Дважды логарифмическая асимптотика вершинного оператора
Когда вычисленные в предыдущем параграфе поправки достигают значений порядка единицы, вычисление вершинного оператора требует суммирования всей бесконечной последова- тельности дважды логарифмических членов всех степеней по а. Решение этой задачи оказывается возможным благодаря тому, что такие члены возникают только от диаграмм определенного типа, а вклады диаграмм различного порядка оказываются свя- занными друг с другом простыми соотношениями. § 136 ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА ОПЕРАТОРА 681 Именно, дважды логарифмические члены возникают, как мы убедимся ниже, от всех диаграмм вида A36.1) и т. п., в которых каждая из фотонных линий соединяет правую и левую электронные линии; при этом они могут любым образом пересекаться друг с другом. Перенумеруем фотонные импульсы Д, /2, ... в порядке сле- дования, скажем, правых концов их линий. Тогда различные диа- граммы одинакового порядка будут отличаться друг от друга пе- рестановкой левых концов фотонных линий. В каждом интеграле Фейнмана производим пренебрежения в числителе и знаменате- ле, подобные тем, которые были сделаны в интеграле A35.5); после этого числитель преобразуем тем же способом, что и при выводе A35.11). В результате сумма всех диаграмм с п фотонны- ми линиями, составляющая член ~апвГ, представится в виде пер ... +Pi/n)-2(p2/i)... 2(р2/!+ ... +Р2/„ (сумма берется по всем перестановкам индексов у импульсов /д. в произведениях (p2fk)] члены гО и А2 в знаменателях для крат- кости не выписываем). Очевидно, что если переставить в сумме A36.3) каким-либо образом индексы у множителей /& в произведениях (pifk), то это сведется лишь к переобозначению импульсов и потому не изме- нит значения 1п. Поэтому можно распространить суммирование в A36.3) по всем перестановкам множителей /& как в произведе- ниях {p2fk)i так и в {Pifk)i разделив после этого результат на п\. 682 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII Воспользуемся теперь важной формулой JJ J A36.4) а\(а\ + аг) • • • Ы\ + а2 + ... + ап) а\ п2 ап пер где сумма берется по перестановкам индексов 1, 2, ..., п1). Двукратное применение этой формулы сводит сумму интегра- лов к произведению п одинаковых интегралов вида A35.19) (или A35.26)), так что In = I?/nl A36.5) Подставив это в A36.2) и просуммировав Г(п) по всем п = 0, 1, 2, ... , получим окончательно Г"(Р2, Pi; g) = 7"exp(|l</i). A36.6) В частности, подставив сюда 1\ из (A35.22), получим дважды логарифмическую асимптотику вершинного оператора с вирту- альными электронными концами Г"(Р2,Р1; q) =7"ехр{-^ In 4 In 41}' A36-7) (В. В. Судаков, 1956). Подставив же 1\ из A35.29), найдем асимптотику для вер- шинного оператора в случае реальных электронных концов: A36.8) Множитель, отличающий Г^ от его невозмущенного значения 7^, определяет также и отличие амплитуды рассеяния электрона во внешнем поле от ее борновского значения. Поэтому сечение рас- сеяния fln + 41nlnH. A36.9) 2тг V т2 т2 X / ) Для устранения инфракрасной расходимости надо, однако, еще умножить это выражение на сумму вероятностей испускания различного числа мягких фотонов с энергией, не превышающей некоторого малого о;тах, т. е. на величину (см. A22.2)) Wmax Wmax Wmax Wmax 1 + / dwu + — / dwUl / dwU2 + ... = exp< / dwu >. 0 0 0 0 A36.10) 1) При п = 2 эта формула очевидна, а ее обобщение легко достигается индукцией от п к п + 1. § 137 ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА АМПЛИТУДЫ 683 Интеграл в экспоненте берем из A20.14) (выражение, стоящее множителем при dayUp) и в результате находим окончательно следующую асимптотическую формулу для сечения рассеяния электрона с энергией е при большой передаче импульса: da = daB exp< — — In — ln^=— >, A36.11) I 7Г ТП2 CJmax > |<?2| >m2, -^ln2- - 1 2тг m [А. А. Абрикосов, 1956). Первый (по а) член разложения этого выражения совпадает, естественно, с формулой A22.12). Обратим внимание на то обстоятельство, что если положить o;max ~ ?, то один из логарифмов в A36.11) становится порядка единицы; другими словами, дважды логарифмические поправки сокращаются, если рассматривать сечение с одновременным ис- пусканием фотонов любых энергий г) . В принятом приближении экспоненциальный множитель в A36.11) обращается тогда в еди- ницу, так что сечение оказывается совпадающим с борновским — в соответствии с общим утверждением в конце § 98.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Дважды логарифмическая асимптотика вершинного оператора» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
