Рассмотрим рассеяние электрона на электроне: два электрона с 4-импульсами pi, р2 сталкиваются, приобретая 4-импульсы р\', Р2 . Сохранение 4-импульса выражается равенством Pl+P2=Pl+P2- (81.1) Ниже мы будем пользоваться введенными в § 66 кинематически- ми инвариантами, определенными согласно s = (Р1 +р2J = 2(ш2 и = (р! -p'2f = 2(m2 -pip'2), s + t + u = Am2. § 81 РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ НА ЭЛЕКТРОНЕ 365 Рассматриваемый процесс изображается двумя диаграммами Фейнмана G3.13), G3.14), и его амплитуда равна Mfi = 4тге2{1(^7^2)К7^1) " ;Кт^2)(^1)}. (81.3) Согласно указанным в § 65 правилам для состояний началь- ных и конечных частиц, описывающихся поляризационными ма- трицами плотности pi, pi/,... , заменяем 1\2 \М}1 (81-4) Для рассеяния неполяризованных электронов (не интересу- ясь при этом их поляризацией после рассеяния) мы должны по- ложить для всех матриц плотности р = 1/2(/ур + га), умножив результат на 2 • 2 = 4 (усреднение по поляризациям двух на- чальных и суммирование по поляризациям двух конечных элек- тронов). Сечение рассеяния определяется формулой F4.23), в которой надо положить, согласно F4.15а), I2 = 1/as(s — 4m2). Представим сечение в виде da = dts(s4*em2){f(t, и) + g(t, и) + f(u, t) + g(u, t)}, + raOI/], (81.5) В /(t, i/) сначала вычисляются следы (с помощью B2.9), B2.10)), а затем производится суммирование по /i и v 2) ; в g(t, гл) сначала производится суммирование по /i и z/ (с помощью формул B2.6)). Этот вид М/г находится в соответствии с общим выражением G0.5). В первом не исчезающем приближении теории возмущений из пяти инвари- антных амплитуд отлична от нуля только одна: fs(t,u) = 4тте2/t. 2) Отметим для будущих ссылок формулу (m2 - 366 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В результате получим /(*, и) = ?[(piP2J + (Р1РгJ + 2m2(m2 -pipi)], ) ^ tu или, выразив функции / и g через инварианты (81.2), / w ч (8L6) g(t, и) = g(u, t) = fu (j - m2) ( s- - 3m2). Таким образом, сечение , 2 4:7rm2dt A \s2+u2 . „ 2/, 2\1 , da = rp { — + Am it — m )\ + + J_ [?l±*! + 4m2(ti - m2)! + ± f ? - m2) (s- - 3m2) }, (81.7) где re = e2/m. Применим эту формулу в системе центра инерции. Здесь s = 4б2, t = -4p2 sin2 -, и = -4р2 cos2 -, 2 2 (81.8) —rft = — 2р dcos6 = — do 7Г (|р|, ? — величина импульса и энергия электронов, не меняющи- еся при рассеянии; в — угол рассеяния). В нерелятивистском слу- чае (б « га) получим 2 тгш4^ Р2 /1.1 1 \ — + — - — = Vt2 и2 tu) cos4 - smz - cos2 - / 2 2 27 4A + 3 cos2 6>) , / ч /О1 пч ^^ ^rfo H' P-) 81'9 (где v = 2p/ra — относительная скорость электронов) что на- ходится в согласии с нерелятивистской теорией (см. III, § 137). В общем случае произвольных скоростей формула (81.7) после *) Скорость v предполагается малой (v <^ 1), но такой, чтобы все еще вы- полнялось условие применимости теории возмущений: е /f(= e /(Hv)) <C 1. § 81 РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ НА ЭЛЕКТРОНЕ 367 подстановки (81.8) и простых преобразований может быть при- ведена к виду 22 22 4 3 . 2 2 , 2m(s + P) (81.10) (СЛ. Мoiler, 1932). В ультрарелятивистском случае (р2 « ?2) , 2Ш2 C + COS26>J , / ч (ол лл\ da = rp— - -——do (у. р.)- (81.11) е2 4 sin4 0 В лабораторной системе отсчета, в которой один из электро- нов (скажем, второй) до столкновения покоился, выразим сече- ние через величину т т — энергию (в единицах га), переданную налетающим (первым) электроном второму *) . Инварианты s = 2га(га + ei), t = -2ra2A, и = — 2га(б1 — т — гаД). Подстановка этих выраж:ений в (81.7) приводит к следующей формуле для распределения по энергиям вторичных электронов (или, как говорят, 6-электронов), возникающих при рассеянии быстрых первичных электронов: da = 2nrl^\ fr-1^ - 2^ + 2^1 + l}, (81.14) е21\Д2A_ДJ ДG-1-Д) J' V J где 7 — ?i/rn] т/\ и 777,G ~ 1 ~ Д) —кинетические энергии двух электронов после столкновения; тож:дественность обеих частиц проявляется здесь в симметрии формулы по отношению к этим величинам. Если условиться называть электроном отдачи тот из них, который имеет меньшую энергию, то Д будет пробегать зна- чения от 0 до G—1)/2. При малых Д формула (81.14) принимает вид da = 2тгг^^—-— = —^ —, Д < 7 - 1- 81.15 7 I A vi ^ Отметим, что эта формула, выраженная через скорость налетаю- щего электрона (v\ = |pi|/ei), сохраняет свой вид при переходе к нерелятивистскому случаю. Естественно поэтому, что она по форме совпадает с результатом нерелятивистской теории (ср. III, A48.17)). 1) Кинематические соотношения для упругих столкновений в различных системах отсчета см. в т. II, § 13. 