Согласно классической теории (см. II, § 74) ультрареляти- вистский электрон, движущийся в постоянном магнитном поле Д", излучает квазинепрерывный спектр с максимумом, приходя- щимся на частоту где -) , (90.1) т/ « М^ (90.2) IpI e — частота обращения электрона с энергией е по круговой орбите (в плоскости, перпендикулярной полю) х) . Будем считать, что продольная (вдоль Н) составляющая скорости электрона равна нулю; этого всегда можно добиться надлежащим выбором систе- мы отсчета. Квантовые эффекты в магнитотормозном излучении имеют двоякое происхождение: квантование движения электрона и квантовая отдача при испускании фотона. Последняя определя- ется отношением huo/s, и условие применимости классической теории требует его малости. В этой связи удобно ввести пара- метр Но т где Щ = т2/(\е\П)(= т2с3/\\е\П)) = 4,4 • 1013 Гс. В классиче- ской области х ~ fbuj/e <С 1. В случае х ^ 1 энергия излученного фотона fvuj ~ ?, причем при % 3> 1 (как мы увидим в дальней- шем) существенная область спектра простирается до частот, при которых энергия электрона после испускания е' „ тё± < 6. (90.4) н ) В этом параграфе полагаем с = 1, но сохраняем множители Л. 424 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Для того чтобы электрон оставался ультрарелятивистским, поле должно удовлетворять условию |- « 1. (90.5) Что касается квантования самого движения электрона, то оно характеризуется отношением Hooq/s; Hooq есть расстояние между соседними уровнями энергии при движении в магнитном поле. Поскольку huo_ _ H_ (т\2 е " Но U ) ' то ввиду (90.5) Hujq <С ?, т. е. движение электрона квазиклас- сично вне зависимости от значения х- Другими словами, можно пренебречь некоммутативностью операторов динамических пе- ременных электрона друг с другом (величины « Hujq/s), учиты- вая в то же время их некоммутативность с операторами фотон- ного поля (величины ~ Hujq/s) . Квазиклассические волновые функции стационарных состоя- ния электрона во внешнем поле могут быть представлены в сим- волическом виде ф = {2H)-1'2u{p)eW (-|Я<) р(г), (90.6) где ip® ~ exp(iS/H) —квазиклассические волновые функции бесспиновой частицы (S®) —ее классическое действие); и(р) — операторный биспинор ит= УР) получающийся из биспинорной амплитуды плоской волны и(р) B3.9) заменой р и е операторами 2) 2I/2 р = Р - еА = -ihV - еА, Н = (р2 + ш2) Р — обобщенный импульс частицы в поле с векторным потен- циалом А(г); порядок, в котором стоят операторные множители 1) Полное решение квантовой задачи о магнитотормозном излучении бы- ло дано Н. П. Клепиковым A954), а первая квантовая поправка к клас- сической формуле — А. А. Соколовым, Н. П. Клепиковым и И. М. Тер- новым A952). Излагаемый в этом параграфе вывод, использующий яв- ным образом квазиклассичность движения, принадлежит В. Н. Байеру и В. М. Каткову A967). Аналогичный метод был использован ранее Швин- гером (J. Schwinger, 1967) для получения первой квантовой поправки в ин- тенсивности излучения. 2)В этом параграфе (в отличие от гл. IV) обобщенный импульс обозна- чается прописной буквой Р; обозначение же р применяется для обычного (кинетического) импульса. § 90 МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 425 в Ф, несуществен, поскольку их некоммутативностью мы прене- брегаем; спиновое состояние электрона определяется 3-спинором w). Для вычисления вероятности излучения фотона в квазиклас- сическом случае удобнее исходить не из окончательной формулы теории возмущений D4.3), а из формулы, в которой еще не про- изведено интегрирование по времени. Для полной (за все время) дифференциальной вероятности имеем х) / оо = f Vfi(t)dt (90-7) (ср. III, D1.2)); суммирование производится по конечным состо- яниям электрона. Использовав (90.6), запишем матричный элемент для испус- кания фотона w, кв операторном виде —Ht) ^L H BЯ) (-г«) где в квадратных скобках операторы действуют налево; поле фотона выбрано в трехмерно поперечной калибровке. Множи- тели exp(±iHt/H) превращают стоящие между ними шрединге- ровские операторы в зависящие явно от времени операторы гей- зенберговского представления. Запишем Vfi(t) в виде где Q(t) обозначает гейзенберговский оператор Q(t) = J^(ae*)e-k?W^i^, (90.8) BЯ) V2 v ; BЯ) V2 v J а матричный элемент берется по отношению к функциям cpf, cpi. 1) Подставив Vfi(t) = Vfi получим afi = 27rVfi6(u)fi). Учитывая, что квадрат ^-функции надо пони- мать как \5(ш)\2 -> (t/2jr)*(w), где t — полное время наблюдения (ср. вывод F4.5)), получаем из (90.7) для вероятности в единицу времени формулу D4.3). 