Точная теория тормозного излучения в ультрарелятивистском случае
Матричный элемент для тормозного излучения Mfi = I ^(аеЧе-^р^я; (96.1) волновые функции начального (б, р) и конечного (б7, р7) элек- тронов содержат в своих асимптотиках соответственно выходя- щую и входящую сферические волны. Вычисление этого инте- грала аналогично вычислению матричного элемента (95.2). Мы, однако, изложим здесь другой способ вычисления сечения тор- мозного излучения, основанный на квазиклассичности процесса и не использующий явного вида волновых функций электрона в поле ядра; в этом смысле метод не связан с конкретным видом потенциала поля (В. Н. Байер, В. М. Катков, 1968). В процессе тормозного излучения ядро передает электрону и фотону импульс q = р7 + к — р. Как и в задаче о рождении нар, надо различать две области значений передачи импульса q^, поперечной по отношению к р: I) rn > q± > иот2/е2, II) q± - иот2/е2 < га. (96.2) Очевидно, что в области I сечение испускания фотона дается своим борновским значением: для таких q^ изменение импульса отдачи ядра при излучении несущественно, как это будет пока- зано в § 98 (см. вывод условия (98.10)). Поэтому в области I се- чение процесса равно произведению точного сечения рассеяния электрона в поле неподвижного ядра и вероятности испускания фотона, не зависящей от вида поля. Но согласно (80.10) сече- ние рассеяния в кулоновом поле для малых углов совпадает со своим борновским значением. То же самое относится поэтому к сечению всего процесса в области I. Таким образом, требует особого рассмотрения только область П. Малым передачам импульса отвечает прохождение электро- на мимо ядра на больших прицельных расстояниях: р ~ l/q±_ ^ ^ б/га2.Но на таких расстояниях движение электрона заведомо § 96 ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 471 квазиклассично, в чем легко убедиться простым применением обычного условия квазиклассичности D6.7) (см. III)к ультраре- лятивистскому уравнению C9.5). Квазиклассичность движения позволяет применить метод, использованный уже в § 90 для магнитотормозного излучения. При этом выражение (90.7) в данном случае представляет собой вероятность испускания при однократном прохождении электро- на мимо ядра. Для фигурировавшей в § 90 функции L остается в силе фор- мула (90.18); единственное отличие состоит в форме квазиклас- сической траектории электрона г = г(?), по которой вычисляется разность Г2 — ri. На больших прицельных расстояниях поле ядра можно счи- тать слабым. В нулевом приближении траектория представляет собой прямую, проходящую на расстоянии р от центра. В следу- ющем приближении имеем уравнение движения (ср. I, § 20) dp _ _pd? dt r dr где р — вектор в плоскости жу, перпендикулярной начальному импульсу электрона, а в качестве г в правой стороне уравнения следует взять функцию нулевого приближения: Следовательно, |^. (96.3) С достаточной точностью скорость v(t) = p(t)/e (где энергия е зависит только от величины, но не от направления р) можно считать постоянной. Еще одно интегрирование дает тогда t r(t) - ri = vi (t -h)-\ JW) - Pi]dtf. (96.4) h Положим t\ = —oo, так что величины pi = p(—oo) = p и v = p/e будут начальными импульсом и скоростью электрона. Представим вероятность (90.7) в виде (96.5) гДе ЛТГ Г г F л а(р) = е\ — / R(t) ехр< г — [out — kr(t)J >at, (96.6) V cj y L e' J — oo R(t) = -pz ae )-t^=, 472 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X здесь е1 = е — со, р'(?) = р(?) — к. Классическая функция р(?) дается формулой (96.3). Если р — начальный импульс электрона, то для кулонова поля (U = — vjr, v = Za) имеем Введя передачу импульса в классическом рассеянии А = р(оо) - р(-оо) = -2ри/р2, (96.7) можно переписать эти формулы как (96. Используя теперь формулу (90.20) для R(t) и выражения (96.8) для p(t) и r(t), мож:но произвести интегрирование по вре- мени в (96.6). Оно осуществляется введением переменной ?' вместо t и использованием формулы оо = 2гХК1(Х), где Xi — функция Макдональда. В полном проведении этого вы- числения, однако, нет необходимости, поскольку нам требуется выражение а(р) лишь для малых значений независимого