Для покоящейся жидкости, находящейся в однородном поле тяжести, уравнение Эйлера (2.4) принимает вид grad р = pg. (3.1) Это уравнение описывает механическое равновесие жидкости. (Если внешние силы вообще отсутствуют, то уравнение равнове сия гласит просто V p = 0, т. е. р = const, — давление одинаково во всех точках жидкости.) Уравнение (3.1) непосредственно интегрируется, если плот ность жидкости можно считать постоянной во всем ее объеме, т. е. если не происходит заметного сжатия жидкости под действи ем внешнего поля. Направляя ось £ вертикально вверх, имеем др др п др — = — = 0, — = —pg. г\ г\ 1 г\ Г О ох оу OZ Отсюда р = —pgz + const. Если покоящаяся жидкость имеет свободную поверхность (на высоте /г), к которой приложено одинаковое во всех точках внешнее давление ро? т0 эта поверхность должна быть горизон тальной плоскостью z = h. Из условия р = ро при z — h имеем const = ро + pgh, так что Р = Ро + pg(h - z). (3.2)20 И Д Е А Л Ь Н А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . I Для больших масс жидкости или газа плотность р нельзя, вообще говоря, считать постоянной; это в особенности относится к газам (например, к воздуху). Предположим, что жидкость на ходится не только в механическом, но и в тепловом равновесии. Тогда температура одинакова во всех точках жидкости, и урав нение (3.1) может быть проинтегрировано следующим образом. Воспользуемся известным термодинамическим соотношением с1Ф = — s dT + V dp, где Ф — термодинамический потенциал, отнесенный к единице массы жидкости. При постоянной температуре с1Ф = V dp = - dp. P Отсюда видно, что выражение - V p можно написать в рассма- Р триваемом случае как УФ, так что уравнение равновесия (3.1) принимает вид УФ = g. Для постоянного вектора g, направленного вдоль оси £ (в отри цательном ее направлении), имеет место тождество g = — V (gz). Таким образом, У(Ф + gz) = 0, откуда находим, что вдоль всего объема жидкости должна быть постоянной сумма Ф + gz = const; (3.3) gz представляет собой потенциальную энергию единицы массы жидкости в поле тяжести. Условие (3.3) известно уже из стати стической физики как условие термодинамического равновесия системы, находящейся во внешнем поле. Отметим здесь еще следующее простое следствие из уравне ния (3.1). Если жидкость или газ (например, воздух) находятся в механическом равновесии в поле тяжести, то давление в них может быть функцией только от высоты £ (если бы на данной высоте давление было различно в различных местах, то возникло бы движение). Тогда из (3.1) следует, что и плотность е = - - % (3.4) g dz тоже является функцией только от Но давление и плотность однозначно определяют температуру в данной точке тела. Сле довательно, и температура должна быть функцией только от§4 У С Л О В И Е О Т С У Т С Т В И Я К О Н В Е К Ц И И 21 Таким образом, при механическом равновесии в поле тяжести распределение давления, плотности и температуры зависит толь ко от высоты. Если же, например, температура различна в раз ных местах жидкости на одной и той же высоте, то механическое равновесие в ней невозможно. Наконец, выведем уравнение равновесия очень большой мас сы жидкости, части которой удерживаются вместе силами грави тационного притяжения (звезда). Пусть ip — ньютоновский гра витационный потенциал создаваемого жидкостью поля. Он удо влетворяет дифференциальному уравнению А (р = 47г Gp, (3.5) где G — гравитационная постоянная. Напряженность гравитаци онного поля равна grady?, так что сила, действующая на мас су р, есть — pgidb&Lp. Поэтому условие равновесия будет grad р = — pgr&dip. Разделив это равенство на р, применив к обеим его частям опе рацию div и воспользовавшись уравнением (3.5), получим окон чательное уравнение равновесия в виде d iv ^ ig ra d ]^ = —AirGp. (3-6) Подчеркнем, что здесь идет речь только о механическом равно весии; существование же полного теплового равновесия в урав нении (3.6) отнюдь не предполагается. Если тело не вращается, то в равновесии оно будет иметь сфе рическую форму, а распределение плотности и давления в нем будет центрально-симметричным. Уравнение (3.6), написанное в сферических координатах, примет при этом вид
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Гидростатика» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
