Упругое рассеяние электрона в постоянном внешнем поле представляет собой простейший процесс, существующий уже в первом приближении теории возмущений (первое борновское приближение). Ему отвечает диаграмма с одной вершиной (80.1) где р и р' — начальный и конечный 4-импульсы электрона, a q = = р — р. Поскольку энергия электрона при рассеянии в постоян- ном поле сохраняется (е = ?7), то q = @, q) x) . Соответствующая амплитуда рассеяния } (p), (80.2) где А^ (q) — компонента пространственного разложения Фурье внешнего поля. Сечение рассеяния, согласно F4.26), da = \Mfi\2dof. (80.3) 16тг2 Для электростатического поля А^ = (щ\ 0), так что В нерелятивистском случае биспинорные амплитуды плоских волн и(р) сводятся к нерелятивистским (двухкомпонентным) ам- плитудам. Для рассеяния без изменения поляризации это —не зависящая от р величина, причем в силу принятого нами усло- вия нормировки и*и = 2т. Учитывая это, получаем 2 da = 2тг ) В случае внешнего поля такая диаграмма не запрещается, конечно, за- коном сохранения 4-импульса (как это было в диаграмме G3.19) с реальным фотоном): квадрат q2, в отличие от квадрата 4-импульса реального фотона, не должен быть равен нулю; из интеграла Фурье, представляющего внешнее поле, автоматически выбирается компонента с нужным q. § 80 РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 361 где f7(q) = eA$ (q) —компонента Фурье потенциальной энергии электрона в поле; это выражение совпадает с известной форму- лой Борна (III, A26.7)). В общем релятивистском случае сечение рассеяния неполя- ризованных электронов получается усреднением квадрата |М^|2 по начальным и суммированием по конечным поляризациям, т. е. путем образования величины 2 ^ поляр где суммирование производится по направлениям спина началь- ного и конечного электронов; множитель 1 /2 превращает одно из этих суммирований в усреднение. По изложенным в § 65 прави- лам получим 1 2 поляр Для вычисления следа замечаем, что 7° G^O° = 7PS гДе Р = = (б, —р), и потому 4 4 = т2 + р'р = е2 + т2 + рр7 = 2б2 - q2/2. Отсюда сечение Для поля, создаваемого статическим распределенном зарядов с плотностью р(г), имеем 4e)(q) = ^, (80.6) где p(q) — фурье-образ распределения р(г) (формфактор). В ча- стности, для кулонова поля точечного заряда Ze имеем: p(q) = = Ze. Тогда сечение рассеяния (i) (80.7) (N. F. Mott, 1929). Квадрат q2 = 4p2sin2@/2), 362 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ГЛ. IX где в — угол рассеяния. Поэтому выражение перед скобкой по своей угловой зависимости может быть названо резерфордов- ским сечением: с/сгрез = do——j— = do— -4— sm - (80.8) (в нерелятивистском пределе коэффициент ?2/р4 —>> 1/(ггг2/г;4)). Таким образом х) , da = ^стрез (l - v2 sin2 -). (80.9) Отметим, что в ультрарелятивистском случае угловое распре- деление отличается от нерелятивистского сильным подавлением рассеяния назад (при в —>> тг: da/dape3 —>> т2 /е2). В ультрарелятивистском случае для рассеяния на малые углы (80.7) дает da = ^f^do'. (80.10) Хотя эту формулу мы получили в борновском приближении (т. е. предполагая Ze2 <^ 1), она, тем не менее, остается справедливой (для углов в ^ т/е) также и при Ze2 ~ 1. В этом можно убе- диться с помощью ультрарелятивистской точной (по Ze2) вол- новой функции фер C9.10). Это решение, справедливое в обла- сти C9.2), остается, конечно, справедливым и в асимптотической области сколь угодно больших г. Здесь F ос 1 + const • е^рг~рг\ ^^ - 1 - cos в - в2 < 1, ? так что поправочный член остается, как и следовало ожидать, малым. Волновая же функция вида etprF, совпадая по форме с нерелятивистской функцией (с очевидным изменением пара- метров), имеет тот же асимптотический вид, а поэтому и для сечения получается резерфордовское выражение. Для вычисления сечения рассеяния произвольно поляризо- ванных электронов можно было бы воспользоваться по общим правилам матрицей плотности B9.13). В данном случае, однако, 1) Выражаемое этой формулой отличие da от dape3 специфично для ча- стиц со спином !