Сведем здесь некоторые правила и формулы, полезные для вычисления интегралов, возникающих в теории радиационных поправок. Типичная формула интеграла, отвечающего диаграм- ме Фейнмана: т \К id к /-iq-i-i\ , A31.1) а\п2 •••ап где ai, U2-) ... —полиномы второй степени по 4-вектору /с, f(k) — полином какой-либо степени п7, а интегрирование производится по всему четырехмерному /с-пространству. Удобный метод вычисления таких интегралов (принадлежа- щий Фейнману, 1949) основан на предварительном преобразова- нии (параметризации) подынтегрального выражения путем вве- дения дополнительных интегрирований по вспомогательным пе- ременным ?i, ?2, ••• согласно формуле а\A2 ... ап О О A31.2) В результате такого преобразования вместо п различных ква- дратичных полиномов в знаменателе возникает n-я степень всего одного полинома второй степени. Устранив E-функцию интегрированием по d^n и введя новые переменные согласно получим формулу A31.2) в эквивалентном виде: 1 х\ \ = (n-1)! [dxi ft aia2...an J J 0 0 Xn-2 Lr.~ 1 Ц —. A31.3) 1-1 + a,2(Xn-2 — Xn-i) + ¦ ¦ ¦ + an(l — xi)]n § 131 ИНТЕГРАЛЫ ПО ЧЕТЫРЕХМЕРНЫМ ОБЛАСТЯМ 657 При п = 2 эта формула имеет вид 1 1 _ / а\п2 J — ж)]2 A31 4) и проверяется прямым вычислением. Для произвольного же п формула может быть доказана по индукции от п — 1 к п. Дей- ствительно, произведя в A31.3) интегрирование по dxn-\, полу- чим в правой стороне равенства разность двух (п — 2)-кратных интегралов того же вида. Предполагая для них формулу спра- ведливой, получаем — , что совпадает CL\ — CL2 \-CL2CL3 • • • CLn CL1CL2, . . . CLn J с выражением в левой части равенства A31.3). Дифференцированием A31.3) по ai, a2, ... можно получить аналогичные формулы, служащие для параметризации интегра- лов, содержащих в знаменателях какие-либо из полиномов в сте- пенях выше первой. Регуляризация расходящихся интегралов осуществляется вы- читанием из них интегралов аналогичного вида. Для вычисле- ния такой разности может оказаться целесообразным предвари- тельное преобразование разности подынтегральных выражений (каждое из которых уже было преобразовано с помощью A31.2)) с помощью формулы 1 J_ _ J_ — _ / n(a an bn J [(a-b - b) dz После преобразования, согласно A31.3), четырехмерное ин- тегрирование в A31.1) приводится к виду A31.6) где / — 4-вектор, а а2 — скаляр, оба они зависят от параметров #1, ... , xn-i] скаляр а2 будем считать положительным. Если интеграл A31.6) сходится, то в нем можно произвести замену переменных согласно к — 1^к (сдвиг начала координат), после чего он принимает вид f(k)d4k A31.7) (к2 -а2)п (с другой функцией /(&)), так что знаменатель содержит лишь квадрат к2. Что касается числителя, то достаточно ограничиться 658 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ рассмотрением скалярных функций / = F(k2). Действительно, для интегралов с числителями другого вида имеем ), A31.8) (к2-а2)п f k»kuF(k2)d4k _ 1 ^ f k2F(k2)d4k П 31 9) J (k2-a2)n ~ 4g J (k2-a2)n' ^ '' k^kukpkaF(k2)d4k _ 24 I / (k2JF(k2)d4k J (k2-a2)n С\ ->- и т. д., что очевидно уже из соображений симметрии (при инте- грировании по всем направлениям к). В исходном интеграле A31.1) каждый из множителей ai, п2ч • • • в знаменателе имеет (как функция от ко) по два нуля, ко- торые обходятся при интегрировании по dko согласно обычному правилу (см. § 75). После преобразования к виду A31.7) вмес- то 2п простых полюсов подынтеграль- ное выражение имеет всего два по- люса n-го порядка, которые обходят- ся по тому же правилу (путь С на рис. 25). Смещая контур интегрирова- ния, как показано стрелками, можно совместить его с мнимой осью в плос- кости ко {С1 на рис. 25). Другими сло- вами, переменная ко заменится на ко — = ikfQ с вещественной переменной к$. Изменив также обозначение к на к7, будем иметь I/* К* 1^" ^ I К* I 1^" \ l/"* \ \ \\ \ \ \ ГЬ 0 "^ V П *^ "^ 7 } V-L*J-L.-LJI где к' — 4-вектор в евклидовой метрике. При этом А А , ,9 к'2 74 7 " 74 7 ' " 7 I ^ 7 "у ТСЛ /Ч I/* V /} /Ч ]/* /} ]/* /Ч /Ч1 I Uj ГЬ 7 LUj ГЬ О ГЬ Uj LtzUD. где dft — элемент четырехмерных телесных углов. Интегрирова- ние по dft дает 2тг2 (см. II, § 111), после чего ~). A31.12) Рис. 25 ' Обозначив к' = z, получим окончательно F(k2)d4k (к2 -а2)п = {-1)пт [ J 2 [ F(-z)zdz A31.13) 131 ИНТЕГРАЛЫ ПО ЧЕТЫРЕХМЕРНЫМ ОБЛАСТЯМ 659 В частности, d4k _ (-1)пгтг2 (к2 - а2)п а2(^-2)(п - 1)(п - 2) A31.14) Логарифмически расходящаяся часть в интегралах A31.7) может быть выделена в виде [(t-ff-^F- (Ш15) Легко видеть, что и в таком интеграле допустимо преобразование к —>• к + 1. Действительно, разность первоначального и преобра- зованного интегралов .[(/с-/J-а2]2 (к2-а2J. представляет собой сходящийся интеграл, и потому в нем замена к —>• к + I во всяком случае допустима. Произведя ее и заменив еще затем к —>• —/с, получим ту же величину с обратным знаком, откуда и следует ее равенство нулю. Линейно расходящийся интеграл должен иметь вид [(*-У-аТ' (ШЛ6) но фактически такой интеграл расходится лишь логарифмиче- ски: подынтегральное выражение асимптотически (при к —>> оо) равно /с^/(/с2J и обращается в нуль при усреднении по направ- лениям. Сдвиг начала координат, однако, не оставляет интеграл A31.16) неизменным, а добавляет к нему аддитивную постоян- ную. Продемонстрируем это для случая бесконечно малого сдви- га к —>• к + 61, вычислив разность A31.17) = П У 1 С точностью до членов первого порядка по 51 щы1) _ ^ w (А;2-а2K (А;2 - а2J ) В первом члене усреднение по направлениям заменяет числитель на к251^ (ср. A31.9)), после чего находим = -—81». A31.18) 2 V У {к2-а2У 1) Более громоздкое вычисление приводит к такому же результату и при конечном /. 660 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ В окончательных выражениях для радиационных поправок часто фигурирует трансцендентная функция, определяемая ин- тегралом = [ 1пA + ж) dx A31.19) J х (ее называют иногда функцией Спенса). Отметим здесь для спра- вок некоторые ее свойства: ^+1-ln2^ A31.20) F(-?) + F(-l + ?) = -? + ln? ln(l - С), A31.21) F(l) = ?, F(-l) = -^. A31.22) Разлож:ение при малых ?: il ^-^+... A31.23) 9 16 V 7
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вычисление интегралов по четырехмерным областям» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
