13) видно, что г^ и г^ содержат в отличие от vx наряду с членами, экспоненциально убывающими с увеличе- нием в (при заданном г), также и члены, значительно менее быстро убывающие при удалении от оси следа (как 1/в2). Если подъемная сила отсутствует, то движение в следе осе- симметрично и Ф = 0 х) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Движение внутри следа» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Поскольку вдали от тела производные по х малы по 