Применимость формулы A32.14) ограничена, однако, со сто- роны больших \к2\ в связи с уменьшением ее знаменателя. Дей- ствительно, вывод этой формулы основан на пренебрежении диа- граммой A32.13) (и другими, с еще большим числом жирных фо- тонных линий) по сравнению с диаграммой A32.12). Но добав- 666 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII ление каждой такой линии привносит в диаграмму множи- тель e2V с точным пропагатором V. При этом роль малого па- раметра играет, вместо а = е2, величина ^1UT « 1- A33-!) Зтг т2 Когда, по мере возрастания |/с2|, эта величина по порядку срав- нивается с единицей, из теории, по существу, вообще исчезает малый параметр. Возникающую ситуацию можно понять более ясно, если при выводе A32.14) производить перенормировку не «на ходу», а пу- тем предварительного введения «затравочного» заряда электро- на ес, который в дальнейшем подбирается так, чтобы привести к правильному наблюдаемому значению физического заряда е (см. § 110). Если интеграл «обрезается», как это было сделано выше, на вспомогательном верхнем пределе Л2, то затравочный заряд будет его функцией, ес = ес(Л ), и в заключение должен быть произведен переход к пределу Л —>• оо. При таком способе подхода к задаче поляризационный опе- ратор будет Зтг \к2\ (выражение A32.8) с ес вместо е), и соответственно Т)(Ь2\ — ^ _ (Л ЧЧ ОЛ ?У[гъ ) — ^ 7г- . [100. Z) к2 , егс . Az 1 + — In Зтг \к2\ Определив теперь физический заряд е согласно условию получим е2 = ^с л2 , A33.3) Зтг Пш2 или е2 = f A33.4) Зтг гп2 Если формально перейти в A33.3) к пределу Л —>> оо, то е2 —)> —>• 0 независимо от вида функции е2(Л). Такая «нулификация» заряда означает, разумеется, невозможность строгого проведе- ния перенормировки. Этот переход к пределу нельзя, однако, § 133 СВЯЗЬ МЕЖДУ «ЗАТРАВОЧНЫМ» И ИСТИННЫМ ЗАРЯДАМИ 667 произвести, не нарушив предположений, сделанных при выводе A33.3). Из A33.4) видно, что по мере увеличения Л (при задан- ном значении е2) е2 растет; но уже при е2 ~ 1 формулы теряют свою применимость, поскольку их вывод основан на предполо- жении е\ « 1 A33.5) как условия применимости теории возмущений к «затравочно- му» взаимодействию. Нарушение неравенства A33.5) при увели- чении Л имеет важное принципиальное значение. Оно означает логическую неполноту квантовой электродинамики как теории со слабым взаимодействием. По существу это означает логиче- скую неполноту имеющейся теории вообще. Действительно, ее аппарат связан именно с возможностью рассматривать электро- магнитное взаимодействие как слабое возмущение. Все вычисля- емые величины получаются в теории в виде рядов по степеням е2, причем эти ряды являются в действительности асимптоти- ческими. Для придания этим рядам определенного смысла при не малых значениях е2, во всяком случае, требовались бы до- полнительные соображения, не следующие из общих принципов существующей теории. В то же время следует подчеркнуть, что в квантовой электро- динамике описанные трудности могут иметь лишь чисто теоре- тическое значение. Они возникают при фантастически огромных энергиях, не представляющих никакого реального интереса х) . Можно ожидать, что в действительности уже несравненно рань- ше электромагнитные взаимодействия «запутываются» со сла- быми и сильными взаимодействиями, в результате чего чистая электродинамика теряет смысл 2) . В заключение этого параграфа покажем, каким образом фор- мулы A33.3),A33.4) могут быть получены с помощью простых рассуждений, основанных на смысле понятия перенормировки и на соображениях размерности (М. Gell-Mann, F. Low, 1954). Рассмотрим квадрат затравочного заряда как функцию пара- метра обрезания, е2(Л2), и введем функцию с/, определяющую со- отношение между значениями е2 при двух различных значениях ее аргумента: е2( Л|) = е2( Л2 )d. При Л2, Л| > тп? функция d не зависит от т, будучи безразмерной величиной, она может быть х) Так, равенство (а/тг) ln(s2/т2) = 1 достигается при е ~ 1093т. 2) Противоположная ситуация имеет место в теориях, в которых взаимо- действие между частицами осуществляется не электромагнитным полем, а так называемыми полями Янга—Миллса. Связь перенормированного заряда с затравочным в таких теориях дается формулой типа A33.4), но с обратным знаком в знаменателе, так что при заданном значении е затравочный заряд ес уменьшается с ростом Л. Такое свойство теории называют асимптоти- ческой свободой. Разумеется, теория с асимптотической свободой принципи- ально отличается от теории с нулификацией заряда. 668 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII функцией только безразмерных же величин е2(А2) и A33.6) От этого функционального соотношения можно перейти к дифференциальному уравнению. Для этого напишем равенство A33.6) для бесконечно близких значений Л^ и Л|. Обозначив Л^ = ? и положив Л| = ? + d^ получим для функции ас(?) = е^(Л^) следующее дифференциальное уравнение: dac = ip(ac)^. A33.7) Здесь введено обозначение / \ \dd(ac, x)~\ /loo о\ ср{ас) = ас v A33.8) L дж J х=1 и учтено, что, по определению A33.6), d(ac, 1) = 1. Интегрируя уравнение A33.7) в пределах от ? = Л^ до ? = Л^, получаем A33.9) Во всей области интегрирования е^ мало. Поэтому можно вос- пользоваться для (p(ct) выраж:ением, отвечающим первому при- ближ:ению теории возмущений. Поправка к затравочному заря- ду, е^, дается величиной е2ск2Т(к2). Взяв для поляризационного оператора его первое приближение A32.1), найдем -,( Л| \ н . ас -1 Л| / \ о?с \ AfJ Зтг Л| Зтг после чего интегрирование в A33.9) приводит к результату J_ in M = _L- - _J_. A33.10) 3^ Л2 ес2(Л2) ес2(Л2) V J При Л^ ^~ ттг2 затравочный заряд ес(к\) стремится к истинному заряду е, и тогда A33.10) совпадает с A33.3),A33.4). х)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Связь между «затравочным» и истинным зарядами» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
