Обратимся к фактическому вычислению формфакторов элек- трона (J. Schwinger, 1949). В нулевом приближении теории возмущений вершинный опе- ратор Г^ = 7^5 т- е- электронные формфакторы / = 1, 9 = 0- Первая радиационная поправка к формфакторам определяется вершинной диаграммой A17.1) V- (с двумя реальными электронными концами и одним виртуаль- ным фотонным концом). Мы начнем с вычисления мнимых ча- стей формфакторов. Как было показано в предыдущем параг- рафе, они отличны от нуля лишь в аннигиляционном канале (к2 > Am2); в соответствии с этим 4-импульсы электронных кон- цов в диаграмме A17.1) отвечают рождающимся электрону и § 117 ВЫЧИСЛЕНИЕ ФОРМФАКТОРОВ ЭЛЕКТРОНА 575 позитрону и обозначены через р- и —р+. Аналитическое выра- жение диаграммы A17.1): ^/)-^(-*>+), A17.2) или, в раскрытом виде, У7(*2) - ±е№)оГк„ = f X({PJ% A17.3) 2т J (р2 — т2)[(р2 — к2) — т2] где обозначено ^(р) = С2 Y GP + т)*у» Gр - 7^ + тO* A17.4) 4тг3(р_ — рJ и для краткости опущены множители п(р_) ... гл(— р+); везде ниже подразумевается, что обе стороны равенства берутся в этих «обкладках». Проведенный на диаграмме A17.1) горизонтальный пунктир рассекает ее на две части таким образом, чтобы показать проме- жуточное состояние, которое фигурировало бы при вычислении мнимой части формфактора по условию унитарности: это есть состояние электрон-позитронной пары с импульсами, отличны- ми от р_, р_|_. Это же рассечение показывает, где в интеграле A17.2) должна быть произведена замена полюсных множителей, если производить вычисление по правилу A15.9) (в A17.3) эти множители выделены в подынтегральном выражении). Интеграл в A17.3)—того же вида, что и в A15.2). Поэтому мы можем сразу написать результат преобразования в форме A15.10), минуя промежуточные этапы: A17.5) где t = /с2, интегрирование производится по направлению векто- ра р, а 4-векторы р'_ = р и р'+ = к — р в определении функции (р^(р) (см. A17.4)) становятся 4-импульсами реальных (а не вир- туальных) частиц. Выражение A17.5) относится к системе отсче- та, в которой к = 0; это — система центра инерции рождающейся пары р_, р_|_ (а тем самым — и «промежуточной» пары р'_, р'+). В этой системе, следовательно, и легко проверить, что /2 = (р - p_f = -2р2A - cos^) = -*^ill?(l - cos^), A17.6) 576 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ где в — угол между р и р_ (причем р2 = р2,). Подставив теперь A17.4) в A17.5) и исключив в подынтегральном выражении ма- трицы 7^ • • • lv с помощью формул B2.6), получим ~jk + m)<yu = / J л 2Т / о (f п - 4m2) J 27r(l-cos6>) f ^ [-2m27'i + 4m(P" + 2/") + J 27r(l-cos6»)L ' V ^ ' f - 4m2) J 27r(l-cos6») + 2AP+ - 7/O"GP- + 7/)], (П7.7) где введены 4-векторы / =p-p- = @, f), P = p.-p+ = @, 2p_). A17.8) Интегрирование сводится теперь к вычислению интегралов (П7.9) V 7 1 - cos в 2тг с каждым из трех перечисленных числителей. Интеграл / логарифмически расходится при в —>• 0. Перепи- сывая его как / = Р 7 о о мы видим, что расходимость отвечает малым «массам» вирту- ального фотона. Таким образом, это— «инфракрасная» расходи- мость. Мы отложим ее подробное рассмотрение до § 122. Здесь отметим только, что она фиктивна в том смысле, что при пра- вильном учете всех физических эффектов подобные расходимо- сти взаимно компенсируются и исчезают. Поэтому мы можем произвольным образом «обрезать» интеграл снизу, а в дальней- шем, при расчете реальных физических явлений, устремить пре- дел обрезания к нулю. Здесь будет проще всего совершать обрезание релятивистски инвариантным образом. Для этого припишем виртуальному фо- тону / малую, но конечную массу А (А <С га), т. е. заменим в фотонном пропагаторе D(f2) в A17.2) /2^/2-А2. A17.10) После этого 1= / ALL = in * -4m . (ii7.il) J /2-л2 л2 v ; § 117 ВЫЧИСЛЕНИЕ ФОРМФАКТОРОВ ЭЛЕКТРОНА 577 Интеграл /^, в котором /^ — пространственноподобный 4-вектор, должен выражаться через 4-вектор Р^ (из двух име- ющихся в нашем распоряжении 4-векторов Р^ и к^ простран- ственноподобен при произвольных р_|_, р_ только Р^). Поэтому 1^ = АР^. Умножив это равенство на Р^ и вычислив интеграл P^I^ в системе центра инерции пары (компоненты 4-векторов / и Р — из A17.8)), найдем А=±_ f fp 2р2 J 1 - Таким образом, cos в 2 -1 -1 A17.12) Аналогичным образом вычисляется интеграл A17.13) g Ц^ + (для определения коэффициентов в этом выражении достаточно вычислить интегралы /^ и 1^уР^Ру). Дальнейшее вычисление происходит следующим образом. Подставив A17.11)—A17.13) в A17.7), мы получим между «об- кладками» п(р-) ... и(—р+) сумму ряда членов. В каждом из них «прогоним» (с помощью правил коммутации матриц 7^) множитель 7Р+ направо, a jp~ —налево; после этого можно за- менить 7Р- —> Ш") 7Р+ -^ —тп, поскольку п(р-Ьр- = ™,п(р-), jp+u(-p+) = -ти(-р+). В получающейся в результате сумме -Цр+р_I^ + 2тР» - 3PV мож:но еще заменить Р^ эквивалентным ему (в обкладках!) вы- ражением (ср. A16.5)). Наконец, выразив все величины через инвариант t = к2 B]9+_р_ = t — 2m2, Р2 = 4m2— t) и сравнив затем обе сторо- ны равенства A17.7), получим следующие формулы для мнимых частей формфакторов: Img(t) = <f A17.14) f-3t+8m2+2(t-2m2) In Ll±«l], A17.15) L V J A2 J V J Инфракрасная расходимость имеется только в Im/(t). 19 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY 578 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ Сами функции f(t) и g(t) вычисляются по их мнимым частям с помощью формул A16.11),A16.12). Интегрирование в этих формулах удобно произвести с помощью тех же подстановок, которые были использованы в § 113 при вычислении V(t). Вы- раженные через переменную ? A13.11) формфакторы определя- ются формулами _ 1 = °LS2(l 2тг1 V A17.17) где F(?) — функция Спенса, определенная согласно A31.19). В нефизической области @ < ?/т2 < 4) надо положить ? = = ег(р. Тогда выражения для формфакторов могут быть приве- дены к виду ip/2 \ xtgxdx о A17.18) — -?-. A17.19) 2тг sin (p Наконец, выпишем предельные формулы для малых \t\: = —, |t|<4m2, A17.20) 3 cos cp + 1 2 sin if и для больших 111: if In-, t»Am> 0, -t>4m2, /,\ am л t .am I- t о, * > 4т2, -1 > 4т2. A17.22) Формула A17.21) справедлива (в отношении Re/), как говорят, с дважды логарифмической точностью, т. е. с точностью до квад- ратов больших логарифмов .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вычисление формфакторов электрона» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 