Вероятности различных процессов при столкновениях частиц, взаимодействие между которыми можно считать малым, вычис- ляются с помощью теории возмущений. В своей обычной (для нерелятивистской квантовой механики) форме аппарат этой те- ории обладает, однако, тем недостатком, что в нем не выявляют- ся явным образом требования релятивистской инвариантности. Хотя при применении такого аппарата к релятивистским зада- чам окончательный результат и будет удовлетворять этим требо- ваниям, но неинвариантная форма промежуточных формул су- щественно усложняет вычисления. Настоящая глава посвящена развитию свободной от этого недостатка последовательной реля- тивистской теории возмущений; она была построена Фейнманом (R. P. Feynman, 1948-1949). Имея в виду вторично квантованное описание системы, обо- значим через Ф ее волновую функцию в представлении чисел заполнения различных состояний свободных частиц. Гамильто- ниан системы Н = Hq + V, где V — оператор взаимодействия. Пусть Фп — собственные функции невозмущенного гамильтониа- на; каждая из них отвечает некоторым определенным значениям всех чисел заполнения. Произвольная функция Ф представляется в виде разложения Ф = ^СПФП. Тогда точное волновое уравне- ние г^ = (Но + 9)Ф G2.1) представится в виде системы уравнений для коэффициентов Сп: iCn = J2 vnm exp[i(En - Em)t]Cm, G2.2) m где Vnm — не зависящие от времени матричные элементы опера- тора V, а Еп — уровни энергии невозмущенной системы (ср. III, § 40). По определению оператор V не зависит явно от времени. Ве- личины же Vnm(t) = Vnm exp[i(En - Em)t] G2.3) 322 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VIII можно рассматривать как матричные элементы зависящего от времени оператора V(t) = ехр(^Я0?)УехрНЯ0?). G2.4) О нем говорят как об операторе в представлении взаимодей- ствия (в отличие от исходного не зависящего от времени шре- дингеровского оператора V 1)). Обозначив теперь прежней бук- вой Ф волновую функцию в этом новом представлении, запишем уравнения G2.2) в символическом виде G2.5) Изменение волновой функции в этом представлении связано лишь с действием возмущения, т. е. отвечает процессам, про- исходящим благодаря взаимодействию частиц. Если Ф(?) и Ф(? + St) —значения Ф в два бесконечно близких момента времени, то в силу G2.5) они связаны друг с другом посредством ф(? + St) = [1 - iStV(t)№(t) = exp[-iSt • У(*)]ФD). Соответственно значение Ф в произвольный момент tf может быть выражено через значение в некоторый начальный момент U (tf > U) как V(ta)} Ufa), G2.6) где знак Yi означает предел произведения по всем бесконечно малым интервалам 6ta между t{ wtf. Если бы V(t) было обычной функцией, то этот предел сводился бы просто к ехр{ -г / V(t)dt\. -1 Но такое сведение основано на коммутативности множителей (взятых в различные моменты времени), подразумевающейся при переходе от произведения в G2.6) к суммированию в экс- поненте. Для оператора V(t) такой коммутативности нет, и све- дение к обычному интегралу невозможно. Подчеркнем, что в определении G2.4) фигурирует невозмущенный га- мильтониан Но. Этим оно отличается от гейзенберговского представления операторов, в котором VH{t) = exp(iHt)V ехр(-Ж) (см. III, § 13 и ниже, § 102). 72 ХРОНОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 323 Напишем G2.6) в символическом виде ф(?;) = Техр<( -г \ V(t)dt }Ф(и), G2.7) U где Т— символ хронологизации, означающий определенную («хро- нологическую») последовательность моментов времени в после- довательных множителях произведения G2.6). В частности, по- ложив ti —>• — оо, tf —>• +00, получим ф(+оо) = 5Ф(-оо), G2.8) где = Texpl-i I V(t)dt\. G2.9) —оо ' Смысл записи G2.7)-G2.9) формально точного решения вол- нового уравнения состоит в том, что такая запись позволяет лег- ко написать ряд, представляющий собой разложение по степеням возмущения: ^ ОО ОО ОО • • • fdtk ¦ T{V{h)V{t2)... V{tk)}. G2.10) Jc — П ' ^~u —oo —oo —oo Здесь в каждом члене к-я степень интеграла написана в виде fc-кратного интеграла, а символ Т означает, что в каждой обла- сти значений переменных ti, ?2, • • •> tk надо располагать соответ- ствующие операторы в хронологическом порядке справа налево в порядке возрастающих значений t x) . Из определения G2.8) ясно, что если до столкновения систе- ма была в состоянии Ф^ (некоторая совокупность свободных час- тиц), то амплитуда вероятности ее перехода в состояние Ф/ (дру- гая совокупность свободных частиц) есть матричный элемент Sfi. Другими словами, эти элементы и составляют ^-матрицу. Оператор электромагнитного взаимодействия был написан уже в § 43: V = е f(jA)d3x. G2.11) Подставив его в G2.9), получим S = Техр <^ -ie / 0А) dAx \ . G2.12) 1) Вывод правил релятивистской теории возмущений с помощью разложе- ния G2.10) принадлежит Дайсону (F. Dayson, 1949). 