До сих пор при рассмотрении различных конкретных элек- тродинамических процессов мы ограничивались первым неисче- заю щим приближением теории возмущений. Перейдем теперь к изучению эффектов, возникающих при учете высших приближе- ний. Эти эффекты носят название радиационных поправок. Более глубокое понимание структуры высших приближений может быть достигнуто на основе предварительного изучения об- щих свойств, которыми обладают точные (т. е. не разложенные по степеням е2) амплитуды рассеяния. Мы видели (см. § 72), что последовательные члены ряда теории возмущений выражаются через операторы полей в представлении взаимодействия — опе- раторы, временная зависимость которых определяется гамиль- тонианом системы свободных частиц Hq. Точные же амплиту- ды рассеяния более удобно выражать через операторы поля не в этом, а в гейзенберговском представлении, в котором зависи- мость от времени определяется сразу точным гамильтонианом системы взаимодействующих частиц Н = Hq + V. По общему правилу составления гейзенберговских операто- ров имеем ф(х) = ф(Ъ г) = ехр(гЯ*)^(г) ехр(-гЯ4) A02.1) и так же для ф(х) и А(х), причем ф(т), ... —не зависящие от времени (шредингеровские) операторы . Сразу же отметим, что гейзенберговские операторы, взятые в одинаковые момен- ты времени, удовлетворяют тем же правилам коммутации, что и операторы в шредингеровском представлении или в представле- нии взаимодействия. Действительно, имеем, например, = ехр(*Я*)Шг), ?,(r/)}+ exp(-itft) = ^k6(r - г') A02.2) 1) В этой главе операторы с временным аргументом будут относиться к гейзенберговскому представлению, а операторы в представлении взаимодей- ствия будем отмечать дополнительным индексом int. § 102 ОПЕРАТОРЫ В ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 509 (ср. G5.6)). Аналогичным образом операторы ф(г, г) и А(?, r') коммутативны: $i(t, r), A(t, r')}_ = 0 (в различные моменты времени это уже отнюдь не так!). «Уравнение движения», которому удовлетворяет гейзенбер- говский ^-оператор, можно получить по общей формуле A3.7) (см. III): -i^t^l = Нф(х) - ф(х)Н. A02.3) Для гамильтониана шредингеровское и гейзенберговское пред- ставления тождественны, причем гамильтониан выражается оди- наковым образом через операторы полей в обоих этих представ- лениях. В данном случае при вычислении правой стороны в A02.3) можно опустить в гамильтониане часть, зависящую толь- ко от оператора А(х) (гамильтониан свободного электромагнит- ного поля), поскольку эта часть коммутативна с ф(х). Согласно B1.13) и D3.3) имеем Н = f ф*(t, г)(ар + /Зт)ф(г, r)d3x + + е / i/;(t, r)GA(?, r))^(t, г)с/3ж = = / ?/>(?, г){7^+ 777, + еGА(?, r))}'0(t, г)с/3ж. A02.4) Вычислив коммутатор {i7, i/;(t, r)}_ с помощью A02.2) и устра- нив E-функцию интегрированием по с/3ж, получим (jp- е^А - т)ф^, г) = 0. A02.5) Как и следовало ожидать, оператор ф(г, г) удовлетворяет урав- нению, формально совпадающему с уравнением Дирака. Уравнение же для оператора электромагнитного поля A(t, r) очевидно из соответствия с классическим случаем. В этом слу- чае (большие числа заполнения — см. § 5) после усреднения по состоянию поля операторное уравнение должно перейти в клас- сическое уравнение Максвелла для потенциалов C0.2) (см. II). Поэтому ясно, что уравнение для оператора просто совпадает по форме с уравнением Максвелла, т. е. (при произвольной кали- бровке) имеем ж), A02.6) где jb'(х) = ф(х)^ф(х) — оператор тока, тождественно удовле- творяющий уравнению непрерывности диТ(х) = 0- (Ю2.7) 510 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI Существенно, что уравнения A02.6) линейны по А^ и/, и потому не возникает вопрос о порядке следования этих операто- ров. Как и аналогичные уравнения для волновых функций, си- стема операторных уравнений A02.6),A02.7) инвариантна отно- сительно калибровочного преобразования ^ ^ (lOz.oj ф(х) - {){) где х(х) ~ произвольный эрмитов оператор, коммутирующий (в один и тот же момент времени) с ф . Установим теперь связь между операторами в гейзенбергов- ском представлении и в представлении взаимодействия. Для упрощения рассуждений удобно сделать формальное предполо- жение (не сказывающееся на окончательном результате), что вза- имодействие V(t) адиабатически «включается» от t = — оо к ко- нечным временам. Тогда при t —>> — оо оба представления гейзен- берговское и представление взаимодействия — просто совпадают. Совпадают и соответствующие волновые функции системы Ф и $int: Ф1п4(* = -оо) = Ф. A02.9) С другой стороны, волновая функция в гейзенберговском представлении от времени вообще не зависит (вся временная за- висимость перенесена на операторы), а в представлении взаимо- действия для зависимости волновой функции от времени имеем, согласно G2.7), $int(<) = S(t, -оо)Ф^(-оо), A02.10) где введен оператор 5(t2, h) = Texp j-i Г V{t')dA A02.11) с очевидными свойствами t, h)S(tu t0) = 5(t, t0), S-\t, h) = S(tu t). A02.12) Сравнив формулы A02.10) и A02.9), найдем соотношение Sint(*) = S(t, -оо)Ф, A02.13) Подчеркнем, что здесь идет речь именно о гейзенберговских ^-операто- рах. В представлении взаимодействия калибровочное преобразование элек- тромагнитных потенциалов вообще не затрагивает ^-операторов. § 103 ТОЧНЫЙ ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР 511 устанавливающее связь между волновыми функциями в обоих представлениях. Соответственно формула преобразования опе- раторов: г) = S\t, -oo)^int(t, r)S(t, -ос) = = 5(-оо, t)^int(t, rM(t, -oo) A02.14) (то же самое для ф и А). Сделаем в заключение еще одно общее замечание. Мы уже неоднократно указывали, что в релятивистской квантовой тео- рии физический смысл операторов поля весьма ограничен из-за бесконечности нулевых флуктуации. Это тем более относится к операторам в гейзенберговском представлении, которые факти- чески содержат в себе еще и расходимости, связанные с взаимо- действием. В этой главе § 102,109 посвящены изложению фор- мальной теории, в которой вопросы устранения этих бесконеч- ностей не обсуждаются и действия со всеми величинами произ- водятся так, как если бы они были конечными. Получаемые та- ким образом результаты имеют преимущественно эвристическую ценность: они позволяют более глубоко уяснить смысл разложе- ний теории возмущений; возможно также, что они сохранятся в каком-то виде и в будущей теории, свободной от нынешних за- труднений.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Операторы полей в гейзенберговском представлении» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Сразу же отметим, 