368 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ГЛ. IX Рассмотрим теперь рассеяние позитрона на электроне (Н. Bhabha, 1936). Это —другой кросс-канал той же обобщен- ной реакции, к которой относится рассеяние электрона на элек- троне. Если р_, р_|_ —начальные, а р'_, рг_^_ — конечные импульсы электрона и позитрона, то переход от одного случая к другому осуществляется заменой Pi -+ -У+> Р2^Р-, р[ -+ -Р+, Р2 -+ Р-- При этом кинематические инварианты (81.2) приобретают сле- дующий смысл: s = (p_-pVJ, t=(p+-p'+J, u = {p.-p+J. (81.16) Если ее-рассеяние было «s-каналом, то ёе-рассеяние есть гл-ка- нал реакции. Квадрат амплитуды рассеяния, выраженный через s, ?, гл, остается прежним, а в знаменателе формулы (81.5) надо заменить s —> и. Таким образом, для сечения рассеяния позитро- на на электроне получим вместо (81.7) 7 2 4:7rm2dt f I \s2 + и2 . А 2 и 2\1 , da = rp { — +4m (t — т )\ + + J- f?l±*l + 4m2(ti - m2)! +Ц8-- m2) (s- - 3m2) ). (81.17) В системе центра инерции значения инвариантов s, t, и от- личаются от (81.8) перестановкой s и и: s = -Ар2 cos2 -, t = -4p2 sin2 -, u = 4б2. (81.18) В нерелятивистском пределе формула (81.17) сводится к фор- муле Резерфорда (J^ (н-р-)' (81Л9) где v = 2p/m. Она получается из первого члена в фигурных скобках в (81.17), происходящего от диаграммы «рассеиватель- ного» типа (см. § 73). Вклады же от «аннигиляционной» диа- граммы (второй член в (81.17)) и от ее интерференции с рассе- ивательной диаграммой (третий член) в нерелятивистском пре- деле обращаются в нуль . В общем случае произвольных скоростей вклады всех трех членов в (81.17)—одного порядка величины (лишь в области 1) Переход к нерелятивистскому пределу в рассеивательном и аннигиля- ционном членах амплитуды рассеяния — см. ниже (83.4) и (83.20). Анниги- ляционный член (83.20) содержит множитель 1/с2 и потому обращается в этом пределе в нуль. § 81 РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ НА ЭЛЕКТРОНЕ 369 малых углов первый член преобладает благодаря множителю ?~2 ос sin @/2). После приведения подобных членов можно пред- ставить сечение рассеяния позитрона на электроне (в системе центра инерции) в виде , , re2m2f(s2+p2J I 8e4-m4 1 da = do-i — < ±^ 16 s2 [ p2 sin4((9/2) p2s2 sin2((9/2) 12g4 + m4 _ 4p2(g2+p2) . 2 0 , 4|И -2 0 1 /gj 2Q) s4 s4 2 s4 2J' V ' У Симметрия по отношению к замене в —>> тг — 0, характерная для рассеяния тождественных частиц, при рассеянии позитрона на электроне, разумеется, отсутствует. В ультрарелятивистском пределе выражение (81.20) отличается от электрон-электронного сечения лишь множителем cos4 @/2): daee = cos4 -daee (у. р.). (81.21) В лабораторной системе отсчета, в которой одна из частиц (скажем, электрон) до столкновения покоилась, снова вводим ве- личину д = g+ - е'+ = g-~m^ (81.22) т т т. е. энергию, передаваемую позитроном электрону. Аналогично (81.13) имеем теперь s = — 2т(е+ — т — тА), t = —2т2 А, и = 2т(т + ?+). Подставив эти выражения в (81.17), после простых преобразо- ваний получим следующую формулу для распределения вторич- ных электронов по энергиям: l_2l!±41±l1 + где 7 — z+fm, А пробегает значения от 0 до j — 1. При А <^ <С 7 ~~ 1 из (81.23) получается та же формула (81.15), что и для рассеяния электронов. Поляризационные эффекты при рассеянии электронов или позитронов вычисляются по общим правилам, изложенным в § 65. В сколько-нибудь общих случаях вычисления приводят к громоздким формулам. Здесь мы ограничимся лишь нескольки- ми замечаниями . 1) Более подробные сведения по этому вопросу можно найти в обзорной статье McMaster W. H.//Rev. Mod. Phys.—1961.—V. 133,—P. 8. 370 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ГЛ. IX В рассматриваемом (первом не исчезающем) приближении теории возмущений в сечении отсутствуют члены, линейные по векторам поляризации начальных или конечных частиц. Как и в нерелятивистской теории (см. III, § 140), такие члены запрещены требованиями, вытекающими из эрмитовости матрицы рассея- ния. Поэтому сечение рассеяния не меняется, если поляризована лишь одна из сталкивающихся частиц, а рассеяние неполяризо- ванных частиц не приводит к их поляризации. Эти же требования запрещают корреляционные члены в се- чении, содержащие произведения поляризаций трех из участву- ющих в процессе (начальных и конечных) частиц. Сечение содер- жит, однако, двойные и четверные корреляционные члены. При рассеянии неодинаковых частиц (электрон и позитрон, электрон и мюон) в нерелятивистском пределе эти члены обращаются в нуль, поскольку отсутствует спин-орбитальное взаимодействие. При столкновении же одинаковых частиц корреляционные чле- ны имеются уже в нерелятивистском случае благодаря обменным эффектам.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Рассеяние электронов и позитронов на электроне» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
