Из закона сохранения циркуляции скорости можно вывести важное следствие. Будем считать сначала, что движение жидко сти стационарно и рассмотрим линию тока, о которой известно, что в некоторой ее точке rot v = 0. Проведем бесконечно малый контур, охватывающий линию тока вокруг этой точки; с тече нием времени он будет передвигаться вместе с жидкостью, все время охватывая собой ту же самую линию тока. Из постоянства произведения (8.2) следует поэтому, что ro tv будет равен нулю вдоль всей линии тока. Таким образом, если в какой-либо точке линии тока завих ренность отсутствует, то она отсутствует и вдоль всей этой ли нии. Если движение жидкости не стационарно, то этот результат остается в силе, с той разницей, что надо говорить не о линии то ка, а о траектории, описываемой с течением времени некоторой определенной жидкой частицей (напоминаем, что при нестацио нарном движении эти траектории не совпадают, вообще говоря, с линиями тока) : ) . 1)Во избежание недоразумений отметим уже здесь, что этот результат теряет смысл при турбулентном движении. Отметим также, что завихрен ность может появиться на линии тока после пересечения ею так называемой ударной волны; мы увидим, что это связано с нарушением изэнтропичности течения (§ 114).32 И Д Е А Л Ь Н А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . I На первый взгляд отсюда можно было бы сделать следу ющий вывод. Рассмотрим стационарное обтекание какого-либо тела потоком жидкости. На бесконечности натекающий поток однороден; его скорость v = const, так что ro tv = 0 на всех ли ниях тока. Отсюда можно было бы заключить, что rot v будет равен нулю и вдоль всей длины всех линий тока, т. е. во всем пространстве. Движение жидкости, при котором во всем пространстве ro tv = 0, называется потенциальным (или безвихревым) в про тивоположность вихревому движению, при котором ротор ско рости отличен от нуля. Таким образом, мы пришли бы к резуль тату, что стационарное обтекание всякого тела натекающим из бесконечности однородным потоком должно быть потенциальным. Аналогичным образом из закона сохранения циркуляции ско рости можно было бы сделать еще и следующий вывод. Предпо ложим, что в некоторый момент времени движение жидкости (во всем ее объеме) потенциально. Тогда циркуляция скорости по любому замкнутому контуру в ней равна нулю . В силу тео ремы Томсона можно было бы заключить, что это будет иметь место и в течение всего дальнейшего времени, т. е. мы получили бы результат, что если движение жидкости потенциально в неко торый момент времени, то оно будет потенциальным и в дальней шем (в частности, должно было бы быть потенциальным всякое движение, при котором в начальный момент времени жидкость вообще покоилась). Этому соответствует и тот факт, что урав нение (2.11) удовлетворяется при ro tv = 0 тождественно. В действительности, однако, все эти заключения имеют лишь весьма ограниченную применимость. Дело в том, что приведен ное выше доказательство сохранения равенства rot v = 0 вдоль линии тока, строго говоря, неприменимо для линии, проходя щей вдоль поверхности обтекаемого жидкостью твердого тела, уже просто потому, что ввиду наличия стенки нельзя провести в жидкости замкнутый контур, который охватывал бы собой та кую линию тока. С этим обстоятельством связан тот факт, что уравнения движения идеальной жидкости допускают решения, в которых на поверхности обтекаемого жидкостью твердого тела происходит, как говорят, «отрыв струй»: линии тока, следовав шие вдоль поверхности, в некотором месте «отрываются» от нее, уходя в глубь жидкости. В результате возникает картина тече ния, характеризующаяся наличием отходящей от тела «поверх ности тангенциального разрыва», на которой скорость жидкости (будучи направлена в каждой точке по касательной к поверх 1) Д ля простоты мы считаем здесь, что жидкость заполняет односвязную область пространства. Д ля многосвязной области получился бы тот же са мый конечный результат, но при рассуждениях надо было бы делать специ альные оговорки по поводу выбора контуров.П О Т Е Н Ц И А Л Ь Н О Е Д В И Ж Е Н И Е 33 ности) терпит разрыв непрерывности. Другими словами, вдоль этой поверхности один слой жидкости как бы скользит по дру гому (на рис. 1 изображено обтекание с поверхностью разрыва, отделяющей движущуюся жидкость от образующейся позади тела «застой ной» области неподвижной жидкости). С математической точки зрения ска чок тангенциальной составляющей ско рости представляет собой, как извест но, поверхностный ротор скорости. При учете таких разрывных те чений решение уравнений идеальной жидкости не однозначно: наряду с непрерывным решением они допускают также и бесчисленное множество реше ний с поверхностями тангенциальных разрывов, отходящими от любой наперед заданной линии на поверхности обтекаемого тела. Подчеркнем, однако, что все эти разрывные решения не имеют физического смысла, так как тангенциальные разрывы абсолют но неустойчивы, в результате чего движение жидкости становит ся в действительности турбулентным (см. об этом в гл. III). Реальная физическая задача об обтекании заданного тела, разумеется, однозначна. Дело в том, что в действительности не существует строго идеальных жидкостей; всякая реальная жид кость обладает какой-то, хотя бы и малой, вязкостью. Эта вяз кость может практически совсем не проявляться при движении жидкости почти во всем пространстве, но сколь бы она ни бы ла мала, она будет играть существенную роль в тонком присте ночном слое жидкости. Именно свойства движения в этом (так называемом пограничном) слое и определят в действительности выбор одного из бесчисленного множества решений уравнений движения идеальной жидкости. При этом оказывается, что в общем случае обтекания тел произвольной формы отбираются именно решения с отрывом струй (что фактически приводит к возникновению турбулентности). Несмотря на все изложенное, изучение решений уравнений движения, соответствующих непрерывному стационарному по тенциальному обтеканию тел, имеет в некоторых случаях смысл. Между тем как в общем случае обтекания тел произвольной фор мы истинная картина течения практически ничего общего с кар тиной потенциального обтекания не имеет, в случае тел, имею щих некоторую особую («хорошо обтекаемую», см. § 46) форму, движение жидкости может очень мало отличаться от потенци ального (точнее, оно будет не потенциальным лишь в тонком слое жидкости вблизи поверхности тела и в сравнительно узкой области «следа» позади тела). 