Интеграл М\^\ отвечающий диа- грамме A27.1,а), имеет вид A26.4), причем \ rn) x х (Т^ХТЗ - 7^4 + m)Ge^)Gg - 7^1 - 7^2 + т)}. A27.15) Интегралы A26.4) логарифмически расходятся. В соответ- ствии с условием A27.6) их регуляризация осуществляется вы- читанием значения при к\ = &2 = • • • = 0 2) . Вычисление регуляризованных интегралов, однако, чрезвычайно громоздко. Наиболее естественный путь для вычисления амплитуд рас- сеяния фотона на фотоне основан на использовании двойного 1) Здесь учтена также симметрия по отношению к паре конечных фото- нов. Поскольку три переменные s, t, и не независимы, достаточно было бы писать два аргумента (например, два первых); мы сохраняем все три лишь с целью более ясного выявления симметрии их перестановок. ) Отметим, что при суммировании вкладов всех диаграмм расходящиеся части интегралов сокращаются. В этом легко убедиться, заметив, что асимп- тотический (при q —>- 00) вид интеграла есть / После усреднения по направлениям q (ср. A31.10)) след легко вычисляется § 127 РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ФОТОНЕ 631 дисперсионного соотношения (В. De Tollis, 1964). Этот метод наиболее полно учитывает симметрию диаграмм и почти пол- ностью исключает трудности интегрирования. Функция A\aJ(s, t) (и аналогично А^.') для каждого задан- ного набора спиральностей Ai, A2, A3, А4 вычисляется соглас- но A26.6). Ввиду наличия под интегралом двух E-функций нам нужно знать значение В(а' лишь при lj = q2 = га2, lj = (q-ki- k2J = га2; A27.16) эти равенства можно учитывать уже при вычислении следа A27.15). Но для дальнейшей подстановки в A26.22) нам фак- тически требуется значение AfJ лишь при t = 0. (Это равенство означает, что к = к7 и к2 = к±.) Тогда интеграл A26.6) принима- ет вид ^)(S'0) = "TV . J [(e-fa)'-m']» (ср. вывод A15.10)). Введя угол # между q и к, получим (q — к2J — га2 = — 2а;A — |q| cos 7?) = — y/s\ 1 — - у s — Am2 cos # . L Z J Интегралы A27.17) фактически выражаются через элементар- ные функции. Вычисление же функции А)^ (s, t) согласно ее определению A26.18) вообще не требует интегрирования, при этом выражение для В^ должно быть взято для значений q из A26.15), удовлетворяющих, помимо A27.16), также и условиям (q — к2J = га2, (q — /С4J = га2. После вычисления функций A\s, Ац, А2 дисперсионное соот- ношение A26.22) дает амплитуду непосредственно в виде одно- и двукратных определенных интегралов. Приведем здесь окончательный результат для трех инвари- антных амплитуд, достаточных,согласно сказанному выше, для и дает / /»4 71J' Суммирование по диаграммам означает симметризацию этого выражения по индексам Л, //, г/, р, в результате чего оно обращается в нуль. Подчеркнем, однако, что это сокращение имеет в известном смысле случайный характер и не устраняет необходимости регуляризации, хотя она и сводится при этом к вычитанию конечной величины. 632 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ определения также и всех остальных амплитуд г) : -^М++++ = -1 - B + **) B(t) - B + ^) В{и) - 8а2 V s / V s / _ 81 ^Л _ 24 s\ t \ s/ т A27.18) 4 Л 2\ г, ч . \2(t2+u2) 16 4 4 8 1 т(, ч i6\s/ Ls^ s t и tu\ () r(s)+T(t)+T(u)] - t и) L V ; V ; V Л /1 9 \ /1 9 и st/ \t su/ \s tu 8a2 st su tu Здесь введены следующие обозначения: B(s) = 1/1 - - Arsh - 1, s < 0, A27.19) выражения же в областях 0<s<4hs>4 получаются из A27.19) путем аналитического продолжения по правилу s —)> s + + iO, т. е. через верхнюю полуплоскость этих переменных. (Для упрощения записи в формулах A27.18),A27.19), и только в них, буквы s и t обозначают отношения s/m2, t/m2.)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вычисление амплитуд» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
