Свободная поверхность жидкости, находящейся в равновесии в поле тяжести, — плоская. Если под влиянием какого-либо внеш него воздействия поверхность жидкости в каком-нибудь месте выводится из ее равновесного положения, то в жидкости воз никает движение. Это движение будет распространяться вдоль всей поверхности жидкости в виде волн, называемых гравитаци онными., поскольку они обусловливаются действием поля тяже сти. Гравитационные волны происходят в основном на поверхно сти жидкости, захватывая внутренние ее слои тем меньше, чем глубже эти слои расположены. Мы будем рассматривать здесь такие гравитационные волны, в которых скорость движущихся частиц жидкости настолько маГ Р А В И Т А Ц И О Н Н Ы Е В О Л Н Ы 55 ла, что в уравнении Эйлера можно пренебречь членом (vV )v по сравнению с dw/dt. Легко выяснить, что означает это условие физически. В течение промежутка времени порядка периода т колебаний, совершаемых частицами жидкости в волне, эти час тицы проходят расстояние порядка амплитуды а волны. Поэтому скорость их движения — порядка v ^ a /т. Скорость v заметно ме няется на протяжении интервалов времени порядка т и на протя жении расстояний порядка А вдоль направления распростране ния волны (А — длина волны). Поэтому производная от скорости по времени — порядка г>/т, а по координатам — порядка v/X. Та ким образом, условие (vV )v длг/dt эквивалентно требованию т. е. амплитуда колебаний в волне должна быть мала по срав нению с длиной волны. В § 9 мы видели, что если в уравнении движения можно пренебречь членом (vV )v, то движение жид кости потенциально. Предполагая жидкость несжимаемой, мы можем воспользоваться поэтому уравнениями (10.6) и (10.7). В уравнении (10.7) мы можем теперь пренебречь членом г>2/ 2, со держащим квадрат скорости; положив /(£) = 0 и введя в поле тяжести член p g z , получим Ось £ выбираем, как обычно, вертикально вверх, а в качестве плоскости ху выбираем равновесную плоскую поверхность жид кости. Будем обозначать ^-координату точек поверхности жидко сти через £; ( является функцией координат ж, у и времени t. В равновесии ( = 0, так что ( есть вертикальное смещение жид кой поверхности при ее колебаниях. Пусть на поверхность жид кости действует постоянное давление ро. Тогда имеем на поверх ности согласно (12.2) или (12.1) Постоянную ро можно устранить переопределением потенциала ср (прибавлением к нему независящей от координат величины Pot/р). Тогда условие на поверхности жидкости примет вид56 И Д Е А Л Ь Н А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . I Малость амплитуды колебаний в волне означает, что смещение ( мало. Поэтому можно считать, в том же приближении, что вертикальная компонента скорости движения точек поверхности совпадает с производной по времени от смещения £: vz = d(/d t. Но vz = dtp/dz, так что имеем В силу малости колебаний можно в этом условии взять зна чения производных при z = 0 вместо z = (. Таким образом, получаем окончательно следующую систему уравнений, опреде ляющих движение в гравитационной волне: Будем рассматривать волны на поверхности жидкости, счи тая эту поверхность неограниченной. Будем также считать, что длина волны мала по сравнению с глубиной жидкости; тогда можно рассматривать жидкость как бесконечно глубокую. По этому мы не пишем граничных условий на боковых границах и на дне жидкости. Рассмотрим гравитационную волну, распространяющуюся вдоль оси х и однородную вдоль оси у; в такой волне все ве личины не зависят от координаты у. Будем искать решение, яв ляющееся простой периодической функцией времени и коорди наты х: где оо — циклическая частота (мы будем говорить о ней просто как о частоте), к — волновой вектор волны, А = 2 7г//с —длина волны. Подставив это выражение в уравнение Аср = 0, получим для функции f( z ) уравнение — — k 2f = 0. dz2 J Его решение, затухающее в глубь жидкости (т. е. при £ — оо): д(р _ д( _ 1 д2(р dz Z=C dt g dt2 Z=C A ip = 0, (12.4) (12.5) сp = cos (kx — wt)f(z), ip = Aekz cos (kx — wt). (12.6) Мы должны еще удовлетворить граничному условию (12.5). Подставив в него (12.6), найдем связь между частотой и волно вым вектором (или, как говорят, закон дисперсии волн):Распределение скоростей в жидкости получается дифферен цированием потенциала по координатам: vx = —A kekz sin (кх — wt), vz = A kekz cos (kx — uot). (12.8) Мы видим, что скорость экспоненциально падает по направле нию в глубь жидкости. В каждой заданной точке пространства (т. е. при заданных ж, z) вектор скорости равномерно вращается в плоскости xz, оставаясь постоянным по своей величине. Определим еще траекторию частиц жидкости в волне. Обо значим временно через ж, £ координаты движущейся частицы жидкости (а не координаты неподвижной точки в пространстве), а через жо, — значения ж, £ для равновесного положения части цы. Тогда vx = d x / d t , vz = d z /d t , а в правой части (12.8) можно приближенно написать жо, вместо ж, z, воспользовавшись ма лостью колебаний.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Гравитационные волны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