11* 324 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VIII Существенно, что оператор G2.12) релятивистски инвариан- тен. Это видно из скалярности подынтегрального выражения, инвариантного характера интегрирования по dAx и инвариант- ного характера операции хронологизации. Последнее обстоятель- ство требует, однако, разъяснения. Как известно, последовательность двух моментов времени t\ и ^2 (знак разности t2 — t\) не зависит от выбора системы отсчета, если эти моменты относятся к мировым точкам х\ и Х2, разделен- ным времениподобным интервалом: [%2 — х±J > 0. В таком слу- чае инвариантность хронологизации автоматична. Если же (х2 — — х\J < 0 (пространственноподобный интервал), то в разных си- стемах отсчета может быть как ?2 > ^ъ так и h < t\ x) • Но такие две точки отвечают событиям, между которыми не может суще- ствовать причинной связи. Очевидно поэтому, что не могут быть некоммутативными операторы двух физических величин, отно- сящихся к таким точкам: некоммутативность операторов физи- чески означает совместную неизмеримость данных величин, что предполагает наличие физической связи между обоими измере- ниями. Следовательно, хронологичность произведения останется инвариантной и в этом случае: хотя преобразование Лоренца мо- жет нарушить последовательность моментов времени, но ввиду коммутативности множителей их можно переставить обратно в хронологический порядок 2) . Легко видеть, что данное в этом параграфе определение ^-матрицы автоматически удовлетворяет условию унитарности. Представив S в виде хронологического произведения, фигуриру- ющего в G2.6), и учитывая эрмитовость V, найдем, что *S+ вы- ражается произведением таких же множителей ex.p(i6ta • V(ta)) 1) Вместо времениподобных и пространственноподобных интервалов часто говорят для краткости об областях соответственно внутри и вне светового конуса: все точки ж, отделенные от точки х интервалом с (х — х'J > 0, находятся внутри двуполостного конуса с вершиной в точке х', а точки, отделенные интервалом с [х — х'J < 0, — вне этого конуса. )В применении к произведению V(t\)V(t?*) • • • это утверждение надо уточнить во избежание недоразумений. Поскольку сам оператор V не обла- дает калибровочной инвариантностью (он меняется вместе с А), множите- ли V(ti), Vfc), • • -, коммутативные при одной калибровке потенциала, мо- гут оказаться некоммутативными при другой калибровке. Сделанные выше утверждения надо поэтому сформулировать как возможность такого выбо- ра калибровки потенциала, при котором V{t\) и V(fe) вне светового конуса будут коммутативны. Эта оговорка, очевидно, никак не сказывается на ин- вариантности ^-матрицы: амплитуды рассеяния как реальные физические величины вообще не могут зависеть от калибровки потенциала (формально эта независимость следует из отмеченной в § 43 калибровочной инвариант- ности интеграла действия). § 73 ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ 325 (с обратным знаком в показателе) в хронологически обратном порядке. Поэтому при перемножении S и *S+ все множители по- парно сокращаются. Обратим внимание на то, что унитарность оператора S обес- печивается в данном случае эрмитовостью гамильтониана. Но требование унитарности имеет в действительности более общий характер, чем предпосылки, лежащие в основе излагаемой тео- рии. Оно должно было бы выполняться и при квантовомехани- ческом описании, не использующем понятий о гамильтониане и волновых функциях.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Хронологическое произведение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Подчеркнем, что в определении G2.4) фигурирует невозмущенный га- 