Исследование аналитических свойств фотонного пропагатора удобно начать с изучения свойств функции П(А;2). Дело в том, что прямое использование для этой цели определения A03.1) за- трудняется калибровочной неоднозначностью операторов и проистекающей отсюда неопределенностью их свойств. 1) При перенормировке фотонного пропагатора условие Z = 1 возника- ло как необходимое физическое требование, а после этого исчезновение по- правок к внешним фотонным линиям происходит уже автоматически. С формальной точки зрения, однако, ситуации для фотонных и электронных внешних линий аналогичны: при Z ф 1 волновая амплитуда е^ реального фотона с учетом поправок умножалась бы на \/Z. 550 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI Исходя из выражения собственно-энергетической функции фотона через матричные элементы калибровочно-инвариантного оператора тока в § 104 было получено интегральное представле- ние функции П(к2) A04.11). Обозначив переменную к2 через t:) , рассмотрим свойства функции П(?) в плоскости комплексного t. Из интегрального представления оо П(*)= Г p{t')dt' A11.1) W J t - V + гО V J 0 видно, что на отрицательной вещественной полуоси функция П(?) вещественна, а во всей остальной плоскости удовлетворя- ет соотношению симметрии П(Г) =П*(?). AП.2) Функция П(?) может иметь особенность лишь в особых точ- ках функции p(t). Последние лежат при значениях t = /с2, являю- щихся пороговыми для рождения виртуальным фотоном различ- ных совокупностей реальных частиц. При этих значениях «всту- пают в игру» новые типы промежуточных состояний в сумме A04.9). Вклад от этих состояний равен нулю ниже порога и отли- чен от нуля выше порога, что и приводит к особенности функции в самой точке порога. Эти пороговые значения, разумеется, веще- ственны и неотрицательны 2) . Поэтому и особые точки функции П(?) лежат на положительной вещественной полуоси переменной t. Если провести разрез по этой полуоси, то функция П(?) будет аналитична во всей разрезанной таким образом плоскости. Член +г0 в знаменателе подынтегрального выражения в A11.1) показывает, что полюс t' = t должен обходиться снизу. Иными словами, под значением функции П(?) при вещественном t следует понимать ее значение на верхнем берегу разреза. Ис- пользуя правило G5.18): L lrs(x), (ш.з) х ± гО х находим, что для вещественных t 1тП(?) = 1тП(? + гО) = -mp(t). (Ш-4) На нижнем же берегу разреза 1т П имеет обратный знак, а ИеП на обоих берегах одинаково. Поэтому скачок функции П(?) на разрезе ( г0) -1тП(?-г0) = -2mp(t). A11.5) Не смешивать с обозначением времени! 2) Так, точка к2 = 0 является порогом для рождения трех (или большего нечетного числа) реальных фотонов, точка к2 = 4т2 — порог для рождения электрон-позитронной пары и т. п. § 111 АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФОТОННОГО ПРОПАГАТОРА 551 Само интегральное представление A11.1) можно рассматри- вать в этом аспекте просто как формулу Коши для аналитиче- ской функции П(?). Действительно, применим формулу Коши u(t) = — [^Ж (ш.6) 2тгг J t' —t G к контуру A11.7) огибающему разрез. В предположении достаточно быстрого убы- вания П(?) на бесконечности, интеграл по большой окружно- сти исчезает, а интегралы по берегам разреза дают следующую формулу {дисперсионное соотношение), определяющую функ- цию П(?) по ее мнимой части: п( } = 1 Г ьппу-но)^ = 1 Г ьпщр W тг J t'-t тг J t -1 - г Подставив сюда A11.4), получим A11.1) . Аналитические свойства функций V(t) и V(t) совпадают со свойствами функции П(?), через которую они выраж:аются про- стыми формулами A04.2) и A03.21). Для V(t) имеем (Ш.9) На вещественной полуоси (t > 0), согласно сказанному выше, надо понимать t как t + гО. Мнимую часть T>(t) можно вычис- лить затем с помощью A11.3) и A11.4), причем надо учесть, что согласно A10.6) U(t)/t —>> 0 при t —>> 0. Тогда найдем ImV(t) = -47T2E(t) + ^lmn(t) = -4n26(t) - ^-p(t). A11.10) Применив теперь к функции T>(t) дисперсионное соотно- шение вида A11.8), получим для нее следующее интегральное 1) Дисперсионные соотношения была введены в квантовую теорию поля Гелл-Маном, Гольдберзером и Тирринзом (М. Gell-Mann, M. L. Goldherger, W. E. Thirring, 1954). 