Интеграл г = (j)vd\, взятый вдоль замкнутого контура, называют циркуляцией ско рости вдоль этого контура. Рассмотрим замкнутый контур, проведенный в жидкости в некоторый момент времени. Будем рассматривать его как «жид кий», т. е. как составленный из находящихся на нем частиц жид кости. С течением времени эти частицы передвигаются, а с ними перемещается и весь контур. Выясним, что происходит при этом с циркуляцией скорости вдоль контура. Другими словами, вы числим производную по времени — <£vdl. dt J Мы пишем здесь полную производную по времени соответствен но тому, что ищем изменение циркуляции вдоль перемещающе гося жидкого контура, а не вдоль контура, неподвижного в про странстве. Во избежание путаницы будем временно обозначать диффе ренцирование по координатам знаком 5, оставив знак d для диф ференцирования по времени. Кроме того, заметим, что элемент d\ длины контура можно написать в виде разности $г радиус- векторов г точек двух концов этого элемента. Таким образом, напишем циркуляцию скорости в виде <^) vSr. При дифференцировании этого интеграла по времени надо иметь в виду, что меняется не только скорость, но и сам контур (т. е. его форма). Поэтому, внося знак дифференцирования по вре мени под знак интеграла, надо дифференцировать не только v, но и Sr: 1 ф Лг ё г = ф ^ 6 г + ф л г ^ . dt J J dt J dt Поскольку скорость v есть не что иное, как производная по времени от радиус-вектора г, то dSr г- dr г- c-v2 v — = v o — = vov = о —. dt dt 2 Но интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю. Поэтому второй из написанных интегралов исчезает30 И Д Е А Л Ь Н А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . I Теперь остается подставить сюда для ускорения d v / dt его вы ражение согласно (2.9): dw л — = — grad'u;. dt Применив формулу Стокса, получаем тогда (поскольку rot gradw = 0): Таким образом, переходя к прежним обозначениям, находим окончательно : Мы приходим к результату, что (в идеальной жидкости) цир куляция скорости вдоль замкнутого жидкого контура остается неизменной со временем. Это утверждение называют теоремой Томсона ( W. Thomson, 1869) или законом сохранения циркуля ции скорости. Подчеркнем, что он получен путем использования уравнения Эйлера в форме (2.9) и потому связан с предположе нием об изэнтропичности движения жидкости. Для неизэнтро- пического движения этот закон не имеет места 2) . Применив теорему Томсона к бесконечно малому замкнутому контуру SC и преобразовав интеграл по теореме Стокса, получим где df — элемент жидкой поверхности, опирающийся на контур 5С. Вектор ro tv часто называют завихренностью 3) течения жидкости в данной ее точке. Постоянство произведения (8.2) можно наглядно истолковать, сказав, что завихренность пере носится вместе с движущейся жидкостью. З а д а ч а Показать, что при неизэнтропическом течении для каждой перемещаю щейся частицы остается постоянным связанное с ней значение произведения (Vs • rot v)/p (Я. Ertel, 1942). 1)Этот результат сохраняет силу и в однородном поле тяжести, так как rot g = 0. 2) С математической точки зрения необходимо, чтобы между р и р суще ствовала однозначная связь (при изэнтропическом движении она определя ется уравнением s(p, р) = const). Тогда вектор — 'Vp/p может быть написан в виде градиента некоторой функции, что и требуется для вывода теоремы Томсона. 3)По английской терминологии — vorticity. или f v d\ = const. (8.1) rot v di « 5i • rot v = const,
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Сохранение циркуляции скорости» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
: 