пара- метра А(А ^С га). В этом случае находим а(р) = w*fT>Wi • Ax^i(x), (96.9) где UJS n = k/o;, a D — некоторая функция р, е и к (но не р), причем ее точный вид несуществен х) . Поскольку в ультрарелятивистском х) Спиноры Wi и Wf можно считать при интегрировании постоянными, т. е. можно пренебречь изменением поляризации электрона при его классическом ультрарелятивистском движении. Это следует из уравнений, полученных в 5 41. § 96 ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 473 случае фотон испускается под малым углом в к направлению скорости электрона, имеем X ~ P — L ИЛИ Х = Р A + d), d = —. (96.10) Уже было упомянуто, что (96.5) есть вероятность испускания фотона при однократном прохождении электрона мимо ядра на прицельном расстоянии р. Сечение испускания фотона с задан- ными частотой и направлением получается умножением этой ве- роятности на dpxdpy/v « dpxdpy = d2p и интегрированием по прицельным параметрам: ,я, Г 12р. (96.11) Не следует, однако, думать, что эта формула без интегрирова- ния no d2p дала бы также и распределение конечных электронов по направлениям. Отклонение электрона при его движении по классической орбите однозначно определяется внешним полем и заведомо не совпадает с неопределенным квантовомеханическим отклонением (а предельное значение р;(оо) классической функ- ции p'(t) не совпадает поэтому с реальным конечным значени- ем импульса электрона). Для нахождения этого распределения необходимо, следовательно, переразложить волновую функцию электронов по плоским волнам. Как видно из (96.11), а(р) есть амплитуда испускания фото- на при столкновении на прицельном расстоянии р. Но выраже- ния (96.5),(96.6) определяют эту амплитуду лишь с точностью до фазового множителя. Последний есть, очевидно, е~гкр, —ввиду наличия не зависящего от времени члена r±(oo) = p в г(?), этот постоянный множитель должен присутствовать в Vfi(t) и может быть вынесен из-под знака интеграла. Поскольку он не является оператором, он не затрагивается операциями коммутирования и, таким образом, амплитуда процесса испускания есть e~ikf)a(p), (96.12) где а(р) дается выражением (96.9). Пусть электрон описывается при z —>• — оо плоской волной с импульсом р, направленным вдоль оси z. Это значит, что вол- новая функция электрона при 2: Ч -оо не зависит от ж и у и сводится к постоянной, которую можно положить равной 1. 474 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Тогда волновая функция электрона, прошедшего через поле, при z —>> оо равна ф(оо) = S(p) = expj-i Г U(x, у, z)dz\. (96.13) С другой стороны, по смыслу амплитуды перехода (96.12) волно- вая функция электрона, прошедшего через поле и испустившего фотон, есть е-»к*а(р)ЗД. (96.14) Амплитуда же процесса испускания фотона, в котором электрон остается в состоянии с определенным импульсом р7, дается соот- ветствующей фурье-компонентой функции (96.14), т. е. = fe , (96.15) д q_L — поперечная компонента вектора передачи импульса яд- ру (ср. III, A31.7)). Сечение же рассеяния с заданным значением есть 3 2 Вычислим теперь S(p). В рассматриваемом случае кулонова поля интеграл в экспоненте расходится, в соответствии с расхо- димостью фазы в кулоновом рассеянии. Поэтому интеграл надо брать между конечными пределами: R R j Udz = -2v f d2Z = -2u[\n(R + y/Ri + p2) - \np] -R -R (i? ^> p). Первый, постоянный, член не существен, так что S{p) = exp(-2iu\np) = p~2iv. (96.17) Подставляя (96.9), (96.17) в (96.15) и интегрируя по направ- лениям вектора р в плоскости жу, находим (96.18) 1)Ср. Ill, A31.4). Мы имеем при этом в виду аналогию между уравне- нием C9.5) (в котором полагаем р2 и г2) и нерелятивистским уравнением Шредингера C9.5а). Учитывая различие коэффициентов в этих уравнени- ях, легко видеть, что в нашем случае условие A31.1) (см. III) применимости уравнения A31.4) (см. III) действительно удовлетворяется. Тот факт, что эта формула не относится к области сколь угодно больших г, не существен по тем же причинам, что и в III, § 131. 