2 JI. Д . Л ан дау и Е.М . Л иф ш иц, том VI34 И Д Е А Л Ь Н А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . I Другим важным случаем, когда осуществляется потенциаль ное обтеканке, являются малые колебания погруженного в жид кость тела. Легко показать, что если амплитуда а колебаний ма ла по сравнению с линейными размерами I тела (а <С /), то дви жение жидкости вокруг тела будет всегда потенциальным. Для этого оценим порядок величины различных членов в уравнении Эйлера Скорость v испытывает заметное изменение (порядка скоро сти и колеблющегося тела) на протяжении расстояний порядка размеров тела I. Поэтому производные от v по координатам — порядка величины и/1. Порядок же величины самой скорости v определяется (на не слишком больших расстояниях от тела) скоростью и. Таким образом, имеем (vV )v ~ и2/I. Производная же d v / d t — порядка величины аш, где ио — частота колебаний. Поскольку ио ~ и / а, то имеем длг/ dt ~ и2/ а. Из а <^1 следует теперь, что член (vV )v мал по сравнению с длг/ d t и может быть опущен, так что уравнение движения жидкости приобретает вид длг/ dt = —Vw. Применив к обеим частям этого уравнения опе рацию rot, получаем откуда ro tv = const. Но при колебательном движении среднее (по времени) значение скорости равно нулю; поэтому из rot v = = const следует, что rot v = 0. Таким образом, движение жид кости, совершающей малые колебания, является (в первом при ближении) потенциальным. Выясним теперь некоторые общие свойства потенциального движения жидкости. Прежде всего напомним, что вывод закона сохранения циркуляции, а с ним и всех дальнейших следствий, был основан на предположении об изэнтропичности течения. Ес ли же движение не изэнтропично, то этот закон не имеет места; поэтому, даже если в некоторый момент времени движение яв ляется потенциальным, то в дальнейшем, вообще говоря, завих ренность все же появится. Таким образом, фактически потенци альным может быть лишь изэнтропическое движение. При потенциальном движении жидкости циркуляция скоро сти по любому замкнутому контуру равна нулю: Из этого обстоятельства следует, в частности, что при потен циальном течении не могут существовать замкнутые линии — + (vV )v = —Vw. — rot v = 0, dt (9.1)П О Т Е Н Ц И А Л Ь Н О Е Д В И Ж Е Н И Е 35 тока х) . Действительно, поскольку направление линии тока сов падает в каждой точке с направлением скорости, циркуляция скорости вдоль такой линии во всяком случае была бы отличной от нуля. При вихревом же движении циркуляция скорости, вообще го воря, отлична от нуля. В этом случае могут существовать за мкнутые линии тока; надо, впрочем, подчеркнуть, что наличие замкнутых линий тока отнюдь не является необходимым свой ством вихревого движения. Как и всякое векторное поле с равным нулю ротором, ско рость потенциально движущейся жидкости может быть выра жена в виде градиента от некоторого скаляра. Этот скаляр на зывается потенциалом скорости; мы будем обозначать его че рез (р\ v = grad(^. (9.2) Написав уравнение Эйлера в виде (2.10) — + - V v 2 — [v rot v] = —V w dt 2 1 1 и подставив в него v = V<p, получаем srad( « + Т + Ю) =0' откуда находим следующее равенство: f + J + Ш = /(*), (9.3) где /( £ ) — произвольная функция времени. Это равенство пред ставляет собой первый интеграл уравнений потенциального дви жения. Функция /(£) в равенстве (9.3) может быть без ограниче ния общности положена равной нулю за счет неоднозначности в определении потенциала: поскольку скорость определяется про изводными от (р по координатам, можно прибавить к ip любую функцию времени. При стационарном движении имеем (выбирая потенциал ср не зависящим от времени) d(p/dt = 0, /(£) = const, и (9.3) переходит в уравнение Бернулли ?;2 — + w = const. (9.4) 1) Этот результат, как и (9.1), может не иметь места при движении жид кости в многосвязной области пространства. При потенциальном течении в такой области циркуляция скорости может быть отличной от нуля, если за мкнутый контур, вдоль которого она берется, не может быть стянут в точку так, чтобы нигде не пересечь границ области. 2 *36 И Д Е А Л Ь Н А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . I Необходимо подчеркнуть здесь следующее существенное отличие между уравнениями Бернулли в случае потенциального и непо тенциального движений. В общем случае произвольного движе ния const в правой части этого уравнения есть величина, по стоянная вдоль каждой данной линии тока, но, вообще говоря, различная для разных линий тока. При потенциальном же дви жении const в уравнении Бернулли есть величина, постоянная во всем объеме жидкости. Это обстоятельство в особенности повы шает роль уравнения Бернулли при исследовании потенциаль ного движения.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Потенциальное движение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. В силу тео 