Другими (наряду с рассеянием фотона на фотоне) нелиней- ными эффектами, описывающимися квадратными диаграммами вида A27.1), являются распад одного фотона во внешнем по- ле на два фотона (и обратный процесс «слияния» двух фотонов в один) и рассеяние фотона во внешнем поле. Первому процес- су отвечают диаграммы, в которых один из четырех внешних фотонных концов заменен линией внешнего поля. Второму же процессу отвечают диаграммы с двумя внешними линиями ре- альных и двумя — виртуальных фотонов. К последней категории относится, в частности, когерентное (упругое) рассеяние фотона в постоянном электрическом поле неподвижного ядра. В общем случае вычисления приводят к очень громоздким формулам (содержащим кратные квадрату- ры) х) . Мы ограничимся здесь лишь некоторыми оценками. В силу требований калибровочной инвариантности амплиту- да рассеяния при ио —>> 0 должна содержать произведения ком- понент 4-импульса начального (к) и конечного (А/) фотонов (по- добно тому как разложение амплитуды рассеяния фотона на фо- тоне начинается с четверных произведений компонент 4-импуль- сов всех фотонов). Другими словами, амплитуда рассеяния фо- тона малой частоты пропорциональна ио2. Учитывая также, что эта амплитуда содержит внешнее поле (поле ядра с зарядом Ze) во втором порядке, заключаем, что сечение рассеяния -) do, o;<m. A28.1) т/ Зависимость от частоты находится, разумеется, в соответствии с общими заключениями § 59. Коэффициент в A28.1) нельзя вычислить с помощью функ- ции Лагранжа однородного электромагнитного поля (как это можно было сделать для рассеяния света на свете). Причина за- ключается в том, что в данном процессе существенны расстояния от ядра г ~ Z/ra, на которых поле ядра нельзя рассматривать как однородное. Приведем результат точного расчета: da++ = da— = 1,004 • 10~3 {Zafr2e (-У cos4 -do, da+_ = da_+ = 3, 81 • 10{Zafr2e (-) sin4 - do. ^Cm. Costantini V., De Tollis В., Pistoni C//Nuovo Cimento. — 1971. — V. 2A. — P. 733; De Tollis В., Lusignoli M., Pistoni C//Nuovo Cimento. — 1976. — V. 32A. —P. 227. 636 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ Индексы «+» и « —» обозначают здесь (как ив § 127) спирально- сти +1 или — 1 конечного или начального фотонов; в — угол рас- сеяния в системе покоя ядра (V. Costantini, В. de Tollis, G. Pistoni, 1971). Для оценки сечения при высоких частотах воспользуемся оп- тической теоремой (см. § 71). Промежуточное состояние, фигу- рирующее в правой части соотношения унитарности, является в данном случае состоянием электрон-позитронной пары (ему от- вечает рассечение диаграмм по двум внутренним электронным линиям между фотонными концами). Поэтому оптическая теоре- ма связывает амплитуду упругого рассеяния фотона на нулевой угол с полным сечением образования пары фотоном в поле яд- ра сгпар- Определив амплитуду /(о;, в) рассеяния на угол 9 так, чтобы сечение рассеяния было da = \f\2do (ср. G1.5)), будем иметь Im/(o;, 0) = ^сгпар. Сечение <тпар отлично от нуля, разумеется, лишь при ио > 2т. В ультрарелятивистском случае, взяв <тпар из (94.6), получим /"(ш) ее Im/(w, 0) = J-(ZaJre-\ln— - — 1, ш » т. A28.3) 9тг ml m 42 J Вещественная часть амплитуды рассеяния определяется по мнимой части дисперсионным соотношением. Это соотношение должно быть написано «с одним вычитанием», т. е. его надо пи- сать для функции f/t (где t = о;2), поскольку при ио —)> 0 ам- плитуда / ос ио2 (ср. с соотношением «с двумя вычитаниями» A11.13)). Выделяя вещественную часть дисперсионного интегра- ла (для чего достаточно понимать интеграл в смысле главного значения) и перейдя от интегрирования по t1 = а/2 к интегриро- ванию по ио1', имеем , 0) = ^! 7Г 2т При ио ^> т в интеграле существенны значения ио' ~ ио ^> т, так что для f"(oo') можно использовать выражение A28.3); при этом нижний предел интеграла можно заменить нулем. Главное значение интеграла можно представить как полусумму интегра- лов по путям, проходящим по верхнему и нижнему берегам пра- вой вещественной оси в плоскости комплексной переменной ио'] в свою очередь, эти пути можно затем повернуть в плоскости ио' до совпадения соответственно с верхней и нижней мнимыми § 129 ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 637 полуосями. В результате f'(oo) представится в виде оо оо 9тг т Ш2+^2) 9тг О и окончательно Re/(о;, 0) = -(Zafre-. A28.5) 18 m Обратим внимание на то, что вещественная часть амплитуды, в отличие от мнимой части, не содержит большого логарифма. Сумма квадратов выражений A28.3) и A28.5) дает сечение рассеяния на нулевой угол: 2 аа = J?_(ZaLr2 f^ {ln2^i^ + ^ko A28.6) (F. Rohrlich, R. L. Gluckstern, 1952). Полученный для рассеяния строго вперед результат A28.6) пригоден и в некоторой области малых углов. Можно показать, что условие его применимости в <С (га/о;J. Эта область, однако, вносит лишь малый вклад в полное сечение рассеяния. Основной же вклад в полное сечение дает область углов в < га/а;; это легко понять на основании общего (не на нулевой угол) соотношения унитарности, связывающего друг с другом амплитуды рассея- ния фотона и образования пар фотоном. В этой области, однако, логарифмический член отсутствует, так что полное сечение рас- сеяния а ~ {Zafr\ (-) 2 в2 ~ (ZaLr2e A28.7) \т/ (Н. A. Bethe, F. Rohrlich, 1952). Таким образом, при больших ио сечение когерентного рассеяния стремится к постоянному пределу.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Когерентное рассеяние фотона в поле ядра» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
