Точная теория рождения пар в ультрарелятивистском случае
В двух предыдущих параграфах тормозное излучение и ро- ждение пар фотоном в релятивистской области были изучены на основе борновского приближения, для чего во всяком случае требовалось выполнение условия Za <C 1. В § 95, 96 излагает- ся теория этих процессов, свободная от указанного ограничения, т. е. справедливая и при Za ~ 1 (Н. A. Bethe, L. Махгтоп, 1954). При этом предполагается, что обе частицы (начальный и конеч- ный электрон или компоненты пары) ультрарелятивистские; их энергия е ^> га. Мы видели, что в ультрарелятивистском случае обе частицы летят под малыми углами (б, в' или 0_|_, в-) к направлению фо- тона: в ^ те. Такое свойство сохраняется и в точной (по Za) теории, и мы будем рассматривать именно эту область углов. Передача импульса ядру в этой области: q ~ га. Это значит, что в волновых функциях существенны прицельные параметры р ~ 1/(/ ~ 1/га, т. е. «большие» расстояния. На таких расстояни- ях можно пользоваться волновой функцией, полученной в § 39. Изложим соответствующие вычисления для рождения пар. 464 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Сечение рождения пары имеет вид, аналогичный сечению фотоэффекта (ср. E6.1),E6.2)): da = 2тг Bтг)з (95.1) где Mfi = / ф^р_(осе)е1^гф^+_р+($х. (95.2) Здесь фе-р- —волновая функция электрона, а ф_?+_р+ —волно- вая функция с отрицательной энергией (—?+) и импульсом — р+. Функция же фе_р_, относящаяся к частице в конечном состо- янии, должна содержать в своей асимптотике (наряду с плоской волной) сходящуюся сферическую волну; это обстоятельство от- мечено верхним индексом (-) у функции. Согласно C9.10) такая волновая функция х) (95.3) Функция же ф_? р должна содержать в своей асимптотике расходящуюся сферическую волну (индекс (+) сверху), посколь- ку по смыслу она является волновой функцией «начального со- стояния с отрицательной энергией». Волновая функция позитро- на (образуемая из ip-J*p+) окажется при этом со сходящейся волной в асимптотике, как и требуется для конечной частицы. Согласно C9.11) такая функция (95.4) ¦ IV). Отметим, что необходимость учета членов ~ 1/е в (95.3), (95.4) связана с матричной структурой Mfi (95.2). Матричный элемент (ск)у^, есть вектор с направлением, близким к к. Поэтому этом параграфе р± = |р±|, q= |q|. § 95 ТЕОРИЯ РОЖДЕНИЯ ПАР. УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 465 основной член в (ске)у^ оказывается малым, а поправочные чле- ны одного порядка величины с ним. Подставляя (95.3),(95.4) в (95.2) и пренебрегая членами /(_), находим Mfi = ^g (95.5) где N = С(+)С(-} = irv/(shirv), (95.6) /= f e~i(irF*_F+dzx, = -i. f e~icir(VF-)*F+d3x, 2e_ J 1+ = — (95.7) q = p+ + p- - k (F- и F+ — обозначают для краткости гипергеометрические функции, входящие в (95.3) и (95.4)). Сразу же отметим, что интегралы /, I+, 1_ связаны одним тож:деством: из /¦ F, )г16т — 0 имеем q/ + 2б+1+ + 2б_1_ = 0. (95.8) Квадрат |М^| усредняем по поляризациям падающего фо- тона и суммируем по направлениям спинов электрона и позитро- на . Это осуществляется заменой тензора: и биспинорных произведений: ^±iZ± -^ 2р± = (б±7° - Р±7 Т Н- Заменив такж:е о: = 7°Т? найдем |М/ г|2 Вычисления с учетом поляризации всех частиц см. Olsen H., Maximon L.//Phys. Rev. — 1959. — V. 114. — P. 887, а также указанную на с. 454 книгу В. Я. Байера, В. М. Каткова и В. С. Фадина. 466 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Выпишем сразу результат, получающийся после надлежащих пренебрежений, для интересующего нас ультрарелятивистского случая в области малых углов в± ~ т/е < 1. Введем вспомогательные векторы: s± = -(p±U, s± = ?-± (95.9) (95.10) (индекс _L означает составляющую, перпендикулярную направ- лению к). С их помощью ответ записывается в виде |м/г|2 -+ ?L< гт6- ' 2s- }¦ (95.11) Здесь учтено, что / ~ -I± ~ —1± (как это видно из (95.8)), и q m опущены члены более высокого порядка по т/е. Интегралы 1± мож:но представить в виде = I ^— /, I, i(p_r (95.12) Интеграл J выражается через полную гипергеометрическую функцию : 4тг fq2 - =~ 2 q2 \q2 — о ( 2p_q/ - ~ P+P-) 2(p+q)(p-q) (95.13) (g2-2p+q)(g2-2p_q) Дифференцирование по р± должно производиться при заданном параметре q, и лишь затем можно положить q = р+ + р_ — — к. Приведем результат в форме, в которой уже произведены пренебрежения, отвечающие ультрарелятивистскому случаю и условиям (95.9): i+ = —- (95.14) ) Проведение вычислений см. в указанной на с. 438 статье Нордсика. 