426 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Суммирование в (90.7) производится по всем конечным вол- новым функциям cpf] оно осуществляется с помощью равенства выражающего полноту системы функций (ff. В результате полу- чим dw = L-'LJL I dti / dt2 • eiuj{tl~t2)(i\Q+(t2)Q(ti)\i). (90.9) j j Если интегрирование производится по достаточно большому про- межутку времени, можно ввести вместо ?]_, t2 новые переменные и в интеграле по dt рассматривать подынтегральное выражение как вероятность испускания в единицу времени. Умножив ее на Hw, получим интенсивность dl = —2dzk f e-iujT(i\Q+ U+-}qU- -) \i)dr. (90.10) Ультрарелятивистский электрон излучает в узкий конус под углами в ~ m/e относительно его скорости v. Поэтому излуче- ние в заданном направлении п = k/о; формируется на участке траектории, на котором v поворачивается на угол ~ гп/е. Этот участок проходится за время т такое, что r|v| « tooq ~ m/e ^C 1. Именно эта область даст основной вклад в интеграл по т. Поэто- му в дальнейших вычислениях мы будем систематически разла- гать все величины по степеням ooqt. При этом, однако, может оказаться необходимым сохранять более чем один старший член разложения ввиду сокращений, происходящих из-за того, что 1 — nv ~ в2 ~ {m/eJ. Если привести оператор Q+Q к виду произведения комму- тативных (с требуемой точностью) операторов, то взятие диа- гонального матричного элемента (г| ... |г) сведется к замене этих операторов классическими значениями (функциями времени) со- ответствующих величин. Эта цель достигается следующим обра- зом. ^ Согласно сказанному выше, в выражении для Q(t) надо учи- тывать некоммутативность электронных операторов лишь с опе- ратором ехр[—гкг(?)], связанным с фотонным полем. Имеем р ехр (-гкг) = ехр (-гкг) (р - Пк), Я(р)ехрНкг) = exp (-ikr) Я (р - ftk) l ' ] § 90 МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 427 Эти формулы — следствие того, что ехр(—гкх) есть оператор сдвига в импульсном пространстве. С помощью (90.11) выносим в (90.8) оператор ехр(—гкг(?)) налево и записываем Q(t) в виде Q(t) = exp[-ikr(t)l R(t), R(t) = Д^(ае*)^^, (90.12) где H1 = H - Пои, p' = p - Hk. Теперь Q+Qi = R2 exp(ikr2) exp(-ikri)^i (90.13) (здесь и ниже индексы 1 и 2 отмечают значения величины в моменты времени t\ = t — т/2 и t2 = t + т/2). Остается вычис- лить произведение двух некоммутативных операторов exp(ik?2) и ехр(—гкгх). Само это произведение уже можно считать комму- тативным с остальными множителями. Обозначим L(t) = exp(—iour) exp(ik?2) exp(—ik?i); (90.14) именно эта комбинация операторов входит в (90.10). По смыслу оператора ехр (гНт/Н) как оператора сдвига по времени имеем exp(ik?2) = ехр [гН- ) exp(ikrri) ехр (—гН- ) . Подставив это выражение в (90.14) и учтя, что exp(ikri) есть оператор сдвига в импульсном пространстве, преобразуем L к виду L® = ехр \г[Н - Пш]-}ехр {-гЯ(р! - йк)-} . (90.15) Продифференцировав (90.15) по т и снова использовав свойства оператора сдвига по времени, запишем *) *L = 1- ехр \i[H - Пш]-\ [Н - Пио - Я(рг - Пк)] х x ехр (-«Я(р1 - Пк)-\ =-[Н - Пш - Я(р2 - йк)]?(т). (90.16) После того как некоммутативность операторов таким обра- зом использована, можно заменить вое операторы соответству- ющими классическими величинами (в том числе гамильтониан В силу сохранения энергии гейзенберговские операторы H(pi) и H(f>2) совпадают, поэтому в таких случаях аргумент у Н не пишем. Но, конечно, Я(р1 — hk) отнюдь не совпадает с Я(р2 — hk). 