Общая постановка задачи о столкновениях состоит в том, чтобы по заданному начальному состоянию системы (некоторая совокупность свободных частиц) найти вероятности различных возможных конечных состояний (другие совокупности свобод- ных частиц). Если символ |г) обозначает начальное состояние, то результат столкновения можно представить как суперпозицию где суммирование производится по различным возможным ко- нечным состояниям |/). Коэффициенты этого разложения (f\S\i) (или в краткой записи Sfi) составляют матрицу рассеяния, или S-матрицу . Квадраты \Sfi\2 дают вероятности переходов в определенные состояния |/). В отсутствие взаимодействия между частицами состояние си- стемы не менялось бы, чему соответствовала бы единичная 5-ма- трица (отсутствие рассеяния). Удобно всегда выделять эту еди- ницу, представив матрицу рассеяния в виде Sfi = Sfi + гBтгL^4) (Pf - Pi)Tfi, F4.2) где Tfi — новая матрица. Во втором члене выделена четырехмер- ная E-функция, выражающая закон сохранения 4-импульса (Pi и Pf — суммы 4-импульсов всех частиц в начальном и конечном состояниях); остальные множители введены для удобства в даль- нейшем. В недиагональных матричных элементах первый член в F4.2) выпадает, так что для перехода г —>• / элементы матриц S и Т связаны друг с другом соотношением Sfi = гBтгL^4) (Pf - Pi)Tfi. F4.3) Матричные элементы Т^, остающиеся после выделения E-функ- ции, будем называть амплитудами рассеяния. При возведении модулей \Sfi\ в квадрат появится квадрат E-функции. Его надо понимать следующим образом. E-функция х) От английского слова scattering или немецкого Streuung. § 64 АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ 285 возникает от интеграла ,5D) (Р/ _ p.) = _1_ Г V. / J Если же вычислять другой такой же интеграл при Pf = Pi (в си- лу наличия уже одной E-функции), причем распространить инте- грирование по некоторому большому, но конечному объему V и интервалу времени ?, то получится 1/?/BтгL х) . Поэтому можно написать Разделив на ?, получим вероятность перехода в единицу времени Wi^f = Bтт)?4)(Р/ - Pi)\Tft\2V. F4.5) Каждая из свободных частиц (начальных и конечных) опи- сывается своей волновой функцией — плоской волной с некото- рой амплитудой и (для электрона это — биспинор, для фотона — 4-вектор и т. п.). Амплитуда рассеяния Tfi имеет структуру вида Tfi = и\и% ... Quiu2 ..., F4.6) где слева стоят амплитуды волновых функций конечных, а спра- ва— начальных частиц; Q есть некоторая матрица (по отноше- нию к индексам компонент амплитуд всех частиц). Наиболее важны случаи, когда в начальном состоянии име- ется всего одна или две частицы. В первом случае речь идет о распаде, во втором —о столкновении двух частиц. Рассмотрим сначала распад частицы на произвольное число других частиц с импульсами р'а в элементе импульсного про- странства Yl d3p'a (индекс а нумерует частицы в конечном состо- янии, так что Х]р7а = Р/)- Число состояний, приходящихся на этот элемент (и на нормировочный объем V 2) , есть n BтгK ' На эту величину надо умножить выражение F4.5): dw = Bж)Ч^(Р} - Pt)\Tfl\2Vl[^0. F4.7) 1)Это можно показать иначе, вычислив сначала интеграл по каждой из координат в F4.4) в конечных пределах и затем устремив пределы к беско- нечности с помощью формулы D2.4) (см. III): sin2a^ hm ———— = Tvd(a). ?2 ) Для большей наглядности вычислений в этом параграфе не будем пола- гать нормировочный объем равным единице. 