Рассмотрев гравитаци онные волны, длина которых мала по сравнению с глубиной жид кости, остановимся теперь на противоположном предельном слу чае волн, длина которых велика по сравнению с глубиной жид кости. Такие волны называются длинными. Рассмотрим сначала распространение длинных волн в канале. Длину канала (направленную вдоль оси х) будем считать неогра ниченной. Сечение канала может иметь произвольную форму и может меняться вдоль его длины. Площадь поперечного сече ния жидкости в канале обозначим через S = S'(ж, £). Глубина и ширина канала предполагаются малыми по сравнению с длиной волны. Мы будем рассматривать здесь продольные длинные волны, в которых жидкость движется вдоль канала. В таких волнах ком понента vx скорости вдоль длины канала велика по сравнению с 58 И Д Е А Л Ь Н А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . I Опустив индекс х у компоненты скорости vXl а также малые члены, мы можем написать ж-компоненту уравнения Эйлера в виде dv _ 1 др dt р дх ’ а ^-компоненту — в виде 1 др я = ~ g р dz (квадратичные по скорости члены опускаем, поскольку амплиту да волны по-прежнему считается малой). Из второго уравнения имеем, замечая, что на свободной поверхности (z = () должно быть р = ро’. P = P0 +gP(C - z). Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем I = -*£■ (1211> Второе уравнение для определения двух неизвестных v и ( можно вывести методом, аналогичным выводу уравнения непре рывности. Это уравнение представляет собой по существу урав нение непрерывности применительно к рассматриваемому слу чаю. Рассмотрим объем жидкости, заключенный между двумя плоскостями поперечного сечения канала, находящимися на рас стоянии dx друг от друга. За единицу времени через одну плос кость войдет объем жидкости, равный (S v )x, а через другую плоскость выйдет объем (Sv)x+dx . Поэтому объем жидкости между обеими плоскостями изменится на (S v)x+dx - (Sv)x = dx. Но в силу несжимаемости жидкости это изменение может про изойти только за счет изменения ее уровня. Изменение объема жидкости между рассматриваемыми плоскостями в единицу вре мени равно дБ , — ах. dt Следовательно, можно написать: или 9 S d x - - 9 ( S v ) d x \A)*Aj -- KAjiAj • dt dx — + ^ ^ = 0. (12.12) dt dx Это и есть искомое уравнение непрерывности.Г Р А В И Т А Ц И О Н Н Ы Е В О Л Н Ы 59 Пусть So есть площадь поперечного сечения жидкости в ка нале при равновесии. Тогда S = S q + S'7, где S7 — изменение этой площади благодаря наличию волны. Поскольку изменение уров ня жидкости в волне мало, то S7 можно написать в виде Ь£, где b — ширина сечения канала у самой поверхности жидкости в нем. Уравнение (12.12) приобретает тогда вид b < X + d ( S o v ) _ = 0_ (12.13) dt дх к ’ Дифференцируя (12.13) по t и подставляя — из (12.11) получим d t . ( 5 о | ) = 0. (12.14) д С _ gd_ d t 2 b d x Если сечение канала одинаково вдоль всей его длины, то So = = const и а 2 с _ g S 0 d 2 С _ 0. (12.15) d t 2 ь d x 2 y J Уравнение такого вида называется волновым; как будет показано в § 64, оно соответствует распространению волн с не зависящей от частоты скоростью С/, равной квадратному корню из коэффи циента при д2С)/ д х 2. Таким образом, скорость распространения длинных гравитационных волн в каналах равна U = (12.16) Аналогичным образом можно рассмотреть длинные волны в обширном бассейне, который мы будем считать неограниченным в двух измерениях (вдоль плоскости ху). Глубину жидкости в бассейне обозначим буквой h. Из трех компонент скорости малой является теперь компонента vz . Уравнения Эйлера приобретают вид, аналогичный (12.11): ^ Г + £ ? = 0’ ^ Г + £ ? = 0- (12Л?) d t d x d t d y Уравнение непрерывности выводится аналогично (12.12) и имеет вид d h d ( h v x ) d ( h v y ) _ q d t d x d y Глубину h пишем в виде h = /го+C? ГДе — равновесная глубина. Тогда d ( d ( h 0 v x ) d ( h 0 V y ) _ Q ^ d t d x d y \ • J60 И Д Е А Л Ь Н А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . I Предположим, что бассейн имеет плоское горизонтальное дно (ho = const). Дифференцируя (12.18) no t и подставляя (12.17), получим § - Л ( 0 + 0 ) = 0' <1219> Это — опять уравнение типа волнового (двумерного) уравнения; оно соответствует волнам со скоростью распространения, равной и = \fgh). (12.20)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Длинные гравитационные волны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