552 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ представление: ОО V(t) = JpL + 47Г Г еЮ. dt> . w t + iO J t'2 t-tf + iO 0 Эту формулу называют разложением Челлена-Лемана (G. /егг; 1952; Н. Lehmann, 1954). Существует тесная связь между положением разреза для функции V(t) (а тем самым и ее мнимой частью на разрезе), с одной стороны, и условием унитарности для амплитуды про- цесса а + Ь —>> c + rf, изображаемого диаграммой A10.4), с другой стороны (эта реакция, конечно, чисто воображаемая; она не про- тиворечит, однако, законам сохранения, и формальное условие унитарности для нее должно выполняться). В начальном состоянии (г) этого процесса имеются две «клас- сические» частицы а и 6, а в конечном — две другие с и d Условие унитарности G1.2) х) : Tfi - Щ = гBтгL Y, TfnT*nSHPf - Pi); A11.12) П суммирование в правой стороне производится по всем физиче- ским «промежуточным» состояниям п. В данном случае эти- ми состояниями являются, очевидно, состояния систем реальных пар и фотонов, которые могут быть рождены виртуальным фото- ном /с, т. е. как раз те состояния, которые фигурируют в матрич- ных элементах в определении функции р(к2) A04.9). Амплитуды Mfi и Mif содержат соответственно множителя V(k2) и Х>*(А;2), а их разность — мнимую часть ImV(k2). Мы видим, таким обра- зом, что уже известная нам (из A11.4)) связь между появлением у V мнимой части и существованием указанных промежуточных состояний является следствием необходимых требований унитар- ности. Мы увидим в дальнейшем, что фактические вычисления по теории возмущений функции V(t) (или, что то же, функции V(t)) удобно начать с вычисления мнимой части V, в которой не возникает расходящихся выражений. Но если затем вычислять функцию V(t) по дисперсионной формуле вида A11.8), то инте- грал окажется расходящимся и понадобится производить допол- нительные операции вычитания с целью удовлетворить условиям V@) = 0 и ?'@) =0. Это вычитание можно, однако, произвести без явного оперирования с расходящимся интегралом. Для этого достаточно применить дисперсионное соотношение A11.8) не к Напомним, что амплитуды Tfi отличаются от амплитуд Mfi лишь мно- жителями (см. F4.10)). § 112 РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ИНТЕГРАЛОВ ФЕЙНМАНА 553 самой функции V(t), а к функции V(t)/t2. Тогда V(t) предста- вится в виде ОО * [ 'V?\. A11.13) [ ?\ тг J t' (f — t — гО О Этот интеграл уже сходится, а получаемая таким образом функ- ция V(t) автоматически удовлетворяет требуемым условиям. О соотношении вида A11.13) говорят как о дисперсионном соотношении «с двумя вычитаниями». Смысл использованного в нем перехода к функции V(t)/t2 становится особенно наглядным, если записать A11.13) в виде оо оо оо УН) = 1 / w тг / / тг / f -1 - гО тт / *' тг 0 0 0 A11.14) Если обозначить первый («нерегуляризованный») интеграл как V(t) , то все выражение в правой стороне будет равно V(t)-V@)-fP'@).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Аналитические свойства фотонного пропагатора» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Не смешивать с обозначением времени! 