Произведем теперь аналогичный вывод для импульса жид кости. Импульс единицы объема жидкости есть рлг. Определим скорость его изменения: а д Г - Будем производить вычисления в тензорных обозначениях. Имеем д dvi др + fuVi% at at at Воспользуемся уравнением непрерывности (1.2), написав его в виде др_ _ д(рУк) dt дхк и уравнением Эйлера (2.3) в форме dvi _ dvi 1 др dt к дхк р dxi Тогда получим д dvi др d(pvk) др д —pvi = - pvk— - -z- - Vi — = - - Z - - - —pVivk. at их к axi их к axi их к Первый член справа напишем в виде SJL = Sik — dxi дхк и находим окончательно: (7.1) at дх к где тензор П ^ определяется как П-г/с = P^ik “1“ Он, очевидно, симметричен. Для выяснения смысла тензора П ^ проинтегрируем уравне ние (7.1) по некоторому объему: — [ pvidV = - [ ^ d V . dt J И J д х к д х к Стоящий в правой части равенства интеграл преобразуем в28 И Д Е А Л Ь Н А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . I интеграл по поверхности : | ■ I pvidV = -(f>Ui k dfk. (7.3) Интеграл слева есть изменение в единицу времени i-й ком поненты импульса в рассматриваемом объеме. Поэтому стоящий справа интеграл по поверхности есть количество этого импуль са, вытекающего в единицу времени через ограничивающую объ ем поверхность. Следовательно, Пikdfk есть i-я компонента им пульса, протекающего через элемент df поверхности. Если написать dfk в виде п & df (df — абсолютная величина элемента поверхности, п — единичный вектор внешней нормали к нему), то мы найдем, что П ^п^ есть поток i-й компоненты импульса, отнесенный к единице площади поверхности. Заметим, что со гласно (7.2) HikUk = рщ + pvivkfik] это выражение может быть написано в вектор- ном виде как ри -\- pv(vn). (7.4) Таким образом, П ^ есть i-я компонента количества импуль са, протекающего в единицу времени через единицу поверхно сти, перпендикулярную к оси х Тензор П ^ называют тензором плотности потока импульса. Поток энергии, являющейся ска лярной величиной, определяется вектором; поток же импульса, который сам есть вектор, определяется тензором второго ранга. Вектор (7.4) определяет поток вектора импульса в направле нии п, т. е. через поверхность, перпендикулярную к п. В частно сти, выбирая направление единичного вектора п вдоль направле ния скорости жидкости, мы найдем, что в этом направлении пе реносится лишь продольная компонента импульса, причем плот ность ее потока равна р + pv2. В направлении же, перпендикулярном к скорости, переносится лишь поперечная (по отношению к v) компонента импульса, а плотность ее потока равна просто р.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Поток импульса» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