96 ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 475 где J\ — функция Бесселя. Множители, не содержащие v = здесь не выписаны. Мы видим, что зависимость амплитуды a(q±) (а следователь- но, и сечения (96.16)) от v содержится в отдельном множителе. С другой стороны, при v —>• 0 сечение должно стремиться к своему борновскому значению. Поэтому ясно, что сечение будет отли- чаться от борновского лишь множителем, который не зависит от поляризации электрона и не влияет на поляризационные эффек- ты. Интеграл (96.18) может быть выражен через гипергеометри- ческую функцию с помощью формулы оо х К i (ax) Ji(bx)xdx = о _ ЪГB - А/2)ГA - А/2) Л Ъ2 \ ~1+Х/2 р ( A j_A 2 б2 Это дает ( n\2iv a(q_0 ос i/(l - ii/) f ^J Г2A - iv)F(iv, 1 - гг/, 2, ^), (96.19) где ^ = 1- ^'jl+E2J, ?=—; (96.20) здесь использовано, что в области II (см. (96.2)) параллельная р компонента вектора q равна (96.21) В этом легко убедиться, если учесть, что в указанной области углы между импульсами р, р' и к удовлетворяют условиям (93.15). Гипергеометрическая функция в (96.19) может быть сведена к функции F(z) (95.15) с помощью формулы F(a, Ъ + 1, с + 1, *) = —F(a, 6, с, *) + gl—?Ы(а, 6, с, ^). с — а о(а — с) Окончательный результат представится тогда в виде da = daBj^ [f2(z) + i^-F'2(z)], (96.22) где dGB — борновское сечение (93.13) (Н. A. Bethe, L. Maximon, 1954). При q ^> т? /е имеем z ~ 1, так что весь коэффициент 476 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X при с1ав стремится к единице. В этом смысле формула (96.22), выведенная для области II, автоматически справедлива при всех q < т. Когда q < т2/е и поправочный множитель в (96.22) отличен от единицы, векторы р, р7, к почти компланарны и величины 6 и 81 почти равны друг другу; это уже было учтено в (96.22). Таким образом, q в выражении (96.20) для z может быть переписано как t = 82 + 8'2 - 258' costp + ^4A + 82)\ (96.23) т As2s' т. е. можно положить 6 = 81 во втором члене в (93.14), но не в пер- вом члене, который не содержит малого коэффициента {~т2/е2). Для нахождения интегрального (по углам) сечения излуче- ния нет необходимости производить интегрирование заново, как это ясно из следующих рассуждений (Н. Olsen, 1955). Различные направления р7 (при заданной энергии е') отвечают вырождению конечного состояния электрона. Очевидно, что результат сумми- рования по состояниям, относящимся к одному вырожденному уровню, не зависит от того, каким образом будет выбран пол- ный набор этих состояний. Мы можем поэтому воспользоваться для целей суммирования по направлениям р7 системой функций Vvp/ вместо системы ф?,1 (необходимой для вычисления диф- ференциального сечения), т. е. определить матричный элемент тормозного излучения как Легко убедиться, что этот интеграл совпадает с интегралом GVf?ap)*, если в последнем заменить параметры волновых функ- ций согласно р+, _р+, ?+ ->> -р, —р, -е; р_, _р_, е- -> р7, _р7, ?7; к ->> -к (а также заменить переменные интегрирования: г —>> —г). Отсюда ясно, что интегральное (по углам) сечение тормозно- го излучения можно получить из интегрального сечения образо- вания пары (95.20), умножив последнее на cj2 duo ^ ш2 duo Р2+ и ?+ ?+ (ср. (91.6)) и заменив ?+ —)> —?, ?_ —)> е'. Таким образом, найдем л л г?2 2s'\e' . е 2] Г, 2ее' 1 ?( ^\1 duo mr ъл\ da = AZ arp— — + — — - In — - — f(aZ)\ —. (96.24) e sis s' 3ll тш 2 J V J\ и V J § 97 ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА ЭЛЕКТРОНЕ 477 Мы видим, что поправки к борновским формулам для инте- гральных сечений тормозного излучения и образования пары да- ются одной и той же функцией f(aZ). Формула (96.24), не связанная с какими-либо ограничения- ми на величину Za, допускает переход к классическому пределу К —>• 0, Za —>• оо. В этом пределе надо также положить е ~ е . Имея в виду асимптотическое выражение Ф(^) ~\ylz при \z\ —>• —>• оо и значение Ф(/) = —С (С— постоянная Эйлера), находим для эффективного торможения "e2 fin 2g2 - I - с] duo. (96.25) 3c L mauZe2 2 J v J Это выражение, не содержащее й, есть классическое спектраль- ное распределение интенсивности тормозного излучения.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Точная теория тормозного излучения в ультрарелятивистском случае» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
