При вычислении электронных формфакторов в § 117 мы столкнулись с расходимостью интегралов на малых частотах вир- туальных фотонов. Эта расходимость тесно связана с обсуждав- шейся уже в § 98 инфракрасной катастрофой. Там было указано, что сечение любого процесса с участием заряженных частиц (в том числе рассеяния электрона внешним полем, изображаемого диаграммой вида A17.1)) имеет смысл не само по себе, а лишь при учете одновременного излучения любого числа мягких фо- тонов. Как будет подробно объяснено ниже (см. § 122), в сум- марном сечении, учитывающем излучение мягких фотонов, все расходимости сокращаются. При этом, разумеется, для получе- ния правильного результата предварительное «обрезание» рас- ходящихся интегралов во всех складываемых сечениях должно производиться одинаковым образом. В § 117 это обрезание было осуществлено путем введения фиктивной конечной массы виртуального фотона А. Поэтому мы должны теперь видоизменить и полученные в § 98 формулы так, 588 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ чтобы они описывали излучение мягких «фотонов» с ненулевой массой. С формальной точки зрения такой фотон относится к «век- торным» частицам со спином 1, свободное поле которых рассмат- ривалось в § 14. Оно описывается 4-векторным ^-оператором Vv = %/4^ -^(ci^er** + с+кае^егкх), а = 1, 2, 3 A20.1) (здесь изменены обозначения и нормировка по сравнению с A4.16) с целью приведения в соответствие с фотонным случаем). Взаимодействие «фотонов» A20.1) с электронами надо опи- сывать лагранжианом того же вида, что и для истинных фотонов: -е?"Й. A20.2) (с заменой операторов потенциала А^ на ф^). Тогда амплитуды процессов испускания фотонов конечной массы будут даваться обычными формулами диаграммной техники, с тем лишь отли- к* = А2. A20.3) Суммирование же по поляризациям испущенного фотона дол- жно будет производиться по трем независимым поляризациям (двум поперечным и одной продольной) вместо двух у обычно- го фотона. Это эквивалентно усреднению по матрице плотности неполяризованных частиц 4(^) A20-4) (ср. A4.15)) с последующим умножением на 3. Пропагатор «фотонов» с ненулевой массой (ср. G6.18)). Однако в силу калибровочной инвариантности амп- литуды реальных процессов рассеяния не зависят от продольной части фотонного пропагатора, и это свойство не связано с кон- кретным видом его поперечной части. Поэтому второй член в скобках фактически выпадает, и остается выражение того же типа, что и для обычных фотонов: ^ A20.5) (которым мы и пользовались в § 117, 119). Обратимся теперь к изучению мягких (в объясненном в § 98 смысле) фотонов. § 120 ИСПУСКАНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ С НЕНУЛЕВОЙ МАССОЙ 589 Произведенный в § 98 вывод формул (98.5),(98.6) переносит- ся на рассматриваемый случай с тем лишь изменением, что при раскрытии квадратов (р±кJ в знаменателях электронных про- пагаторов прибавляется член к2 = А2. В результате вместо (98.6) получим .2 (р'е) (ре) da = rfavnn • е (рк)-Х2/2 4тг2а; где dayup — сечение того же процесса без излучения мягкого фо- тона (который называем условно «упругим» процессом). В даль- нейшем при интегрированиях по d? к будут существенны значе- ния |k| ~ А. При этом р'к ~ рк ^> А2, так что членами А2 в зна- менателях можно пренебречь. Суммирование по поляризациям фотона осуществляется, как указано, с помощью A20.4). После сделанного пренебрежения второй член в A20.4) не дает вклада в сечение, и остается х) da = -dayup • e2f^- - -*-Y-?Lu A20.6) y P \(pfk) (pk)J 4тг2и; V J (pfk) (pk)J Таким образом, мы возвращаемся к формуле (98.7), в которой, однако, надо понимать теперь ио как ш = лД2 + А2. A20.7) Формула A20.6) имеет совершенно общий характер. Она при- менима как при упругом, так