Уравнение Навье-Стокса заметно упрощается для движе- ний с малым числом Рейнольдса. Для стационарного движения несжимаемой жидкости это уравнение имеет вид (vV)v = —-grad]9+ -Av. Р Р Член (vV)v имеет порядок величины и2 //, где и и / имеют тот же смысл, как и в § 19. Выражение же (r//p)Av ^ rju/(pi2). Отноше- ние первой величины ко второй есть как раз число Рейнольдса. Поэтому при R^Cl членом (vV)v можно пренебречь, и уравнение движения сводится к линейному уравнению r/Av - gradp = 0. B0.1) Вместе с уравнением непрерывности divv = 0 B0.2) оно полностью определяет движение. Полезно также заметить уравнение Arotv = 0, B0.3) получающееся применением операции rot к уравнению B0.1). Рассмотрим прямолинейное и равномерное движение шара в вязкой жидкости (G.G. Stokes, 1851). Эта задача вполне 90 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II эквивалентна задаче об обтекании неподвижного шара потоком жидкости, имеющим на бесконечность заданную скорость и. Рас- пределение скоростей в первой задаче получается из решения второй задачи просто вычитанием скорости и; тогда жидкость на бесконечности оказывается неподвижной, а шар движется со скоростью — и. Если мы рассматриваем движение как стационар- ное, то надо, конечно, говорить именно об обтекании жидкостью неподвижного шара, так как при движущемся шаре скорость жидкости в каждой точке пространства меняется со временем. Поскольку div (v — u) = divv = 0, то v — u может быть представлено в виде ротора некоторого вектора А: v — и = — rot А, причем rot А обращается на бесконечности в нуль. Вектор А должен быть аксиальным для того, чтобы его ротор был поляр- ным вектором, как скорость. В задаче об обтекании полностью симметричного тела — шара — нет никаких выделенных направ- лений за исключением направления и. Этот параметр и должен входить в А линейно — в виду линейности уравнения движения и граничных условий к нему. Общий вид векторной функции А (г), удовлетворяющей всем этим требованиям, есть А = /'(г) [пи], где п — единичный вектор в направлении радиус-вектора г (на- чало координат выбираем в центре шара), а /'(г) —скалярная функция от г. Произведение f'®n можно представить в виде градиента некоторой другой функции /(г). Таким образом, мы будем искать скорость в виде v = u + rot [V/ • и] = и + rot rot /и B0.4) (в последнем равенстве учтено, что и = const). Для определения функции / воспользуемся уравнением B0.3). Имеем rot v = rot rot rot /u = (grad div —A) rot /u = —A rot /u. Поэтому B0.3) принимает вид A2 rot /u = A2[V/ • u] = [A2 grad / • u] = 0. Отсюда следует, что должно быть A2grad/ = 0. B0.5) Первое интегрирование дает А2/ = const. Легко видеть, что const должна быть положена равной нулю. Действительно, на бесконечности разность v —u должна исчезать; тем более это от- носится к ее производным. Выражение же А2/ содержит четвер- тые производные от /, между тем как сама скорость выражается через ее вторые производные. § 20 ТЕЧЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА 91 Таким образом, имеем tff ® г2 dr \ dr ) Отсюда Г Постоянная с должна быть положена равной нулю для того, что- бы скорость v — u исчезала на бесконечности. Интегрируя оста- ющееся уравнение, находим f = аг+- B0.6) г (аддитивная постоянная в / опущена как несущественная — ско- рость определяется производными от /). Подстановка в B0.4) дает после простого вычисления v = u-qu + n(un)+fe3n(un)-u. B0.7) Г Г3 Постоянные а и b должны быть определены из граничного усло- вия v = 0 при г = R (на поверхности шара): и 1 — — — — + n(un) —— + — = 0. V R R4 V J\ R R3J Поскольку это равенство должно иметь место при произвольном п, то коэффициенты при и и при n(un) должны обращаться в нуль каждый в отдельности. Отсюда находим а = 3i?/4, b = i?3/4 и окончательно: / = ^i?r + f, B0.8) 4 4r v = 3R u + n(un) _ Rs u - 3n(un) + u ^QQ^ 4 r 4 rs Компоненты скорости в сферических координатах (с полярной осью в направлении и): 2г 2г3{ B0.10) 4r 4r3J Этим определяется распределение скоростей вокруг движущего- ся шара. Для определения давления подставляем B0.4) в B0.1): gididp = r/Av = r/Arotrot /u = r/A(graddiv/u — uAJ). 92 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II Но А2/ = 0 и потому gradp = grad (r/A div /u) = grad (r/ugrad A/). Отсюда p = r/ugrad A/ +po B0.11) (po — давление жидкости на бесконечности). Подстановка / при- водит к окончательному выражению P = Po-h™R- B0-12) 2 г2 С помощью полученных формул можно вычислить силу F давления текущей жидкости на шар (или, что то же, силу сопро- тивления, испытываемую движущимся в жидкости шаром). Для этого введем сферические координаты с полярной осью вдоль скорости и; все величины будут в силу симметрии функциями только от г и полярного угла в. Очевидно, что сила F направле- на по скорости и. Абсолютная величина этой силы может быть определена с помощью A5.14). Определяя из этой формулы ком- поненты (по нормали и по касательной к поверхности) силы, при- ложенной к элементу поверхности шара, и проецируя эти компо- ненты на направление и, найдем F= I\-р cos в + атт cos в -a'r0 sin в) df, B0.13) где интегрирование производится по всей поверхности шара. Подставив выражения B0.10) в формулы / г, dvr ! fldvr dv0 ve \ or \r 39 or r J (cm. A5.20)), найдем, что на поверхности шара отт = 0, а'гв = — а давление B0.12) отт = 0, агв 2R Поэтому интеграл B0.13) сводится к выражению F = ^ [ df. 2R J J Окончательно находим следующую формулу Стокса для силы сопротивления, действующей на медленно движущийся в § 20 ТЕЧЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА 93 жидкости шар : F = бпЩи. B0.14) Отметим, что сила сопротивления оказывается пропорцио- нальной первым степеням скорости и линейных размеров тела. Такая зависимость могла бы быть предсказана уже из сообра- жений размерности. Дело в том, что в приближенные уравне- ния движения B0.1), B0.2) параметр р — плотность жидкости — не входит. Поэтому определенная с их помощью сила F может выражаться только через величины г/, и, R] из них можно со- ставить только одну комбинацию с размерностью силы — произ- ведение r]uR. Такая же зависимость имеет место и для медленно движу- щихся тел другой формы. Направление силы сопротивления, в общем случае тела произвольной формы, не совпадает с направ- лением скорости; в общем виде зависимость F от и может быть написана как Fi = г]щкик, B0.15) где Щк — не зависящий от скорости тензор второго ранга. Суще- ственно, что этот тензор симметричен. Это утверждение (спра- ведливое в линейном по скорости приближении) является част- ным случаем общего закона, имеющего место для медленных движений, сопровождающихся диссипативными процессами (см. V, § 121).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Течение при малых числах Рейнольдса» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
: 