Выделение дважды логарифмических членов в вершинном операторе
Поправки вида (aL)n (L — большой логарифм) могут стать существенными, как уже было отмечено в конце § 133, лишь при фантастически высоких энергиях и потому имеют только теоретическое значение. Но в амплитудах реальных процессов рассеяния возникают также и гораздо большие поправки — ви- да (aL2)n. Такие члены, содержащие по квадрату логарифма на каждую степень а, называют дважды логарифмическими. Характерным параметром разложения в дважды логарифми- ческих поправках является величина ^1п24, A35.1) тг т2 где е — фигурирующие в задаче энергии (скажем, суммарная энергия сталкивающихся частиц в системе их центра инерции). Условие применимости теории возмущений требует малости этой величины; оно нарушается при энергиях е ~ mexp(-J-) ~ 3 • 104m. A35.2) \2 У а/ 1) Сечение когерентного рассеяния фотона в поле ядра имеет постоянную асимптотику уже в первом неисчезающем приближении, описываемом «ква- дратными» диаграммами, два из концов которых — линии внешнего поля (см. A28.7)). В действительности, однако, эти диаграммы должны были бы изображаться в виде A34.12), где верхняя сплошная линия была бы линией ядра. Линии внешнего поля становятся тогда внутренними линиями диаг- раммы и происхождение постоянной асимптотики становится очевидным. § 135 ВЫДЕЛЕНИЕ ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧЛЕНОВ 675 Поставим себе целью освободиться от этого условия и получить формулы, применимые при условии 2 ^1п2^<1. A35.3) Ясно, что это потребует суммирования бесконечного ряда попра- вок всех степеней (aL2)n. Дважды логарифмические поправки возникают в двух кате- гориях случаев. К одной из них относятся процессы рассеяния на фиксированный конечный угол; их сечения (как мы видели в предыдущем параграфе) всегда падают в асимптотической обла- сти высоких энергий. Дважды логарифмические поправки в этих случаях тесно связаны с инфракрасной расходимостью. Сюда от- носится, в частности, упругое рассеяние электрона во внешнем кулоновом поле; в § 122 была найдена первая дважды логариф- мическая поправка к его сечению. Полному определению этих поправок при условии A35.3) посвящены этот и следующий па- раграфы. К другой категории относятся убывающие с ростом энергии сечения реакций при заданном квадрате передачи импульса, т. е. для углов, асимптотически приближающихся к нулю или к тг; как было показано в предыдущем параграфе, это имеет место для процессов, диаграммы которых не могут быть рассечены в t- или в г^-канале по внутренним фотонным линиям. В этом случае дважды логарифмические поправки не связаны с инфракрасной расходимостью. В качестве такого рода примера в § 137 будет рассмотрено электрон-мюонное рассеяние назад, т. е. при и = = const. Отметим прежде всего, что при условии A35.3) однологариф- мические поправки и потому могут быть опущены. Поскольку в Q и V дважды лога- рифмические поправки вообще отсутствуют, эти функции можно полагать теперь равными просто их невозмущенным значениям GnD. Вычисление же вершинного оператора Г требует суммиро- вания дважды логарифмических членов, возникающих из беско- нечного ряда диаграмм. Этой задаче посвящен следующий пара- граф. Предварительно же изложим метод, позволяющий выде- лять дважды логарифмические члены из отдельных интегралов Фейнмана до фактического проведения в них интегрирования по всем переменным (В. В. Судаков, 1956). Рассмотрим поправку первого (по а) порядка к вершинному оператору, изображаемому диаграммой A17.1), которую удобно 22* 676 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII изобразить здесь (переобозначив переменные) в виде P2~f/ \Pl-f или, аналитически, _ _i?l f l4lPz - if + mh^bpi ~lf + mhud4f П 35 4тг3 J [(p2-/J-m2zO][(p/Jт2+г0][/2+г0]' V ' -/J-т2+г0][/2+г0]' Будем предполагать, что \<?\^>Pi,pI т2, A35.6) причем концы р\, ]92 могут быть как физическими, так и вирту- альными. Из A35.6) следует, что A35.7) т. е. 4-векторы pi, ]92 имеют большие компоненты при малых квадратах — ситуация, возможная в силу псевдоевклидовости че- тырехмерной метрики. Дважды логарифмические члены возни- кают именно при условиях A35.6). Мы увидим в дальнейшем, что при интегрировании по с/4/ будут существенны относительно малые значения /. Поэтому можно пренебречь / в числителе подынтегрального выражения, после чего Г^1) приобретает вид /1, A35.8) где 1 " У [(Р2 " /J " ™2 + tO][(pi - /J - ш2 + гО][/2 + гО]' ^ '^ Матричный множитель в A35.8) можно упростить, если учесть, что Г всегда входит в диаграммы, по существу, умноженным на матрицы G^2 + га) и {^р\ + га): G^2 + т)ГGР1 + га). A35.10) Действительно, если линии р\ и р% виртуальные, то множители происходят от G(pi) и G(p2)] если ж:е линии отвечают реальным § 135 ВЫДЕЛЕНИЕ ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧЛЕНОВ 677 электронам, то Г умножается на г^? и щ, причем в силу уравне- ний Дирака имеем 2 2т 2т Переставляя порядок матричных множителей и пренебрегая ка- ждый раз, согласно условию A35.7), возникающими квадратами р2, Р2, та2 по сравнению с (piP2), получаем • 2 -f га) « — — (piP2)(/7P2 + ^)l^{lPi + m)Ii. Поэтому окончательно можно представить Г^1) в виде где t = q2 « -2(pip2)- A35.12) Отметим, что интеграл Д сходится при больших / и потому уже не требует регуляризации. Основной пункт дальнейших вычислений — введение новых, более удобных переменных интегрирования. Разобьем / на составляющие, тангенциальные и нормальные по отношению к плоскости р\, р2: / = upi + vp2 + f± = /ц + f±, A35.13) /U»i = f±P2 = 0. A35.14) В качестве ж:е новых переменных выберем коэффициенты и, v и величину P=-fl A35.15) Из условий A35.7) видно, что метрика в плоскости р±р2 псевдо- евклидова. Поэтому временную ось можно выбрать в этой плос- кости, так что /j_ — пространственноподобный 4-вектор и р > 0. Обозначим временно индексами 0, х компоненты 4-векторов в плоскости p\P2i si индексами у, z — компоненты в нормаль- ной плоскости. Для преобразования элемента 4-объема с/4/ = = d2 f±cP/ц к новым переменным пишем d2f± = |fj_|d|fj_|d<p = y2dpd<p -+ ndp (имея в виду, что подынтегральное выражение в A35.9) не зави- сит от угла (р). Далее, d2f\\ = д[°' \л dudv = \РюР2х ~P2oPix\dudv w -\q2\dudv. 678 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII Действительно, ввиду малости квадрата р\ имеем р\х ~ р|о? и поэтому (Р10Р2х ~ Таким образом, 2О -P2xPlxJ = t\dudvdp. A35.16) Дальнейшие вычисления зависят от соотношения между ве- личинами р2, ?>2э ш2- Рассмотрим два случая.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Выделение дважды логарифмических членов в вершинном операторе» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