и при неупругом рассеянии и даже при изменении сорта частиц. Результат же дальнейшего инте- грирования по d3к зависит от 4-векторов ржр\ иными словами, от характера основного процесса рассеяния. Рассмотрим случай упругого рассеяния, когда |р| = |р'|, е = е', и определим полную вероятность испускания фотонов с часто- той, меньшей некоторого о;тах; при этом предполагается, что х > А, A20.8) а сверху значение о;тах ограничено условиями применимости тео- рии излучения мягких фотонов (98.9),(98.10). Вычислим прежде всего интеграл по d3 к в нерелятивистском пределе. При |р| = |р;| <С т имеем (J_ Р у ^ (qkJ q V (р'к) (рк)) 2 1) На первый взгляд могло бы возникнуть сомнение в допустимости прене- брежения Л2 до усреднения ввиду наличия Л2 в знаменателе второго члена в A20.4). Однако легко непосредственно убедиться в том, что этот член при усреднении дает вклад ~ Л • Л~ которым можно пренебречь. 590 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ (q = p7 — р). Интегрирование этого выражения по направлениям к дает 47rq2 После этого имеем из A20.6) 2 2 eg тгт2 О 7"f! *_| У [ 3(k2 + A2)J или, произведя интегрирование в предположении cjmax/A ^> 1, da = dayup • — fin ^^ - -) , q2 < m2. A20.9) Зтг V Л 6 / В общем релятивистском случае для вычисления интеграла воспользуемся формулой A31.4). С ее помощью имеем для инте- грала по углам 1 1= Г^?^= fdx [ J (Pk)(p'k) J J О или, раскрыв скалярные произведения с р = (б, р), р' = (б, р7), 1 Интеграл с/ок легко вычисляется в сферических координатах с полярной осью вдоль вектора рх + р;A — ж), после чего 1 I — [ 4:7rdx _f ~ J (ги;J-[рЖ + р'A-*)]2к2 У 0 0 Два других интеграла (с (ркJ и (р'кJ в знаменателях) получа- ются отсюда при q = 0. Заметив также, что ppf = е2 - рр7 = m2 + q2/2, получим 1 Wmax da = ^fdX f ^W f -2 + ^/2 7Г J J л/k2 + Л2 I [m2 + q2x(l - ж)к2 + s2A2 } <120ло> 120 ИСПУСКАНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ С НЕНУЛЕВОЙ МАССОЙ 591 Интегрирование по d|k| сводится к вычислению интегралов вида Wmax f k2d\k\ _ 1 f J (ak2 + A2)Vk2 + A2 ~ a J d\k\ (ак2 + А2)л/к2 + А2 оо 2cJmax _ 1_ f A a J (az2 dz 1 -I a Во втором интеграле подставлено |k| —>> Xz и верхний предел (^max/A) заменен на оо, что допустимо ввиду сходимости интег- рала. Возникающие затем интегралы по х в A20.10) не могут быть полностью выражены через элементарные функции. Результат представим в виде da = a\Fl-±- где dav >2 + i)-i], тг|р| m + q2 /* dx 1 1 + л/1 - а ¦?2 J ал/l — a \fa A20.11) A20.12) A20.13) а = — [m2 Найдем асимптотическое выражение для сечения в ультра- релятивистском случае. При этом предполагается, что не только ? ^> т, но и |q| ^> т, т. е. угол рассеяния не слишком мал. В этих условиях в интеграле A20.13) существенна область значений ж, в которой а <^ 1; после соответствующих пренебрежений 2тг?2 а 2тг Функция F(?) уже встречалась в задачах к § 98. Это неудивительно, так как с логарифмической точностью A20.11) можно получить, интегрируя сечение испускания фотонов нулевой массы (98.8) по о; в пределах от Л до cJmax- Если ввести вместо ? переменную в согласно ? = sh@/2), то FF) = -((9cth(9-l). 7Г A20.12а) 592 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ Интеграл надо обрезать при а ~ т2/' е2, т. е. при х ~ т2/q2 снизу и при 1 — х ~ m2/q2 сверху. Тогда 2тг L г2 т2 т2 \ 2тг L т2 т т2 Эта формула справедлива с точностью до квадратов логариф- мов, как говорят, с дважды логарифмической точностью. С этой же точностью достаточно положить в первом члене в A20.11) 4 7Г Окончательно A20.14)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Испускание мягких фотонов с ненулевой массой» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Функция F(?) уже встречалась в задачах к § 98. Это неудивительно, 