Тормозное излучение электрона на электроне в ультрарелятивистском случае
Тормозное излучение электрона на электроне изображается восемью диаграммами Фейнмана: четырьмя диаграммами I , I Pi< '< |< Pi РК |< k Pi (97.1а) I I Р2 < к Р2 Р2 < к Р2 РК |< Pi Р2< '< |< Р2 (97.16) и четырьмя «обменными» диаграммами, получающимися из изо- браженных перестановкой р[ и р'2. Мы приведем здесь результа- ты вычислений для ультрарелятивистского случая (G. Altarelli, F. Buccella, 1964; В. Н. Байер, В. С. Фадин, В. А. Хозе, 1966) х). В лабораторной системе отсчета (система покоя одного из начальных электронов,—скажем, второго) интегральное по на- правлениям фотона сечение излучения может быть представлено в виде суммы da = da^ + da^2\ где -l] fln^^^ - IV (97.2) Соответствующие вычисления можно найти в указанной на с. 454 книге Байера, Каткова и Фадина. 478 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X 2 2'mduj Г (л т . т2 \ -, 2е о . 2т Ът2 ^ т = -art { 4 - — + In—-2 + — \ ио > —; 3 е и2 IV cj 4aW m uj 8а;2 J 2' ( uj I V m m2 J uj г2 3m 4a;] ?тг2 - » + ^) In* - (l - *±) Infl - ^) х 2 J V [?тг3 ?тг2 3m o ,4a;] ?тг2 3?тг o 2cj 4cj2 — ~r — Л ~r — — ~r — Л ~r — — 4cj3 2cj2 uj m J 2cj2 uj m m2 ^ m ^ —5 2 (97.4) (б —начальная энергия первого электрона). Точность этих формул —до членов относительного порядка т/е. С этой точностью оказывается, что вклады в сечение от различных диаграмм не интерферируют друг с другом, и в этом смысле da^ и da^ отвечают излучению каждым из двух элек- тронов — соответственно быстрым электроном и электроном от- дачи (диаграммы (97.1а) и (97.16)). Диаграммы обменного типа дают такой же вклад в сечение, как и диаграммы «прямые». В силу тождественности электронов суммарный вклад прямых и обменных диаграмм следует разде- лить на 2; поэтому можно рассматривать только вклад прямых диаграмм и не учитывать тождественности частиц. Для столк- новения же электрона с позитроном вместо обменных фигури- руют аннигиляционные диаграммы. Их вклад, однако, оказыва- ется относительного порядка т/е, т. е. пренебрежем. Поэтому с указанной точностью сечения тормозного излучения при столк- новениях электрона с электроном и с позитроном одинаковы. При uj ^> m отношение da^ т „ л ~ — < 1, сЫ1) uj ' т. е. излучение электроном отдачи мало по сравнению с излуче- нием быстрым электроном (когда это отношение достигает по- рядка т/е, формула (97.3), разумеется, теряет смысл). Напро- тив, при ио <^т обе части сечения почти сравниваются: 7 (I) 16 2duj л 2е2 1 16 2duj л г .. /п^ г\ doK > = — аге— In —, doK > = — are— In -, ио < т. (97.5) 3 uj muj 3 uj uj Для справедливости формул (97.2)-(97.5) необходимо, чтобы хоть один из электронов после излучения оставался ультраре- лятивистским. Другими словами, частота фотона должна быть достаточно далека от жесткой границы спектра, т. е. от макси- мальной частоты о;тах, которая может быть излучена. Конечная энергия электронов будет минимальна, а энергия фотона мак- симальна, когда оба электрона движутся после излучения в на- правлении фотона и имеют одинаковые скорости. Тогда из зако- нов сохранения имеем е + т = o;max + 2ej\ |р| = о;тах + 2|р7 . § 97 ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА ЭЛЕКТРОНЕ 479 Исключив отсюда е' и р', получим (е + т- о;тахJ - (|р| - о;тахJ = 4т2, откуда т(е — т) Гг.^ гЛ ^тах = Г7- (97.6) т + ?-\р\ При е ^> т имеем a;max ~ ?• Таким образом, формулы (97.2)- (97.4) справедливы при условии <^тах — оо ~ е — а; > га (97.7) Сечение излучения быстрым электроном (97.2) в точности совпадает с сечением излучения электрона на ядре с Z = 1 (фор- мула (93.17)). Это совпадение не случайно, и его причины выяс- няются из анализа роли отдачи в процессе излучения. При выводе формулы (93.17) мы пренебрегли отдачей не- подвижной частицы (ядра) — изменили ее постоянным внешним полем. Это сводится к пренебрежению временной компонентой 4-вектора передачи импульса q = р' — р + к (энергией отдачи). Покажем, что в ультрарелятивистском случае, такое пренебре- жение допустимо при излучении электроном не только на ядре, но и на электроне. Напишем q2 в виде _д2 = _(?' + ц, - еJ + (р[, + и> - рцJ + (р'± - piJ, (97.8) где нижние индексы указывают компоненты векторов р' и р (начальный и конечный импульсы электрона), параллельные и перпендикулярные направлению фотона к. В ультрарелятивист- ском случае углы в ж в1 (между к и соответственно рир') малы: в < га/е, в1 < т/е1. Поэтому |P±| ~ W ~ т, щ « |р| - ^ « в - ? - Hi, (97.9) и аналогично для р7±, р!.. Без учета отдачи имеем е1 -\- ио — е = 0, разность р|. + ио — — Р\\ ~ га2/б, так что V«(p'±-P±J~m2. (97.10) Энергия