Рассмотрим движение жидкости, заключенной между дву- мя коаксиальными бесконечными цилиндрами, вращающимися вокруг своей оси с угловыми скоростями fii и О2; радиусы ци- линдров пусть будут R\ и i?2, причем i?2 > R\ x) . Выберем ци- линдрические координаты г, z, if с осью z по оси цилиндров. Из симметрии очевидно, что vz = vr = 0, V(p = v®; p = p®. Уравнение Навье-Стокса в цилиндрических координатах дает в рассматриваемом случае два уравнения: ^ = pv-, A8.1) dr г ^ + 1^_Л = 0. A8.2) dr2 г dr г2 Второе из этих уравнений имеет решения типа тп\ подстановка решения в таком виде дает п = ±1, так что v = аг + -. г Постоянные а и b находятся из предельных условий, согласно ко- торым скорость жидкости на внутренней и внешней цилиндри- ческих поверхностях должна быть равна скорости соответствую- щего цилиндра: v = R±fti при г = i?i, v = i?2^2 при г = i?2- В результате получаем распределение скоростей в виде Распределение давления получается отсюда согласно A8.1) про- стым интегрированием. При 0,1 = О2 = О скорость г; = Or, т. е. жидкость враща- ется как целое вместе с цилиндрами. При отсутствии внешнего цилиндра (Г^2 = 0; i?2 — оо) скорость v = Определим еще момент действующих на цилиндры сил тре- ния. На единицу поверхности внутреннего цилиндра действует 1) В литературе движение между вращающимися цилиндрами часто назы- вают течением Куэтта (М. Couette, 1890). В пределе R\ —»¦ R2 оно пере- ходит в течение A7.1) между движущимися параллельными плоскостями; о нем говорят как о плоском течении Куэтта. 86 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II сила трения, направленная по касательной к поверхности и рав- ная согласно A5.14) компоненте а'Г(р тензора напряжений. С по- мощью формул A5.17) находим \r=Rl 1Г1 Щ-Щ ¦ Момент этой силы получается отсюда умножением на R\, а пол- ный момент Mi, действующий на единицу длины цилиндра — умножением еще на 2ttRi. Таким образом, находим _ R\-R\ Момент сил, действующих на внешний цилиндр, М2 = —М\. При О2 = 0 и малом зазоре между цилиндрами (д = i?2 — R\ <С R2) формула A8.4) принимает вид М2 = rjRSu/6, A8.5) где S ~ 2ttR — площадь поверхности единицы длины цилиндра, а и = ft±R — ее окружная скорость х) . По поводу полученных в этом и предыдущем параграфах ре- шений уравнений движения вязкой жидкости можно сделать сле- дующее общее замечание. Во всех этих случаях нелинейный член (vV)v тождественно исчезает из уравнений, определяющих рас- пределение скоростей, так что фактически приходится решать линейные уравнения, что крайне облегчает задачу. По этой же причине все эти решения тождественно удовлетворяют также и уравнениям движения идеальной несжимаемой жидкости, напи- санным, например, в виде A0.2), A0.3). С этим связано то об- стоятельство, что формулы A7.1) и A8.3) не содержат вовсе ко- эффициента вязкости жидкости. Коэффициент вязкости содер- жится только в таких формулах, как A7.9), которые связыва- ют скорость с градиентом давления в жидкости, поскольку са- мое наличие градиента давления связано с вязкостью жидкости; идеальная жидкость могла бы течь по трубе и при отсутствии градиента давления.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Движение жидкости между вращающимися цилиндрами» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
