Внутренние линии диаграмм Фейнмана играют в инвариант- ной теории возмущений роль, аналогичную роли промежуточ- ных состояний в «обычной» теории. Характер этих состояний, однако, в обеих теориях различен. В обычной теории в промежу- точных состояниях сохраняется импульс (трехмерный), но не со- ) Если тот или иной канал запрещен сохранением 4-импульса, то вероят- ность перехода автоматически обращается в нуль ^-функцией, фигурирую- щей в F4.5) в качестве общего множителя. ) Обратим внимание на то, что формальное описание перехода от одной из указанных реакций к другой путем изменения знака всех 4-импульсов на диаграммах Фейнмана отвечает смыслу операции СРТ как 4-инверсии. § 79 ВИРТУАЛЬНЫЕ ЧАСТИЦЫ 355 храняется энергия; в этом смысле о них говорят как о виртуаль- ных состояниях. В инвариантной же теории импульс и энергия входят равноправно: в промежуточных состояниях сохраняют- ся все компоненты 4-импульса (результат того, что в элементах S-матрицы интегрирование производится и по координатам, и по времени, чем достигается инвариантность теории). При этом, однако, в промежуточных состояниях нарушается присущая ре- альным частицам связь между энергией и импульсом (выражае- мая равенством р2 = т2). В этом смысле говорят о промежуточ- ных виртуальных частицах. Соотношение между импульсом и энергией виртуальной частицы произвольно — оно такое, какое требуется сохранением 4-импульса в вершинах. Рассмотрим некоторую диаграмму, состоящую из двух частей (/ и //), соединенных одной линией. Не интересуясь внутренней структурой этих частей, представим диаграмму схематически в виде G9.1) (изображенные линии могут быть как сплошными, так и штри- ховыми). В силу общего закона сохранения, суммы 4-импульсов внешних линий частей I и II одинаковы; в силу сохранения в каждой вершине — этой же величине будет равен и 4-импульс р внутренней линии, соединяющей части / и II. Другими слова- ми, этот импульс однозначно определен, так что в матричном элементе по нему не производится интегрирования. В зависимости от канала реакции квадрат р2 может быть как положителен, так и отрицателен. Всегда существует такой ка- нал, в котором р2 > 0 . Тогда виртуальная частица по своим формальным свойствам становится вполне аналогичной реаль- ной частице с вещественной массой М = \/р2. Для нее можно ввести систему покоя, можно определить ее спин и т. п. Фотонный пропагатор G6.11) по своей тензорной структуре совпадает с матрицей плотности неполяризованной частицы со спином 1 и отличной от нуля массой: о (см. A4.15)). С другой стороны, пропагатор (как величина, сос- тавленная квадратично из операторов поля) играет для вирту- альной частицы роль, аналогичную роли матрицы плотности ре- альной частицы. Поэтому виртуальному фотону надо приписать, х) Таков, например, канал (если он допустим энергетически), в котором все свободные концы части / соответствуют начальным, а части // — конечным частицам. Тогда р = Pi (сумма 4-импульсов всех начальных частиц), и в системе центра инерции р = (Р/3, 0), так что р2 > 0. 12* 356 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VIII как и реальному, спин 1. Однако в отличие от реального фотона с его двумя независимыми поляризациями — виртуальный фотон как «частица» конечной массы может иметь все три поляриза- ции. Функция распространения электрона G ex jp + т. Здесь т — масса реального электрона, между тем как «масса» виртуальной частицы М = ур2. Написав М + т, . л,\ . М- гп 1Р + т = ~1пГ^р + ^ + ~ш мы видим, что первый член отвечает матрице плотности частицы с массой М и спином 1/2, а второй член — матрице плотности такой же «античастицы» (ср. B9.10) и B9.17)). Вспомнив, что частица и античастица имеют различные внутренние четности (см. § 27), придем к выводу, что виртуальному электрону надо приписать тот же спин !/2, но нельзя приписать определенной четности. Характерная особенность диаграммы G9.1) состоит в том, что ее можно рассечь на две не связанные друг с другом части, пересекая при этом всего одну внутреннюю линию х) . Эта линия соответствует в таком случае одночастичному промежуточному, состоянию — состоянию с всего одной виртуальной частицей. Ам- плитуда рассеяния, соответствующая такой диаграмме, содер- жит характерный (не подвергающийся интегрированию!) мно- житель р2 - т2 + гО происходящий от внутренней линии р (причем т — масса элек- трона, если линия электронная, или т = 0, если линия фотон- ная). Другими словами, амплитуда рассеяния имеет полюс при тех значениях р, при которых виртуальная частица стала бы фи- зической [р2 = т2). Эта ситуация аналогична тому, как в нере- лятивистской квантовой механике амплитуда рассеяния имеет полюсы при значениях энергии, отвечающих связанным состоя- ниям системы сталкивающихся частиц (см. III, § 128). Рассмотрим диаграмму G9.1) для того канала реакции, в ко- тором все правые свободные концы отвечают начальным, а все левые — конечным частицам; при этом р2 > 0. Тогда можно ска- зать, что в промежуточном состоянии система начальных частиц превращается в одну виртуальную. Это возможно, лишь если та- кое превращение не противоречит необходимым законам сохра- нения (без учета сохранения 4-импульса): сохранению момента, 1) Этим свойством обладают диаграммы почти всех процессов в первом неисчезающем приближении. § 79 ВИРТУАЛЬНЫЕ ЧАСТИЦЫ 357 заряда, зарядовой четности и т. п. В этом и заключается необхо- димое условие появления, как говорят, полюсных диаграмм. При- сутствуя