отдачи (на электроне): q0 = е' + о; - ? ~ q2/Bm) ~ m. (97.11) Изменением ж:е р7^ из-за изменения е' можно пренебречь. По- этому первые два члена в (97.8) дают изменение q2 при учете 480 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X отдачи; обозначим его через Aq2. Используя (97.9), получаем /2 /2 2 2 \ л 2 //, \ I ТП Р I , Wi . р | \ Aqz & (е +ш-е)[ -— - *-^ + — + — v '\ г' г' е е ) т —. е Сравнив с (97.10), мы увидим, что Ад2 <С |д2|, чем и оправдыва- ется пренебрежение отдачей х) . Тот факт, что быстрая частица излучает в узкий конус (с уг- лом раствора ~ т/е) в направлении своего движения, позволя- ет получить сечение излучения в системе центра инерции путем простого пересчета сечения (97.2) из лабораторной системы 2) . В системе центра инерции оба электрона излучают одинако- во, каждый в направлении своего движения (это обстоятельство наглядно объясняет причину отсутствия интерференции меж- ду излучениями обеих частиц). Энергия ультрарелятивистского электрона в системе центра инерции связана с его энергией е в лабораторной системе соотношением 2Е2 = те, а частоты О и а; фотона в этих системах — соотношением ио/е = ft/E (эти равен- ства легко получить, сравнивая значения инвариантов (ргръ) и (pik) в обеих системах). Поэтому для сечения излучения каждым из электронов и системе центра инерции находим -2-] fin ^E -")-!). (97.12) 3l\ 2п 2/ V J [ + Q E lE-U E Для применимости (97.12) также необходимо, чтобы частота фотона не была близка к границе спектра. Для ультрареляти- вистской частицы указанное выше преобразование прямо дает /е « Е. (97.13) Таким образом, в системе центра инерции электроны могут из- лучить лишь половину своей полной энергии 2Е. Прямое вы- числение Отах легко произвести, заметив, что после излучения такого фотона электроны будут двигаться (в той же системе) с одинаковыми скоростями в направлении, обратном направлению фотона. Имеем 2Е = 2Е + Отах, 2|р | = Это заключение, разумеется, тем более справедливо для излучения элек- троном на ядре, для которого энергия отдачи go ~ q2/BM) ~ т2/М, где М — масса ядра. 2) В общем случае такой пересчет невозможен, поскольку вклад в спектр в заданном интервале частот duo возникает от фотонов, излученных в суще- ственно различных направлениях. § 97 ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА ЭЛЕКТРОНЕ 481 откуда ^ ^ (97.14) т Е и в ультрарелятивистском случае снова получаем (97.13). Таким образом, формула (97.12) применима при условии 0тах -0~?-0>га. (97.15) Приведем теперь формулы для излучения в системе центра инерции в обратном предельном случае, вблизи границы спек- тра, когда х) Omax-O<m. (97.16) Поскольку в этом случае отдача весьма существенна, результаты отличаются от случая рассеяния на неподвижном центре и ока- зываются различными для электрон-электронного и электрон- позитронного рассеяния {В. Н. Байер, В. С. Фадин, В. А. Хозе, 1967). В случае рассеяния электрона на электроне, кроме квадра- тов диаграмм (97.1), вклад в сечение излучения вблизи границы спектра дают также произведения (интерференционные члены) прямых и обменных диаграмм, в которых излучает одна и та же начальная частица, например произведение второй из диаграмм (97.1а) и диаграммы I Р2< [< '< Р1 Это связано с тем, что вблизи границы конечные частицы имеют близкие импульсы и нет причин для малости обменных членов. Окончательный ответ для сечения: da = 2ar^Q--^1/2^L. (97.17) ГП Qmax При рассеянии электрона на позитроне логарифмически боль- шой вклад в сечение излучения вносят квадраты аннигиляцион- ных диаграмм, в которых излучают начальные частицы: А^ Ж /с -р+^1—^ Р- -Р+< j-X—P- (97.18) Разумеется, полученный в борновском приближении результат приго- ден, как обычно, лишь до тех пор, пока относительная скорость конечных электронов велика по сравнению с а. В противном случае следует учитывать взаимодействие частиц в конечном состоянии. 16 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY 482 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X С нелогарифмической точностью существенны также и квадра- ты других диаграмм. Интерференционные же члены малы. Окон- чательный ответ: da = 2агв2^--^/(Ь^ + l)^-. (97.19) Таким образом, излучение при электрон-позитронном рассеянии логарифмически велико по сравнению с излучением при элек- трон-электронном рассеянии.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Тормозное излучение электрона на электроне в ультрарелятивистском случае» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Соответствующие вычисления можно найти в указанной на с. 454 книге 
16 2duj л г .. /п^ г\ 