/2- Для рассеяния частиц со спином 0 (если бы их движение в электромагнитном поле описывалось волновым уравнением) получилось бы da = dape3- На первый взгляд кажется странным, что выражающий этот чисто квантовый эффект множитель не содержит h. Надо, однако, помнить, что условие применимости борновского приближения (е2/(hv) <C 1) проти- воположно условию квазиклассичности для движения в кулоновом поле и поэтому переход к классическому случаю в формуле (80.9) невозможен. § 80 РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 363 можно получить результат менее громоздким способом, предста- вив биспинорные амплитуды и(р') и и(р) в виде B3.9); перемно- жив их, получим и*(р')и(р) = w'* {е + т + (е — m)(nfa)(ncr)}w, или, воспользовавшись формулой C3.5), и*(р')и(р) = w'*fw, (80.11) где г) ^ f = А + Bvci, А = (е + т) + (е - m)cos#, Б = —i(e - m)sin6>, (80.12) [nn'] sin в Двухкомпонентная величина C-спинор) w представляет со- бой нерелятивистскую спиновую волновую функцию электрона. Переход к частично поляризованным состояниям осуществляет- ся поэтому заменой произведений waw*o (a, /3 — спинорные ин- дексы) нерелятивистской двухрядной матрицей плотности рар. Таким образом, надо заменить \Mfi\2 -> e2\A(oe\q)\2 Spp(A - Ви(т)р'{А + Вист), где р= 1( а ^ и ^' — векторы начальной и конечной поляризации, выделя- емой детектором. Вычисление следа приводит к результату da = dao{l + ^ ~ 1да')^ + ^'^g^ + 2AW»W у (8ОЛЗ) где с/сго —сечение рассеяния неполяризованных электронов. Представив фигурную скобку в (80.13) в виде {1 + С С}' найдем поляризацию конечного электрона как такового (в от- личие от детектируемой поляризации ?' — см. § 65 ) 2) : Mf) = (А2-|Б2|)С Мы видим, что рассеянные электроны поляризованы, лишь ес- ли поляризованы падающие электроны. Это обстоятельство — общее свойство первого борновского приближения (ср. III, § 140). ) Определения / здесь и в § 37, § 38 различаются общим множителем. ) Формула (80.14) отвечает формуле, найденной в задаче 1, (см. т. III, 140) и получается из нее при вещественном А и мнимом В. 364 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ГЛ. IX В нерелятивистском случае (е —>• га) из (80.14) получается С = С T- е- электрон сохраняет при рассеянии свою поляриза- цию (естественное следствие пренебрежения спин-орбитальным взаимодействием). В обратном, ультрарелятивистском, случае имеем А = еA +cos#), В = -ies'mO (в соответствии с общей формулой C8.2)). Если при этом падающий электрон имеет определенную спи- ральность (? = 2Ап, А = i1/^), т0 из (80.14) получается после простого приведения С(/) = 2Ап'. Другими словами, после рассеяния электрон остается спираль- ным, сохраняя прежние значение (А) спиральности. Это свойство, как уже было объяснено в § 38, связано с тем, что при пренебрежении массой уравнение Дирака в спинорном представлении распадается на два независимых уравнения для функций ? и г/. Этот результат имеет и более общее значение, поскольку ток а с ним и оператор электромагнитного возмущения V = ejA, не содержат смешанных по ? и г/ членов, а потому не имеют матрич- ных элементов для переходов между ?- и //-состояниями. Отсюда следует, что если ультрарелятивистский электрон обладает опре- деленной спиральностью (т. е. отлично от нуля либо ?, либо г/), то в процессах взаимодействия эта спиральность будет сохранять- ся в приближении, отвечающем полному пренебрежению массой электрона.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Рассеяние электрона во внешнем поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