95 ТЕОРИЯ РОЖДЕНИЯ ПАР. УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 467 si " " 7^~i % -L Ts + S—^ Здесь введены обозначения: (95.15) F(^) = F(-iv, iv, 1, г) —вещественная функция). Интеграл / вычисляется затем прямо из (95.8). Подставив значения интегралов в (95.11), а затем в (95.1), по- лучим искомое дифференциальное сечение. Окончательная фор- мула: ) zare тг V shTTi// g4cj3 5_dS- • d<pde+\F2(z) x x [-2ee (<*? + *f) + w2(S2 + 5)ff + 2F^ + el x J+J.^-cos^] + t-jAfFf2(z)[-2s^Fie+ + 62_?) + 4 ^ - cos ^]}. (95.16) При v -л О 7rz//(sh7rz/) ->> 1, F(^) -^ 1, F\z) ^v2 -^0. Выраж:ение (95.16) сводится при этом, как и должно быть, к фор- муле Бете — Гайтлера (94.3), отвечающей борновскому прибли- жению. Оно сводится к той же формуле также и при произволь- ном v ^ если углы вылета пары удовлетворяют условиям |5+ -5-\ < 1, |тг-<р| < 1. Действительно, при этом q <^ т, так что второй член в фигур- ных скобках в (95.16) может быть опущен ввиду наличия в нем лишнего (по сравнению с первым членом) множителя (q/mL:. В первом же члене имеем (заметив, что A — z) ~ q2/т2 <С 1 х)) F(z) - * ^ F(iv, iv, 1, 1) . . , ГA — IV)T(\ + ZI/) 7Г1/ (95.17) в результате чего сокращается аналогичный множитель перед фигурными скобками. Перейдем теперь к интегрированию сечения по направлениям вылета пары. Это значение функции можно получить из формулы (е. 7) (см. II), свя- зывающей гипергеометрические функции аргументов z и 1 — z. 468 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Интегрирование по углам разобьем на две области, I и II, в которых соответственно 1I ~Z> 1-21, ПI ~Z< 1-21, где z\ —некоторое значение, для которого 1 ^> 1 — z\ ^> (т/еJ. Поскольку в области II 1 — z <С 1, (/ <С ттг , то, согласно ска- занному выше, здесь dcr ~ da^ = dcr^—о, где с/ав — сечение в борновском приближении. Поэтому интеграл по углам : da?+ = I da = da + / da^o = (йае+)в + (da - J Ji Jn Ji (95.18) где (da?+ )в — проинтегрированное по углам борновское сечение (94.5). В области I имеем q2/т2 ~ 8\-\- 82_ -\- 28+8- cos (p. От переменных J+, J_, ур перейдем к переменным ?+, ^_, z. Прямым вычислением якобиана преобразования найдем 8+d8+ • 8_d8_ • dtp ^ g+g~ ^+^-^ ? + + ^ 8m2 ' причем - €-) cos^ Выразив отсюда cos yp и s'mcp и подставив в (95.16), после простых алгебраических преобразований получим = =( 2 72Л.2 \2Z 2mJ3 Наконец, вводим вместо ?_|_, ?_ новые «сферические» перемен- ные Х-) Ф: ?+ + ?- ~ 1 = л/^sin X cos Ф'-> С+ ~ С- = л/1 — 2 sin х sin ф; О ^ X ^ тг/2^ 0 ^ ф ^ 2тг; 95 ТЕОРИЯ РОЖДЕНИЯ ПАР. УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 469 Указанные интервалы изменения х и Ф отвечают изменению ?+, ?_ от 0 до 1, т. е. J+, S- (или, что то же, #+, в-) от 0 до оо; быстрая сходимость интеграла допускает такое расширение обла- сти изменения углов. После преобразования корень в знаменате- ле сводится к y/z(l — z)cosx] интегрирование по dxdip элемен- тарно и дает da = 2А • 2ndz(e2+ е2_ -е+е 3 Л \^& + —Ff2(z)] / L 1 — z v2 J Сюда введен лишний множитель 2, учитывающий тот факт, что интегрирование по z будет производиться от 0 до z\, между тем как при изменении азимута ср от 0 {(„\iiP- до тг и от тг до 2тг каждое значение z проходится дважды. Интегрирование по dz произво- дится с помощью формулы (92.14), которая при v1 = — v (и соответ- ственно вещественной F(z)) имеет вид 1,12 F2 1 d Интеграл от этого выражения равен ziF(zi)F/(zi)/u2. Значение z\F{zi) « F(l) берется из (95.17), а предельное выражение для F'{z\ \ \ \ \ \ \ О 0,1 0,2 0,3 v Рис. 18 1) дастся формулой V где \F'{z) = 1 iu, 2, z) « -[ iu) - iu) - (95.19) Подставив все найденные выраж:ения в (95.18), получим сле- дующую окончательную формулу: da?+ = г_ + 2-е+е 3 / L in - \ - f(aZ)] % 2 J ws (95.20) Вывод этих формул можно найти в приложении к статье Davles H., Bethe H. A., Maximon L. C.//Phys.Rev. — 1954. — V. 93. —P. 788. 470 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Полное сечение образования пары фотоном с энергией ио\ о = — Zzari In— - — - f(aZ)\. (95.21) 9 е L m 42 J V }\ V У Мы видим, что в этих формулах изменения сводятся к вычи- танию из логарифма универсальной функции атомного номера f(aZ). На рис. 18 дан график этой функции. При i/<1 функ- ция /Н « 1, 2zA
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Точная теория рождения пар в ультрарелятивистском случае» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Это осуществляется заменой тензора: 