428 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Н энергией электрона е). Имеем тождественно е(р2 - Пк) = [(р2 - ПкJ + т2}1/2 = [(е - fkoJ + 2^(а;е - кр2)]1/2. Разность о;? — кр2 = we(l — nv2) мала, поскольку, согласно сказанному выше, 1 — vn ~ (m/бJ. С точностью до первого порядка по этой разности имеем б(р2 — hk) « е + —H(u) - г' где е' = ? — йо;. Из (90.16) находим теперь дифференциальное уравнение для функции L®: Щшлг2к)Ь. (90.17) dr г' Это уравнение должно решаться с очевидным начальным усло- вием L@) = 1. Заметив, что т w2dr = r2 -гь о получим L(t) = exp {i4(kr2 - kri - wr)} . (90.18) До сих пор мы не использовали конкретного вида траектории электрона. Выразим теперь г2 — ri в (90.18) через pi с помощью уравнения движения электрона в плоскости, перпендикулярной полю Н (см. II, § 21): pi . еНт , [piH] Л еНт\ г2 — ri = — sm + ^-^—}- 1 — cos . еН е еЯ2 V е ) Разлагая по степеням т, имеем отсюда k(r2 - п) -шткит {(vm - 1) + т*51 - г2^} (90.19) (в последнем члене положено nvi ~ 1). Преобразуем остальные множители в (90.13). Прямым рас- крытием произведения в R(t) (с матрицей а из B1.20)) находим R(t) =w*fe*(A + i[B*])wi, А = ? (I + Г) = ?±^v, (90.20) 2 \s e'J 2e' ' V 7 В = - н — -^-— w — n — v + v— 2 Vs + m s' + m/ 2s7 V / § 90 МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 429 где p'(t) = p(t) — fik.] опущены члены высших порядков по т/е. Таким образом, окончательно имеем exp(-io;t)(i|Q+Qi|i) = ЩЯгЦт), (90.21) RlRr = Sp i±f i±^ Множители A + ?сг) /2 — двухрядные поляризационные матрицы плотности начального и конечного электронов. Рассмотрим интенсивность излучения, просуммированную по поляризациям фотона и конечного электрона и усредненную по поляризациям начального электрона. В результате указанных операций получим после простого вычисления 2 ^ 1 V R\RX = ^±AvlV2 1) + - (Щ (-Y. 2 ^ l 2s'2 ViZ } 2 V е' ) V г ) поляр С требуемой точностью 2 т2 • 2 , т2 1 ?^2 12 2 ViV2 = V - — V + — VV = 1 - — - -U>0T . Подставив эти выражения в (90.21), а затем в (90.10), получим 2 dl = —-^—L2 4тг2 [ (т2е2 + е12 22\ Г «wre Л , г2 2А\ й I — + ШпТ ехр < — 1 — vn + — uoi > dr. J \s?f 4s/2 ° / F I e' V 24 °/J X — сю (90.22) Эта формула дает спектральное и угловое распределение интен- сивности излучения. Для нахождения спектрального распределения произведем интегрирование по don. Выбирая направление v в качестве по- лярной оси с углом $ между п и v, имеем nv = v cos #, don = sm'&d'&dip, ) Здесь использовано также следующее обстоятельство. При суммирова- нии по е: ^2 = (vie)(v2e*) = viv2 - (vin)(v2n). е Но при подстановке (90.21) в (90.10) можно произвести интегрирование по частям, заметив, что ( , ( is. \ is' d ( is. (vm)exp kn = ехр kn V s' J su dt\ \ s' и аналогично для V2n. В результате найдем, что для дальнейшего интегри- рования vin и V2n мож:но заменить здесь единицей. 430 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X и интеграл {iujTS \ j 27rsf Г {iujTSv\ ( iuorevW exp nv aon = < exp —exp — >. V e' J iuursv I \ e' J \ e' J ) При подстановке этого выражения в (90.22) мы получим два чле- на, показатели экспонент которых имеют разный порядок вели- чины. Показатель экспоненты второго члена оказывается гораз- до большим, поскольку содержит множитель 1 + v « 2 и вместо малого множителя l — v~ т2/Bб2) в первом члене. Сместив кон- тур интегрирования по т в нижнюю полуплоскость комплексного переменного т, можно сделать второй член малым и пренебречь им. После этого можно снова совместить контур интегрирования с вещественной осью. Из вывода видно, однако, что имеющийся теперь полюс в подынтегральном выражении при т = 0 должен обходиться снизу. Таким образом, оо dl ie2uj I (m2 . s2 + e'2 2 2\ Г iujrs (л . r2 2\] j — = / + U)nT exp < — 1 — v + —U)n > dr. du 2тг J \s2r 4ssf ° / Fl e' V 24 °/ J ' — oo причем контур интегрирования выбирается указанным выше способом. Используя интегральное представление функции Эй- ри Ф (см. Ill, § b), нетрудно показать, что первый член сводится к интегралу от функции Эйри, а второй — к производной от нее. Окончательно находим ^ /=., ,-_-,.,_. _,.