Приступая к фактическому вычислению радиационных по- правок, начнем с вычисления поляризационного оператора (J. Schwinger, 1949; R. P. Feynman, 1949). В первом приближе- нии теории возмущений он дается петлей в диаграмме Р kZ>k р — к Как уже отмечалось, задача облегчается, если начать ее с вы- числения мнимой части искомой функции. В свою очередь это вычисление проще всего осуществляется путем использования соотношения унитарности. При этом линии виртуального фото- на рассматриваются как отвечающие воображаемой «реальной» частице — векторному бозону массы М2 = А;2, взаимодействую- щему с электроном по тому же закону, что и фотон. Тем са- мым A13.1) становится диаграммой «реального» процесса, чем и оправдывается применение к ней условия унитарности. Таким образом, рассматриваем A13.1) как диаграмму для амплитуды перехода бозона самого в себя (диагональный эле- мент ^-матрицы) через распад на электрон-позитронную пару. Крестики на диаграмме A13.1) показывают, по каким линиям она должна быть рассечена на две части так, чтобы показать промежуточное состояние, фигурирующее при применении соот- ношения унитарности. Это состояние содержит электрон с 4-им- пульсом р- = р и позитрон с р+ = —(р — к). Соотношение унитарности с двухчастичным промежуточным состоянием G1.4) при совпадающих начальном и конечном со- стояниях дает f A13.2) поляр ** Здесь амплитуда Мц, составленная по диаграмме A13.1), есть —, A13.3) 4тг § 113 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ОПЕРАТОРА 559 где е^ —4-вектор поляризации бозона; согласно A4.13) он удов- летворяет уравнению е^к» = 0. Амплитуде же Mni отвечает диаграмма распада бозона на пару: ¦jfe Р- -Р+ Соответствующее выражение имеет вид Mni = -eV^etlf, j" = «(p_)y«(-p+). (И3.4) Подставив A13.3),A13.4) в A13.2), получим \^ (П3.5) поляр При этом р = р_ = —р+ и е = ?+ + Е- = 2б+—импульсы и суммарная энергия пары в системе ее центра инерции; интегри- рование производится по направлениям р, а суммирование — по поляризациям обеих частиц. Усредним теперь обе стороны равенства A13.5) по поляриза- циям бозона. Усреднение осуществляется формулой (ср. A4.5)). Приняв во внимание поперечность тензора V^ и вектора jfJj(VfJjiykl/ = 0, j^k^ = 0) и использовав, что VJZ = 37^, получим в результате 2lmV = ^М поляр Суммирование по поляризациям производится обычным об- разом, интегрирование по do сводится к умножению на 4тг, и в результате находим e2^Sp7/.GP- + mO/"GP+ ~ т) = Введем переменную 2 _J = 2(т2 +Р+Р-). A13.7) 560 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ Тогда ?2=?, р2=?/4-т2, и окончательная формула для Im V принимает вид lmV(t) = ~-\ (t + 2m2), t > 4m2. A13.8) Значение ? = 4m2 — пороговое для рождения виртуальным фотоном одной электрон-позитронной пары (ср. примечание на с. 550); в рассматриваемом приближении теории возмущений (~ е2) состояние с одной парой является единственным, которое мо- жет фигурировать в качестве промежуточного состояния в усло- вии унитарности A13.2). В том же приближении, следовательно, при t < 4m2, правая сторона в A13.2) равна нулю, так что ImP(t)=0, ?<4m2. A13.9) По этой же причине в рассматриваемом приближении раз- рез для функции V(t) в плоскости комплексного t простирается лишь от точки t = 4m2 на вещественной оси, и эта точка долж- t о W -1 о 1 Рис. 19 на фигурировать в качестве нижнего предела в дисперсионном интеграле A11.13). Таким образом, имеем OO Зтг J tf -t-iO Am2 Для формулировки результата удобно ввести вместо t другую переменную, определив ее следующим образом: Это преобразование отображает верхнюю полуплоскость комп- лексного t на полукруг единичного радиуса в верхней полуплос- кости комплексного ?, как показано на рис. 19 (одинаковой штри- ховкой изображены соответствующие друг другу отрезки в обеих плоскостях). Нефизической области @ ^ ?/m2 ^ 4) отвечает при § 114 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ОПЕРАТОРА 561 этом полуокружность ? = е1{р', 0 ^ ср ^ тг. Физическим же обла- стям (? < 0 и ?/т2 > 4) отвечают правый и левый вещественные радиусы. Интеграл A13.10) проще всего вычисляется с помощью под- становки причем сначала имеем в виду случай t < 0 (тогда знаменатель в области интегрирования не обращается в нуль и мнимую добавку гО можно опустить). Выраженный через переменную ? результат интегрирования имеет вид Аналитическое продолжение этой формулы определит функцию V(t) ив области t > Am2: для этого надо положить в ней ? = ?ег7Г (при этом логарифм дает вклад в мнимую часть: 1п? = 1п? + + гтг) . Для нефизической области надо положить ? = е1(р, и тогда W Г_10 gin2 ? _ / in2 ?\ ^1 Зтг I 3 2 V iF &2/' A13ЛЗ) ^ 2^ sin. 4m2 2 В предельном случае малых \t\ (^ —>¦ 1) эти формулы дают V{t) = -^-—2, |i|«4m2. A13.14) 15тг т2 В обратном же случае больших \t\ (? —>• 0), получим |*|1П t —*Aп-^ гтг), ?>4т2. Зтг V т2 / По смыслу теории возмущений полученные формулы спра- ведливы до тех пор, пока Р/Dтг) <С D~l = t/Dir). Поэтому усло- вие применимости формул A13.15): -1лШ«1. A13.16) Зтг т2 Радиационные поправки, содержащие aln(\t\/m), называют ло- гарифмическими.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вычисление поляризационного оператора» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Для нефизической области надо положить ? = е1(р, и 