Мы переходим теперь к изучению влияния, которое оказы вают на движение жидкости происходящие при движении про цессы диссипации энергии. Эти процессы являются выражением всегда имеющей место в той или иной степени термодинамиче ской необратимости движения, связанной с наличием внутрен него трения (вязкости) и теплопроводности. Для того чтобы получить уравнения, описывающие движение вязкой жидкости, необходимо ввести дополнительные члены в уравнение движения идеальной жидкости. Что касается уравне ния непрерывности, то оно, как явствует из самого его вывода, относится в равной мере к движению всякой жидкости, в том числе и вязкой. Уравнение же Эйлера должно быть изменено. Мы видели в § 7, что уравнение Эйлера может быть написано в виде дГ д х к ’ где — тензор плотности потока импульса. Поток импульса, определяемый формулой (7.2), представляет собой чисто обра тимый перенос импульса, связанный просто с механическим пе редвижением различных участков жидкости из одного места в другое и с действующими в жидкости силами давления. Вяз кость (внутреннее трение) жидкости проявляется в наличии еще дополнительного, необратимого, переноса импульса из мест с большей скоростью в места с меньшей. Поэтому уравнение движения вязкой жидкости можно по лучить, прибавив к «идеальному» потоку импульса (7.2) допол нительный член afik1 определяющий необратимый, «вязкий», пе ренос импульса в жидкости. Таким образом, мы будем писать тензор плотности потока импульса в вязкой жидкости в виде п ik = pSik + pviVk - a'ik = - a ik + pviVk■ (15.1) Тензор Oik = -p$ik + a'ik (15.2) называют тензором напряжений, a a'ik — вязким тензором на- пряжений. Тензор определяет ту часть потока импульса, ко72 В Я З К А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . II торая не связана с непосредственным переносом импульса вместе с массой передвигающейся жидкости : ) . Установить общий вид тензора о\к можно, исходя из следую щих соображений. Процессы внутреннего трения в жидкости воз никают только в тех случаях, когда различные участки жидко сти движутся с различной скоростью, так что имеет место дви жение частей жидкости друг относительно друга. Поэтому а[к должно зависеть от производных от скорости по координатам. Если градиенты скорости не очень велики, то можно считать, что обусловленный вязкостью перенос импульса зависит толь ко от первых производных скорости. Самую зависимость a rik от производных dvi/дх^ можно в том же приближении считать ли нейной. Не зависящие от d v i/d x & члены должны отсутствовать в выражении для a fik1 поскольку a rik должны обратиться в нуль при v = const. Далее замечаем, что arik должно обращаться в нуль также и в том случае, когда вся жидкость как целое совер шает равномерное вращение, поскольку ясно, что при таком дви жении никакого внутреннего трения в жидкости не происходит. При равномерном вращении с угловой скоростью ft скорость v равна векторному произведению [Пг]. Линейными комбинация ми производных dvi/dx^, обращающимися в нуль при v = [Пг], являются суммы dvj dvk дхк dxi Поэтому а[к должно содержать именно эти симметричные ком бинации производных dvijdx^. Наиболее общим видом тензора второго ранга, удовлетво ряющего этим условиям, является / ( dvi . dvk 2 с d v i \ . * г dvi 0 \ aik = ~ ^ ik— + t S ik— (15.3) \^C/Xk (JXi 3 &Xl J CsXl с независящими от скорости коэффициентами г/ и £; в этом утверждении использована изотропия жидкости, вследствии ко торой ее свойства как таковой могут характеризоваться лишь скалярными величинами (в данном случае — г/ и (). Члены в (15.3) сгруппированы таким образом, что выражение в скоб ках дает нуль при свертывании (т. е. при суммировании компо нент с г = к). Величины г/ и ( называют коэффициентами вязко сти (причем ( часто называют второй вязкостью). Как будет 1)М ы увидим ниже, что <j'ik содержит член, пропорциональный Sik, т. е. член такого же вида, как и pSik. Поэтому, строго говоря, после такого ви доизменения формы тензора потока импульса должно быть уточнено, что именно подразумевается под давлением р. См. об этом конец § 49.У Р А В Н Е Н И Я Д В И Ж Е Н И Я В Я З К О Й Ж И Д К О С Т И 73 показано в § 16, 49, оба они положительны: г] > О, С > 0. (15.4) Уравнения движения вязкой жидкости можно теперь полу- Это есть наиболее общий вид уравнений движения вязкой жид кости. Величины г/, ( являются, вообще говоря, функциями дав ления и температуры. В общем случае р, Т, а потому и г/, (, не постоянны вдоль всей жидкости, так что г/ и £ не могут быть вынесены из-под знака производной. В большинстве случаев, однако, изменение коэффициентов вязкости вдоль жидкости незначительно, и потому можно счи тать их постоянными. Тогда уравнения (15.5) можно представить в векторном виде Это —так называемое уравнение Навъе-Стокса. Оно существенно упрощается, если жидкость можно считать несжимаемой. Тогда d ivv = 0 и последний член справа в (15.6) исчезает. Рассматривая вязкую жидкость, мы фактически всегда будем считать ее несжимаемой и соответственно этому пользо ваться уравнением движения в виде 1) Тензор напряжений в несжимаемой жидкости тоже принимает простой вид представлений Навье ( C.L. Navier, 1827). Вывод уравнений (15.6), (15.7) (без члена с С), близкий к