для одного из каналов, такие диаграммы тем самым бу- дут в силу кросс-инвариантности существовать и для остальных каналов реакции. Например, указанные законы сохранения не препятствуют возникновению виртуального электрона согласно е + 7 —> е. Эта возможность отвечает полюсу амплитуды комптон-эффекта (а тем самым и другого канала этой реакции — двухфотонной анни- гиляции электронной пары). Возникновение виртуального фото- на, согласно е~ +е+ —>> 7, отвечает полюсу амплитуды рассеяния электрона на позитроне, а тем самым и электрона на электроне. Из двух же фотонов не может получиться ни виртуального элек- трона, ни виртуального фотона (превращение 7 + 7 ~> е запре- щено сохранением заряда и момента, а превращение 7 + 7 ~> 7 ~~ сохранением зарядовой четности). В соответствии с этим ампли- туда рассеяния фотона на фотоне не может содержать полюсных диаграмм. Происхождение полюсных особенностей амплитуд рассеяния, за которым мы проследили, исходя из интегралов Фейнмана, имеет в действительности более общий характер, не связанный с теорией возмущений. Покажем, что эти особенности возникают уже как следствие условия унитарности G1.2). Предположим, что среди фигурирующих в G1.2) промежу- точных состояний п есть одночастичное. Вклад этого состояния: = B7г) А где р и А — 4-импульс и спиральность промежуточной части- цы. Интегрирование по d3p заменим интегрированием по d^p (по области р° = е > 0) согласно dsp -> 2е6(р2 - M2)dAp (М — масса промежуточной частицы). Интегрирование устраня- ет E-функцию 5^{Pf — р); перейдя затем от амплитуд Tji к ам- плитудам Mfi согласно F4.10), найдем (М/г - М^)(") = 2т6(р2 - М2) Y, MfnM*n. G9.3) А Предполагая Т- и Р-инвариантность, будем иметь (с точностью до фазового множителя) М^ = Mj/^, где состояния i7, f от- личаются от г, / лишь знаком спиральностей частиц (при тех же импульсах). Взяв сумму равенств G9.3) и такого же для Mfit — M*,n,, получим ) 2 - M2)R, G9.4) 358 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ Г где обозначено Mfi = Mfi + Mri4 R = - ^(MfnM*n + МГпМ*,п). Отсюда и следует, что М ^ как аналитическая функция от р2 = = р? = р^ имеет полюс при р2 = М2. Согласно G5.18) имеем для полюсной части -т-^(одноч) R /^Л г\ М*л = . G9.5) 11 р2 - М2 + гО v J Реальные переходы в одночастичное состояние возможны только при значении Р2 = Р? равном М2. Таким образом, мы действи- тельно получили структуру амплитуды рассеяния, отвечающую диаграмме вида G9.1). Наконец, остановимся на важном свойстве диаграмм, содер- жащих замкнутые электронные петли. Это свойство можно лег- ко получить путем применения к виртуальному фотону поня- тия зарядовой четности: виртуальному фотону, как и реально- му, надо приписать определенную (отрицательную) зарядовую четность х) . Если некоторая диаграмма содержит замкнутую петлю (с числом вершин N > 2), то наряду с этой диаграммой в ампли- туде рассматриваемого процесса должна фигурировать также и другая диаграмма, отличающаяся от первой лишь направлением обхода петли (при N = 2 понятие направления обхода, очевид- но, не имеет смысла). «Вырежем» эти петли по идущим к ним штриховым линиям. Мы получим тогда две петли Пт и Пд: G9.6) которые можно рассматривать как диаграммы, определяющие амплитуду процесса превращения одной совокупности фотонов (реальных или виртуальных) в другую: число N есть при этом сумма чисел начальных и конечных фотонов. Но сохранение за- рядовой четности запрещает превращение четного числа фото- нов в нечетное. Поэтому при нечетном N сумма выражений, со- ответствующих петлям G9.6), должна обратиться в нуль. Обра- щается, следовательно, в нуль также и суммарный вклад в ам- плитуду рассеяния двух диаграмм, содержащих эти петли в ка- 1) Это следует из тех же соображений о действующем в каждой вершине операторе электромагнитного взаимодействия, которые были указаны в § 13 для реального фотона. § 79 ВИРТУАЛЬНЫЕ ЧАСТИЦЫ 359 честве своих составных частей (так называемая теорема Фаррщ W. H. Furry, 1937). Таким образом, при составлении амплитуды какого-либо про- цесса можно вовсе не рассматривать диаграмм, содержащих пет- ли с нечетным числом вершин. Проследим более детально за происхождением указанного взаимного сокращения диаграмм. Замкнутой электронной петле отвечает выражение (при заданных импульсах фотонных линий dAp ¦ SV[{1el)G{p){1e2)G{p + кг)... ], G9.7) I где р, р + fci, ... —импульсы электронных линий (остающиеся не вполне определенными после учета законов сохранения в вер- шинах). Произведем над всеми матрицами ^ ж G операцию за- рядового сопряжения, т. е. заменим их на Uq J^Uc и Uq GUc- Выражение G9.7) при этом не изменится, так как след произве- дения матриц инвариантен относительно такого преобразования. С другой стороны, согласно B6.3), e G9.8) а потому l fi±? G{-p). G9.9) fi? {p) р2 — т2 Но замена G(p) транспонированной матрицей с измененным зна- ком у р означает, очевидно, изменение направления обхода петли, в которой направление всех стрелок заменяется обратным. Дру- гими словами, произведенное преобразование превращает одну петлю в другую, причем появляется множитель (—1)^, происхо- дящий от замены G9.8) в каждой вершине. Таким образом, IIi = (-1)*ПП, G9.10) т. е. вклады обеих петель одинаковы при четном и противопо- ложны по знаку при нечетном числе вершин.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Виртуальные частицы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Тогда виртуальная частица по своим 