-- ,-,--, , (90.23) _Х 1/2 X / *- \ ' 2/ \ 2/3 = \%) = 5" fe) (9°-24) (А. И. Никишов, В. И. Ритпус, 1967). Максимум в частотном рас- пределении лежит при х ~ 1; при х ^ 1 отсюда следует (90.1), а при х ^> 1 —(90.4). В классическом предельном случае имеем Ни) ^С ?, так что е1 « ?, ж « (uj/ujq) k(m/eJ\ второй член в круг- лых скобках мал и (90.23) переходит в классическую формулу G4.13) (см. II). На рис. 15 изображены графики спектрального распределе- ния при различных значениях х- Отложена величина 1 dl как функция отношения ио/иоС1 где 2/з + Х 90 МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 431 Величина /кл есть классическая полная интенсивность излуче- ния (ср. II, G4.2)). ///кл 0,4 0,3 0,2 0,1 0 г- \3Х=( ч \ 3 ""^ 0,5 1 1,5 Рис. 15 2,5 0,8 0,6 0,4 0,2 \ \ \ \ ч О 0,5 1,0 1,5 Рис. 16 Для вычисления полной интенсивности излучения выраже- ние (90.23) надо проинтегрировать по о; от 0 до е. Перейдем к интегрированию по ж, заметив, что 1 а следовательно, х меняется от 0 до оо. Произведя в первом члене в (90.23) дважды интегрирование по частям, получим /= е2т2Х2 Г 4± О /^Й2 / (90.25) На рис. 16 изображен график функции /(х)//кл. При х ^ 1 в интеграле существенна область х ~ 1. Разлагая подынтегральное выражение по х и интегрируя это разложение с помощью формулы о получаем /=/к (90.26) При ^ > 1 в интеграле существенна область, в которой 3 / XX /2~1, т. е. ж < 1. В первом приближ:ении можно поэтому заменить Ф'(х) на Ф7@) = -31/6ГB/3)/B0г), после чего инте- грирование дает 2/з = C ) 0 37?W (Л1_у\ (90.27) 243/г2 V А) ' П2 \HomJ V J Магнитотормозное излучение приводит к возникновению поля- ризации движущихся электронов (А. А. Соколов, И. М. Тернов, 432 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X 1963). Для рассмотрения этого вопроса надо найти вероятность радиационного перехода с обращением направления спина. Положив в (90.21) Ci = -С/ = С ICI = 1? получим i?*i?1 = (B1B2)-(e*B1)(eB2)- - (e*[BiC])(e[B2C]) -i(Ce*)(e[BiB2]). Суммирование по поляризациям фотона дает после простых пре- образований Д2Д1 = (В!В2)A - (CnJ) + (Cn)(nBi)(CB2) + + (Cn)(nB2)(CBi) - г(С - n(nC))[BiB2]. (90.28) Будем предполагать, что х ^ 1? и будем искать лишь глав- ный член разложения вероятности по степеням Н. Поскольку вы- ражение (90.28) (с В из (90.20)) уже содержит /г2, то все остаю- щиеся (в том числе в показателе экспоненты в (90.18)) величины е' можно заменить на е. Разложив 2s Buj ( т . m 2 = — П — V — -V + V — 2e V 2 e r2 - r*i = rv + ^v и подставив (90.28) в (90.21) и затем в (90.10), найдем диффе- ренциальную вероятность перехода в единицу времени (dw = = dl/Hui). Она интегрируется с помощью формулы ^ (90.29) (ж0 - г0J - х2 ' где в данном случае 2 2 =Т Вычисление приводит к результату ah2 ( е\5 з I dz тгш2 \mJ U J (l + ?2/12K [А _ V4 где сделана замена: z = тио^е/т^ а контур интегрирования по 2 проходит ниже вещественной оси и замыкается в нижней по- луплоскости. Выполнив это последнее интегрирование, получим § 91 ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ФОТОНОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 433 окончательно полную вероятность радиационного перехода с обращением спина: w Бл/За П2 ( е\Ъ зЛ 2^2 8л/3 е > \ /пп огл = ~~^ 2 (~J wo I ! - оСи - "Г^гА ' 90.30 16 т2 \т/ у 9 й 15 \е\ J где ?ц = ?v, ?_l = С^И/Н. Эта формула пригодна как для элек- тронов (е < 0), так и для позитронов (е > 0). Вероятность (90.30) не зависит от знака продольной поляри- зации ?ц, но зависит от знака (±. Поэтому и возникающая в ре- зультате излучения поляризация поперечна . Для электронов вероятность перехода из состояния со спином «по полю» ((± = 1) в состояние со спином «против поля» больше вероятности обрат- ного перехода. Поэтому радиационная поляризация электронов направлена против поля, а ее степень в стационарном состоянии равна (при ?ц =0) w(U = -l)-w(U = l) _ 8л/3 _ Q 92 (C i) + (C i) 15 Позитроны поляризуются (с такой же степенью) в направлении по полю.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Магнитотормозное излучение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 