современному, был дан Стоксом ( G.G. Stokes, 1845). Таким образом, получаем dxi dxi дхк др д р ^ + (vV )v = — grad р + г/ A v + ^ grad divv. (15.6) — + (vV )v = — - grad]9 + -A v . (15.7) dt p p (15.8) : ) Уравнение (15.7) было впервые сформулировано на основе модельных74 В Я З К А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . II Мы видим, что в несжимаемой жидкости вязкость описыва ется всего одним коэффициентом. Поскольку практически жид кость можно очень часто считать несжимаемой, обычно играет роль именно этот коэффициент вязкости г/. Отношение v = — (15.9) Р называют кинематической вязкостью, а коэффициент г/ — ди намической). Приведем значения величин г/ и I/ для некоторых жидкостей и газов (при температуре 2 0 °С) в абсолютных еди ницах: ту, г/с • см см2/с Вода . . . . 0 , 0 1 0 0 , 0 1 0 Воздух . . . . 1 , 8 • 1 0 - 4 0,150 Спирт . . . . 0,018 0 , 0 2 2 Глицерин . . . 8,5 6 , 8 Ртуть . . . . 0,0156 0 , 0 0 1 2 Упомянем, что динамическая вязкость газов при заданной тем пературе не зависит от давления. Кинематическая же вязкость соответственно обратно пропорциональна давлению. Из уравнения (15.7) можно исключить давление таким же об разом, как это было сделано раньше с уравнением Эйлера. При менив к обеим частям уравнения операцию rot, получим д — rot v = rot [v rot vl + v A rot v dt 1 J (ср. уравнение (2.11) для идеальной жидкости). Поскольку здесь идет речь о несжимаемой жидкости, этому уравнению можно придать другой вид, раскрыв первый член в его правой части по правилам векторного анализа и учтя равенство d ivv = 0: rot v + (vV) rot v — (rot v • V )v = и A rot v. (15.10) По известному распределению скоростей, распределение давле ния в жидкости может быть найдено путем решения уравнения типа уравнения Пуассона: А р = (15Л1) dxk dxi дхк dxi оно получается применением к уравнению (15.7) операции div. Приведем здесь также уравнение, которому удовлетворяет функция тока ф(х, у) при двумерном течении несжимаемой вяз кой жидкости. Оно получается подстановкой (10.9) в уравнение (15.10): 1 А ф _ д ± д А ф + д ± д А ф _ и А А ф ' (15Л2) dt г дх ду ду дх r v 'У Р А В Н Е Н И Я Д В И Ж Е Н И Я В Я З К О Й Ж И Д К О С Т И 75 Необходимо написать еще граничное условие к уравнениям движения вязкой жидкости. Между поверхностью твердого те ла и всякой вязкой жидкостью всегда существуют силы моле кулярного сцепления, приводящие к тому, что прилегающий к твердой стенке слой жидкости полностью задерживается, как бы прилипая к ней. Соответственно этому граничное условие к уравнениям движения вязкой жидкости состоит в требовании обращения в нуль скорости жидкости на неподвижных твердых поверхностях: v = 0. (15.13) Подчеркнем, что здесь требуется исчезновение как нормальной, так и тангенциальной компонент скорости, между тем как гра ничные условия к уравнениям идеальной жидкости требуют об ращения в нуль только V n 1) . В общем случае движущейся поверхности скорость v должна быть равна скорости этой поверхности. Легко написать выражение для силы, действующей на сопри касающуюся с жидкостью твердую поверхность. Сила, действую щая на некоторый элемент поверхности, есть не что иное, как по ток импульса через этот элемент. Поток импульса через элемент поверхности df есть П-г/с d f k = ( p V i V k — (Jik) dffo. Написав dfk в виде dfk = n^df, где n — единичный вектор норма ли к поверхности, и помня, что на твердой поверхности v = 0 2) , находим, что сила Р , действующая на единицу площади поверх ности, равна Pi = -OikUk = РЩ - о\кп к. (15.14) Первый член есть обычное давление жидкости, а второй пред ставляет собой действующую на поверхность силу трения, обу словленную вязкостью. Подчеркнем, что п в (15.14) есть еди ничный вектор нормали, внешней по отношению к поверхности жидкости, т. е. внутренней по отношению к твердой поверхности. Если мы имеем границу раздела двух несмешивающихся жид костей (или жидкости и газа), то условия на этой поверхности гласят, что скорости обеих жидкостей должны быть равны и силы, с которыми они действуют друг на друга, должны быть х) Отметим, что решениями уравнения Эйлера нельзя удовлетворить лиш нему (по сравнению со случаем идеальной жидкости) граничному условию обращения в нуль тангенциальной скорости. Математически это связано с более низким (первым) порядком этого уравнения по координатным произ водным, чем порядок (второй) уравнения Навье-Стокса. 2)П ри определении действующей на поверхность силы надо рассматри вать данный элемент поверхности в системе отсчета, в которой он покоится. Сила равна просто потоку импульса только при неподвижной поверхности.76 В Я З К А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . II одинаковы по величине и противоположны по направлению. Вто рое из этих условий записывается в виде п (1)сг(1) _L П (2)а (2) — П Пк a ik + Пк a ik — U’ где индексы 1 и 2 относятся к двум жидкостям. Векторы нормали nW и п^2) имеют взаимно противоположные направления, п^1) = = — п^2) = п, так что можно написать: ЩаЦ] = щ а Ц \ (15.15) На свободной поверхности жидкости должно выполняться усло вие °гкПк = о\кПк - рЩ = 0. (15.16)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнения движения вязкой жидкости» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
