Пусть dao — сечение некоторого процесса рассеяния заряжен- ных частиц, который может сопровождаться излучением опре- деленного числа фотонов. Наряду с этим процессом рассмотрим также и другой процесс, отличающийся от первого лишь испус- канием одного дополнительного фотона. Если частота ио этого фотона достаточно мала (соответствующие условия будут сфор- мулированы ниже), то сечение da процесса простым образом свя- зано с d<jQ. Действительно, при малых da$ можно пренебречь обратным влиянием испускания этого кванта на процесс рассеяния. Други- ми словами, сечение da может быть представлено в виде произ- ведения двух независимых множителей: сечения da$ и вероятно- сти dw испускания одного фотона при столкновении. Испускание мягкого фотона — процесс квазиклассический; поэтому его веро- ятность совпадает с классически вычисленным числом испущен- ных при столкновении квантов, т. е. с классической интенсив- ностью (полной энергией) излучения dl, деленной на w(= Hui). Таким образом, . (98.1) Покажем, как эта формула может быть получена по общим правилам диаграммной техники (J. M. Jauch, F. Rohrlich, 1954). Диаграммы процесса с дополнительным фотоном получаются из диаграмм основного процесса путем добавления внешней фотон- ной линии, «ответвляющейся» от какой-либо (внешней или вну- тренней) электронной линии, т. е. путем замены кг* \ (98.2) р-к р Легко видеть, что основную роль будут играть диаграммы, полу- чающиеся такой заменой во внешних электронных линиях. Дей- ствительно, если р — импульс внешней линии (р2 = т2), то при § 98 ИЗЛУЧЕНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ 483 малых к будет также и (р — кJ ~ т2, т. е. добавляющийся в диаграмме множитель G(p — к) будет находиться вблизи своего полюса. Для линии начального электрона р замена (98.2) сводится к замене в амплитуде реакции: и(р) —>> evA7rG(p — к)(/уе*)и(р) = (р — кJ — т2 2(рк) Заметив, что GР)Gе*) = 2^е* - Gе*)GР)? ipu(p) = ти(р), получим правило замены в виде и(р) -+ -ел/^^-иЬ). (98.3) (рк) Аналогичным образом для линии конечного электрона р' замена на диаграмме X р р -\-к означает замену в амплитуде: и(р) -+ еуДкп(р')^-1. (98.4) (р'к) Во всех остальных частях диаграммы можно вообще прене- бречь изменениями импульсов линий, связанными с испускани- ем фотона к. При этом подразумевается, что энергия фотона ио во всяком случае мала по сравнению с энергиями всех частиц, участвующих в реакции (в том числе по сравнению с энергиями излучаемых жестких фотонов, если таковые имеются). Пусть для определенности сечение dao относится к рассея- нию электрона на неподвижном ядре (с возможным излучени- ем жестких фотонов). Амплитуда этого процесса, который мы условно назовем упругим, имеет вид } =п(р')Ми(р). Произведя в ней один раз замену (98.3), а другой раз (98.4) и сложив результаты, получим амплитуду тормозного излучения тех же жестких фотонов и мягкого фотона к х) : ) (98.5) Обратим внимание на то, что появление разности в этой формуле явля- ется естественным результатом калибровочной инвариантности; амплитуда реакции не должна меняться при замене 4-вектора поляризации е —»¦ е + + const • к. 16* 484 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Соответственно сечение da = dayup (р'е) (ре) 2 dsk (р'к) (рк) BttKcj Просуммировав по поляризациям фотона /с, получим da = —е р р 2 ds dsk (98.6) (98.7) (p'jfe) (р/с) Выраженная через трехмерные величины, эта формула имеет вид х) , / fv'nl fv'nl \ dudok j /no оч da = a[— — — -) -daYUr>. (98.8) Vl-v'n l-vn/ 4tt2cj ynp' V J где n = k/o;, a v и v7 — начальная и конечная скорости электро- на. Мы видим, что выражение, стоящее перед dayupi действи- тельно совпадает с (деленной на ио) классической интенсивно- стью излучения (ср. II, F9.4)), как и утверждалось в формуле (98.1). Условие применимости полученных формул требует также, помимо малости ио по сравнению с ?, чтобы передача импульса ядру q была велика по сравнению с изменением Jq этой величи- ны, связанной с испусканием мягкого фотона. Имеем ?q = (р7 - р - к) - (р7 - р)^=о = Spr - к, причем де v а |к| = ио. В нерелятивистском случае (v<l) получаем поэтому условие о;/|ф < 1. (98.9) При рассеянии на кулоновом (и вообще на медленно спадающем с расстоянием) потенциале |q| ~ 1/р (р — прицельное расстоя- ние), так что это условие можно представить и в виде о;т < 1, где т ~ p/v — характерное время столкновения. В ультрарелятивистском случае фотоны излучаются в основ- ном в направлениях вблизи v или v7 (как это видно из знамена- телей в (98.8)). Если угол в рассеяния электрона мал, то направ- ления всех трех векторов р, р7, п близки друг к другу. Тогда Для ее вывода удобно вернуться к (98.6), положив р = (е, ev), рк = еиA — vn), ... , е = @, е) и произведя заново суммирование по поляризациям с помощью D5.4а). § 98 ИЗЛУЧЕНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ 485 и поскольку |q| ~ ев, мы получаем условие #> - —. (98.10) ? ?2 Ввиду квазиклассического характера формул (98.5)-(98.8) они справедливы для излучения любыми заряженными части- цами (не обязательно электронами, для которых был проведен вывод). В общем случае, когда в реакции участвует несколько таких частиц, формула (98.5) должна быть записана в виде (98.11) где суммирование производится по всем частицам (с зарядами Ze)] соответствующим образом меняются и формулы (98.6)- -(98.8). В частности, в нерелятивистском случае