Точные пропагаторы и вершинная часть связаны между со- бой определенными интегральными соотношениями. Их проис- хождение становится в особенности ясным из диаграммного ме- тода. Введенное в предыдущем параграфе понятие о неприводимо- сти или приводимости распространяется не только на вершин- ные части, но и на любые другие диаграммы (или их части). Рассмотрим с этой точки зрения компактные собственно-энерге- тические электронные диаграммы. Легко сообразить, что из всего бесконечного множества этих диаграмм лишь одна неприводима; это — диаграмма второго по- рядка 1)Мы увидим в дальнейшем (см. § 110), что при составлении амплитуд реальных процессов не надо учитывать собственно-энергетических частей в свободных концах диаграммы. 107 УРАВНЕНИЯ ДАЙСОНА 531 Всякое усложнение этой диаграммы может рассматриваться как введение дальнейших поправок к ее внутренним (электрон- ной или фотонной) линиям или же к одной из ее вершин. При этом существенно, что в силу очевидной симметрии диаграммы все вершинные поправки достаточно приписывать лишь к одной (любой) из ее двух вершин . Поскольку, таким образом, из всех компактных собственно- энергетических электронных частей лишь одна неприводима, со- вокупность всех таких частей (т. е. массовый оператор ЛЛ изоб- разится всего одной скелетной диаграммой: A07.1) Записанное в аналитическом виде, это графическое равенство дает 2) = -ie2 к)Т»(р + к, р; к) A07.2) Аналогичное выражение может быть написано и для поляри- зационного оператора V. Среди фотонных компактных собствен- но-энергетических частей тоже лишь одна неприводима, так что V представляется всего одной скелетной диаграммой: р + к A07.3) ) Для ясности подчеркнем, что хотя мы получим всю требуемую совокуп- ность диаграмм, вводя поправки лишь к одной из вершин, но для каждой определенной диаграммы структура поправочного блока, вообще говоря, за- висит от того, которой из вершин он приписывается. Например: где для одной и той же диаграммы обведены квадратами блоки, которые играют роль вершинной части при отнесении ее к правой или левой вершине. 2)Если в A07.1) точную вершинную часть приписать левой вершине, то в уравнении A07.2) переставятся множители 7 и Г. Обе формы уравнения, разумеется, по существу эквивалентны. 532 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ Соответствующее аналитическое равенство: A07.4) (биспинорные индексы в A07.2) и A07.4) опущены). Соотноше- ния A07.2) и A07.4) называют уравнениями Дайсона. Их мож- но получить также и прямым аналитическим вычислением. Так, для вывода уравнения A07.2)рассмотрим величину Gр - m)uGik(x - х') = -i(jp- т)ц@\Тф1(х)фк(х')\0) (р = id — оператор дифференцирования по х). Она вычисляется с помощью A02.5) точно так же, как это было сделано в § 75 при выводе уравнения G5.7) для пропагатора свободных частиц. В результате получим (jp-m)ilGik(x -x) = - х'); E-функционный член в правой части этого равенства такой же, как в G5.7), поскольку коммутационные соотношения при t = = tf для ^-операторов в гейзенберговском представлении и в представлении взаимодействия одинаковы. Первый же член есть —iejiyKj^(x^ х, ж7), так что можно написать (снова опуская бис- пинорные индексы): GР - m)Q(x - х) = -ге^К^х, х, х) + 5^(х - х). A07.5) Для перехода к компонентам Фурье замечаем, что если проин- тегрировать определение A06.3) по cZ4fc с/4_р2/Bтг)8, то получим , p; A)^L = |к^@, 0, с, х, х')е1р<кХ ж'^4(ж — х'), A07.6) откуда видно, что интеграл в левой части представляет собой компоненту Фурье функции К^(х, х, х'). Таким образом, взяв компоненту Фурье от обеих частей уравнения A07.5), использо- вав затем определение A06.9) и вспомнив, что jp — т = G~l{pI получим о Г dAh — ie /7 y{p + k)L ^{p + k, p; k)y{p) • DuV\kx Наконец, умножив это равенство справа на G~1(pI придем вновь к уравнению A07.2).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнения Дайсона» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 