Дважды логарифмическая асимптотика амплитуды рассеяния электрона на мюоне
В качестве примера другого рода рассмотрим рассеяние элек- трона на отрицательном мюоне, причем ограничимся случаем рассеяния строго назад, т. е. на угол в = тг (В. Г Горшков, В. Н. Грибов, Л. Н. Липатов, Г В. Фролов, 1967). Этот про- цесс является простейшим с двух точек зрения. Во-первых, вви- ду нетождественности обеих частиц отсутствуют обменные диа- граммы. Во-вторых, при рассеянии назад сильно подавлено из- лучение мягких фотонов, в результате чего не возникает инфра- красной расходимости. Действительно, согласно (98.8), сечение испускания мягких фотонов da = а \ (-V + Т^Т- ~ Т^ ~ Т^) П1 'тг^упр. L\l-v^n 1-v^n l-ven 1-v^n/ J 4tt2w Jl A37.1) где ve, v^ и Vg, v' —скорости частиц до и после столкновения. Но в ультрарелятивистском случае равенство импульсов равно- значно равенству скоростей, и с этой точностью имеем в системе 1) При рассеянии на конечный угол сформулированное в § 98 условие мягкости фотона требует только, чтобы было cjmax ^C ?, что позволяет с логарифмической точностью применять полученные здесь формулы и при 684 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII центра инерции при рассеянии назад ve = — v^ = — ve = v^. В результате выражение A37.1) обращается в нуль. Если рассматриваемый процесс рассеяния отвечает «s-кана- лу реакции, то в t-канале он переходит в процесс превращения электрон-позитронной пары в пару {1^~{1~. В этом канале условие в = тг означает, что совпадают направления движения е~ и /i~ (и е+ и /i+). Подавление тормозного излучения в этом канале име- ет особенно наглядный смысл, так как направление движения заряда каждого знака вообще не меняется. Взаимное сокращение главных членов в сечении излучения приводит к тому, что в его асимптотике не возникают дважды логарифмические поправки. Соответственно не возникает (с той же дважды логарифмической точностью) инфракрасной расхо- димости и при интегрировании по импульсам виртуальных фо- тонов в амплитуде рассеяния. Если описывать процесс с помощью инвариантных перемен- ных S = (ре +р^J, t = (ре - р'еJ, U = (ре -pJJ2, TO рассеянию назад в ультрарелятивистском случае будут отвечать значения s = -t > m2, u = 0. A37.2) В первом (по а) приближении теории возмущений рассеяние электрона на мюоне описывается диаграммой A37.3) Соответствующая амплитуда: ? ^Ч^>)(п(еЧ«(е)). A37.4) Переход к предельному случаю A37.2) в этом выражении осу- ществляется заменой матричного 4-вектора ^ его «проекцией» 7^ на плоскость, нормальную плоскости ре, р'е (или, что то же, плоскости р^^ р' поскольку при ультрарелятивистском рассе- янии назад ре « р'^ р'е ~ Pfj). Действительно, параллельными плоскости ре, р'е составляющими являются матрицы = G^е + 1Р'е)? = ( Vs Vs (первая совпадает с 7°,а вторая равна пе7, где пе —орт направ- ления ре). Используя уравнения Дирака для биспиноров и^ и и^\ находим, что (п^'^и^)(п^'j^u^) ~ 1/s, и потому эти члены могут быть опущены. 137 ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА АМПЛИТУДЫ 685 В следующем приближении добавляется диаграмма Ре< |< |< Ре /-Pel \pe-f A37.5) У У и диаграмма с «перекрещенными» фотонными линиями, кото- рую удобно изобразить в виде, отличающемся от A37.5) лишь направлением одной из сплошных линий: -Ре A37.6) P/i-Pe Исследование соответствующих интегралов показывает, что в обеих диаграммах возникают дважды логарифмические вклады от областей мягких виртуальных фотонов: | (/ — ре) <С m?e или о | \f~Pe) | ^ те- Эти вклады связаны с инфракрасными расходи- мостями интегралов и, согласно сказанному выше, в данном слу- чае заведомо должны взаимно сокращаться. В диаграмме A37.6) имеется, однако, дважды логарифмический вклад еще и от обла- сти больших импульсов: |/2| ^> т2^. Именно этот вклад и должен быть вычислен. Диаграмме A37.6) отвечает интеграл Л/ГB) .а2 [ (п^' -fJU2-rnl)U2-rnl)(Pe-fY A37.7) где уже учтено, что ре ~ р'. Положим снова f = uPe + vp'e + Д A37.8) (ср. A37.13)). Дважды логарифмический вклад возникает от области, определяемой неравенствами \su\, \sv\ ^> р ^> т^; Шц/s ^ \u\, \v\ ^C 1, A37.9) где р = —f]_- В A37.8) 4-вектор f± определен так, что f±pe = = f±.Pe = 0; в данном случае (рассеяние назад) отсюда следует, что в системе центра инерции fj_ = 0, так что р = fj. В числителе интеграла A37.7) можно пренебречь me, m^, a также всеми членами с и или v\ множители и или v в числителе 686 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII сокращают соответствующие полюсы в знаменателе (см. ниже), в результате чего не возникают требуемые квадраты логарифмов. Замечая, что (р'е — /J « tu ~ —su, (ре — /J « — sv, /2 ~ sm; — — р, и преобразуя элемент интегрирования с/4/, согласно