Изучение движения жидкостей (и газов) представляет собой содержание гидродинамики. Поскольку явления, рассматривае мые в гидродинамике, имеют макроскопический характер, то в гидродинамике жидкость рассматривается как сплошная среда. Это значит, что всякий малый элемент объема жидко сти считается все-таки настолько большим, что содержит еще очень большое число молекул. Соответственно этому, когда мы будем говорить о бесконечно малых элементах объема, то всегда при этом будет подразумеваться «физически» бесконечно малый объем, т. е. объем, достаточно малый по сравнению с объемом тела, но большой по сравнению с межмолекулярными расстоя ниями. В таком же смысле надо понимать в гидродинамике вы ражения «жидкая частица», «точка жидкости». Если, например, говорят о смещении некоторой частицы жидкости, то при этом идет речь не о смещении отдельной молекулы, а о смещении це лого элемента объема, содержащего много молекул, но рассма триваемого в гидродинамике как точка. Математическое описание состояния движущейся жидкости осуществляется с помощью функций, определяющих распреде ление скорости жидкости v = v(x, у, t) и каких-либо ее двух термодинамических величин, например давления р(ж, у, t) и плотности р(х, у, t). Как известно, все термодинамические ве личины определяются по значениям каких-либо двух из них с помощью уравнения состояния вещества; поэтому задание пяти величин: трех компонент скорости v, давления р и плотности р, полностью определяет состояние движущейся жидкости. Все эти величины являются, вообще говоря, функциями ко ординат х, у, z и времени t. Подчеркнем, что v(x, у, t) есть скорость жидкости в каждой данной точке х, у, z пространства в момент времени £, т. е. относится к определенным точкам про странства, а не к определенным частицам жидкости, передвига ющимся со временем в пространстве; то же самое относится к величинам р, р. х) Мы говорим здесь и ниже для краткости только о жидкости, имея при этом в виду как жидкости, так и газы.
14
И Д ЕА Л ЬН А Я Ж И Д К О С Т Ь
ГЛ. I
Начнем вывод основных гидродинамических уравнений с вы вода уравнения, выражающего собой закон сохранения вещества в гидродинамике. Рассмотрим некоторый объем Vo пространства. Количество (масса) жидкости в этом объеме есть f pdV, где р есть плот ность жидкости, а интегрирование производится по объему VoЧерез элемент di поверхности, ограничивающей рассматривае мый объем, в единицу времени протекает количество pv di жид кости; вектор di по абсолютной величине равен площади эле мента поверхности и направлен по нормали к ней. Условимся направлять di по внешней нормали. Тогда pvdi положительно, если жидкость вытекает из объема, и отрицательно, если жид кость втекает в него. Полное количество жидкости, вытекающей в единицу времени из объема Vo, есть, следовательно, ^ pv di, где интегрирование производится по всей замкнутой поверхно сти, охватывающей рассматриваемый объем. С другой стороны, уменьшение количества жидкости в объ еме Vo можно написать в виде - f , b dVПриравнивая оба выражения, получаем: J p d V = -<j)pvd{. (1.1)
Интеграл по поверхности преобразуем в интеграл по объему (j) pv di = Таким образом, / ( | + d i v p v ) ^ = 0.
J
div pv dV.
Поскольку это равенство должно иметь место для любого объ ема, то должно быть равным нулю подынтегральное выражение, т. е. g + divpv = 0 . (1.2)
Это —так называемое уравнение непрерывности. Раскрыв выражение divpv, (1.2) можно написать также в виде — + р div v + vgradp = 0. (1.3)
УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА
15
J = PV (1.4) называют плотностью потока жидкости. Его направление сов падает с направлением движения жидкости, а абсолютная вели чина определяет количество жидкости, протекающей в едини цу времени через единицу площади, расположенной перпенди кулярно к скорости.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение непрерывности» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
рассматривается как сплошная среда. Это значит, что всякий малый элемент объема жидко сти считается все-таки настолько большим, что содержит еще очень большое число молекул. Соответственно этому, когда мы будем говорить о бесконечно малых элементах объема, то всегда при этом будет подразумеваться «физически» бесконечно малый объем, т. е. объем, достаточно малый по сравнению с объемом тела, но большой по сравнению с межмолекулярными расстоя ниями. В таком же смысле надо понимать в гидродинамике вы ражения «жидкая частица», «точка жидкости». Если, например, говорят о смещении некоторой частицы жидкости, то при этом идет речь не о смещении отдельной молекулы, а о смещении це лого элемента объема, содержащего много молекул, но рассма триваемого в гидродинамике как точка. Математическое описание состояния движущейся жидкости осуществляется с помощью функций, определяющих распреде ление скорости жидкости v = v(x, у, t) и каких-либо ее двух термодинамических величин, например давления р(ж, у, t) и плотности р(х, у, t). Как известно, все термодинамические ве личины определяются по значениям каких-либо двух из них с помощью уравнения состояния вещества; поэтому задание пяти величин: трех компонент скорости v, давления р и плотности р, полностью определяет состояние движущейся жидкости. Все эти величины являются, вообще говоря, функциями ко ординат х, у, z и времени t. Подчеркнем, что v(x, у, t) есть скорость жидкости в каждой данной точке х, у, z пространства в момент времени £, т. е. относится к определенным точкам про странства, а не к определенным частицам жидкости, передвига ющимся со временем в пространстве; то же самое относится к величинам р, р. 