Mfi = M(*np)e-^Y1 z{y' - v)e*- (98Л2) Для двух частиц эта формула принимает вид Mfi = (98.13) / / \ 17111712 q = m(v — v), m = , 777-1 H~ ТП2 где v и v7 — относительная скорость частиц до и после столкнове- ния. Интегрируя квадрат |Му^|2 по направлениям вылета фотона и суммируя по направлениям его поляризации, получим отсюда нерелятивистское спектральное распределение излучения в виде da = d 2е2 / Zi Z2y 2du -— — - — ) q —. Зтг \mi rri2/ uo Полученные результаты обобщаются на случай одновременного излучения нескольких мягких фотонов. Для каждого из фото- нов в амплитуду Mfi добавляется свой множитель того вида, который стоит при М^пр) в (98.5). В этом легко убедиться непо- средственно, скажем, на примере двух фотонов. Линии обоих ис- пускаемых фотонов должны добавляться на внешних электрон- ных линиях, причем в двух различных последовательностях, т. е. диаграмма с внешней линией р заменяется двумя диаграммами с линиями \ \ или \ \ 486 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Каждая из них содержит множитель (знаменатели электронных пропагаторов) 11 11 или + (pfe)) 2(pfci) 2((ркг) + (pfe)) 2{рк2) Их сумма равна ¦2(pfc2)' т. е. содержит произведение двух независимых множителей, от- вечающих первому и второму фотону. После этого в сумме всех диаграмм члены собираются (в силу калибровочной инвариант- ности) в произведение разностей fjp'el) _ (реЩ ((Р^Ц _ МП \(pfki) (pki)) V (р'к2) (рк2) J Соответственно факторизации амплитуды разбивается на множители также и сечение процесса. Таким образом, мягкие фотоны испускаются независимо. Сечение процесса с испускани- ем п мягких фотонов может быть представлено в виде da = dayupdw\ ... dwn, (98.14) где dw\, dw2-) • • • —вероятности отдельного испускания фотонов dk\, dk2-) ... При интегрировании этой формулы по конечному интервалу значений переменных (частот и направлений), одина- ковому для всех квантов, должен быть введен множитель 1/п!, учитывающий тождественность фотонов. Если проинтегрировать сечение излучения (98.1) по частотам в некотором конечном интервале от ио\ до 6^2, то мы получим выражение вида da ~ a In— dayup (98.15) (ср. (98.8)). При этом подразумевается, что обе частоты мягкие, так что возможные значения ио2 ограничены условием приме- нимости метода. С логарифмической точностью, однако, можно положить U02 ~ ?, где е — начальная энергия излучающей ча- стицы. Значения же ио\ вообще ничем не ограничены снизу. Но устремив ио\ к нулю, мы увидим, что сечение излучения всех воз- можных мягких квантов обращается в бесконечность. Выясним смысл этой ситуации — так называемой инфракрасной катастро- фы (F. Bloch, A. Nordsieck, 1937). При a In— > 1 (98.16) будет da > dayup. Но это означает неприменимость теории возму- щений — невозможность вычислять da как величину более высо- кого порядка малости, чем dayup. Другими словами, параметром § 98 ИЗЛУЧЕНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ 487 малости должно считаться в данном случае не а, а произведение l(/) Таким образом, вывод формул (98.5),(98.6) на основе теории возмущений оказывается неверным при достаточно малых ча- стотах. С другой стороны, классическая формула для интенсив- ности dl (см. II, F9.4)) применима в тем большей степени, чем меньше ио. Поэтому формула (98.1) останется правильной, если несколько видоизменить ее смысл в сторону большей классично- сти. Именно, в (98.1) подразумевалось, что излучается один фо- тон; тогда теряемая частицей на излучение энергия совпадает с ио и «сечение относительной потери энергии» дается выражением coda /б, или dayup^-. (98.17) В действительности же при достаточно малых ио вероятность из- лучения не мала, а вероятность излучения двух и более фото- нов не меньше, а больше вероятности излучения одного фотона. В этих условиях выражение (98.17) останется справедливым, но классическая интенсивность dl будет определять не вероятность излучения одного фотона, а среднее число излученных фотонов dn = —, (98.18) или в конечном интервале частот п= [ —. (98.19) J и UJ=UJl Поскольку мягкие фотоны излучаются статистически незави- симо (это справедливо во всех приближениях теории возмуще- ний), к процессу множественного излучения можно применить формулу Пуассона: вероятность w(n) излучения п фотонов вы- ражается через среднее число п формулой w(n) = — ехр(-га). (98.20) п! Представим сечение процесса рассеяния с излучением фото- нов в виде da = dayup -w(n). (98.21) Поскольку ^2w(n) = 1, то dayup представляет собой полное се- чение рассеяния, сопровождаемого любым мягким излучением. Это обстоятельство, очевидно из классического рассмотрения; по теории же возмущений dayup есть сечение чисто упругого рассея- ния. Но теория возмущений здесь неприменима. Получается так, 488 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X что rf(jynp, вычисленное по теории возмущений как сечение упру- гого рассеяния, в действительности учитывает излучение любых мягких фотонов. Что же касается сечения чисто упругого рассе- яния, то оно в действительности равно нулю: при ио\ —>> 0 среднее число п —>> оо, и согласно (98.20) обращается в нуль вероятность излучения любого конечного числа фотонов х) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Излучение мягких фотонов при столкновениях» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Обратим внимание на то, что появление разности в этой формуле явля- 