A35.16), переписываем интеграл A37.7) в виде *l 2тг2 J su • sv(suv — p + гОJ Числитель подынтегрального выражения преобразуется далее путем усреднения по направлению fj_ и замены (по тем же при- чинам, что и в A37.4)) 7^ 7Л на 7±^ 7±- После простых преоб- разований получим j(i) = -i_EL f PdudvdP . A37.10) /12/ Z' _i_ *П^2 Наконец, заменив в числителе тождественно р = (р — suv) + , можно опустить второй член, который сократил бы простые по- люсы и тем самым не дал бы дважды логарифмического вклада. Таким образом, fddd(i37.il) f. 4тг2 J uv(p — suv — гО) Этот интеграл по форме совпадает с A35.20), поэтому ин- тегрирование по р производится тем же способом. Однако по- скольку теперь р ^> т2, возникает условие suv ^> т2^ (вместо suv > 0). В результате находим ^[dudv: A37.12) 2тг J uv причем область интегрирования ограничена неравенствами m2/s < и, v < I suv > m2 (при вычислении с логарифмической точностью сильные нера- венства ^> заменяются простыми неравенствами >). Прямое вы- числение дает jW = ?Ha2-2-. A37.13) 4тг т2 В более высоких приближениях теории возмущений интере- сующие нас вклады ~ап In n s получаются от аналогичных A37.6) диаграмм «лестничного» типа с большим числом «пере- кладин». Поэтому полная дважды логарифмическая асимптотика § 137 ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА АМПЛИТУДЫ 687 амплитуды рассеяния дается бесконечной суммой Ре < 1< Ре < |< 1< < |< |< 1< iMfi = \ + ] ] + ]]]+... р^ У Ур^ у у у у у у у A37.14) Для установления общего вида членов этой суммы рассмотрим еще диаграмму третьего приближения (третий член ряда A37.14)). Соответствующий ей интеграл можно привести к виду 7\43) = М™ jB), JB) = (-Y [ <**i ****** A37.15) с областью интегрирования Дваж:ды логарифмическую часть этого интеграла можно выде- лить, наложив на переменные интегрирования еще условия v2 > vi, u2^>ui. A37.16) Тогда = (^\2 fdu1dv1du1dv1= (a_y f \2тг/ J U1U2V1V2 \2тг/ J где & = lnE^/?7i2), r/i = — In Vi, а область интегрирования опре- делена неравенствами Аналогичным образом n-й член ряда может быть представ- лен в виде М^ = M{pj(n\ где J(n){cr) = (?f jd?,xdrh...dZndrh, A37.17) с областью интегрирования &>г/г (г = 1, 2, ...,п), а>^п, %>0. A37.18) Полная амплитуда рассеяния равна (X) М/г = М};} [l + J] J^(a)]. A37.19) 71 = 1 Для вычисления этой суммы введем теперь вспомогатель- ные функции А(п;(?, г/), которые даются теми ж:е интегралами A37.17), но с областями интегрирования &>тн (« = 1, 2, ...,п), е>^п>0, 7?>т?п>0 A37.20) 688 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII (различные пределы интегрирования по ?п и т\п вместо одинако- вых в A37.18)). Очевидно, что Mfi = М\^А(а, а), где ОО A(f, г/) = Y^ А{пЧ^ Ч), ^@) = 1- A37.21) п=0 Из определения функций А^п\^ rf) видно, что они удовлет- воряют рекуррентным соотношениям: = ^ f m) а просуммировав эти равенства по п (от 1 до оо), найдем инте- гральное уравнение, определяющее функцию А(?, г/): , г/) = 1 + ±Ja(Zu rnKi*n, A37.22) Для дальнейшего будет достаточно рассмотреть функцию ?, г/) в области ? > г). Тогда уравнение A37.22) можно запи- сать в виде •п С АИ, V) = 1 + ±JjA(Zu rnKi*n. A37.23) О тух Дифференцируя это равенство по г/, имеем A37.24) а дифференцируя затем еще ипо(, находим для А(?, г/) диффе- ренциальное уравнение ^- - —А = 0. A37.25) Это уравнение должно быть решено с граничными условиями А& 0) = 1, ^ =0, A37.26) дг] ?=г] непосредственно следующими из A37.23),A37.24). Решение можно получить с помощью преобразования Лапла- са по переменной ?: A37.27) с § 137 ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА АМПЛИТУДЫ 689 где контур С в плоскости комплексного р— замкнутая кривая, охватывающая точку р = 0. Подставив A37.27) в уравнение A37.25) и приравняв нулю подынтегральное выражение, полу- чим где ср(р) —произвольная функция. Первое из граничных условий A37.26) дает теперь (р(р) = 1/р + ф{р), где ф(р) —аналитическая функция, не имеющая особенностей внутри контура С. Второ- му же условию A37.26) можно удовлетворить, положив ф(р) = = —2тгр/а; действительно, тогда дА дц _ _ 1 с Собрав полученные выражения и положив ? = г/ = а, найдем , а) = --Ц— / р-^- 2ттг аа J dp т 2ттр С Наконец, проинтегрировав по частям и воспользовавшись из- вестной формулой с (Д(^) = —iJ\(iz)—функция Бесселя мнимого аргумента), полу- чим окончательно для амплитуды рассеяния Сечение же рассеяния (на угол в = тг) соответственно равно t, A37.29) aln где с/сг^1)—сечение в борновском приближении в ультрареляти- вистском случае (см. задачу 6, § 81) :).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Дважды логарифмическая асимптотика амплитуды рассеяния электрона на мюоне» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