286 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ При этом волновые функции всех частиц, используемые при вычислении матричного элемента, должны быть нормированы на одну частицу в объеме V. Так, для электрона — это плоская вол- на B3.1), для частицы со спином 1 —A4.12), для фотона—D.3). Все эти функции содержат множитель \/y/2eV ^ где е — энергия частицы. Однако в дальнейшем будет удобным условиться пи- сать во всех вычислениях волновые функции частиц без этих множителей (которые включим в выражение для вероятности). Таким образом, электронная плоская волна будет ф = ue-ipx, пи = 2т, F4.8) а фотонная волна А = V^ee~ikx, ее* = -1, ек = 0. F4.9) Вычисленную с такими функциями амплитуду рассеяния обо- значим (в отличие от Tfj) Mfi. Очевидно, что Tfi = ™П -; F4.10) в знаменателе стоит по одному множителю \j2eV на каждую начальную или конечную частицу. В частности, для вероятности распада получим вместо F4.7) dw = Bir)*SW(Pf - Pi)\Mfi\2- TT d3p'a , F4.11) V } V ; ЪП /г| 2s 11 BttK2s^ V J 2s где e — энергия распадающейся частицы; нормировочный объем, как и должно быть, из этой формулы выпал х) . Придадим формуле F4.11) более законченный вид (устранив в ней 6-функции) для случая, когда распад происходит на две частицы (с импульсами р^, р^ и энергиями 6^, е^). В системе покоя распадающейся частицы р[ = —р72 = р7, е\ + е'2 = т, так что имеем dw = -i-IM/^^-^^p; + p!,)^ + 4 - Первая E-функция устраняется интегрированием по d3pf2] диф- ференциал ж:е d?Pi переписываем в виде Н = p'2d\p'\do = \р'^о?-ЩЩ^ F4.12) Если среди конечных частиц имеется N тождественных, то при интегри- ровании по их импульсам (с целью нахождения интегральной вероятности) должен быть введен множитель 1/ЛГ!, учитывающий тождественность со- стояний, различающихся перестановкой частиц. § 64 АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ 287 (в справедливости этой записи легко убедиться, заметив, что ?]_2 — — raf = ?2 — га'22 = р/2). Интегрирование по d(e[ + e'2) устраняет вторую 8-функцию, и получается dw = —-—\Mfi\2\pr\dor. F4.13) Рассмотрим теперь столкновение двух частиц (с импульсами Pi и р2 и энергиями е\ и ?2) c превращением их в совокупность произвольного числа частиц с импульсами р'а. Вместо F4.11) по- лучим теперь dw = BтгL^4) (Pf - is2l/^l BttK2s^ Интересующей нас величиной в этом случае является, одна- ко, не вероятность, а сечение da. Инвариантное (относительно преобразований Лоренца) сечение получается из dw делением на величину 3 = т^—, F4.14) где / обозначает 4-скаляр I = ^{Р1Р2? - m\ml F4.15) (см. II, § 12) 1). В системе центра инерции (pi = —Р2 = р) J=|p|(ei+e2), F4.16) так что ^(L ) ^ F4-17) V что совпадает с обычным определением плотности потока стал- кивающихся частиц (i>i, V2—их скорости) 2) . Таким образом, находим для сечения формулу da = Bn)AS^(Pf - Рг)\Мп\2- ГГ d3p'a . F4.18) 1) На будущее выпишем также выражение для / в виде I2 = i/4[s - (mi + m2f][s - (mi - m2J], F4.15a) где s = (pi +P2J. 2) В произвольной системе отсчета 3 = (l/V)V(vi-v2J-[viv2]2. Это выражение сводится к обычной плотности потока во всех случаях, когда vi || v2: j = |vi -v2\/V. 288 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ Придадим этой формуле окончательный вид, исключив из нее S-функцию для случая, когда в конечном состоянии тоже имеется всего две частицы. Будем рассматривать процесс в си- стеме центра инерции. Пусть е = е\ + ?2 = ?*\ + е^—полная энергия; pi = —Р2 = р и р[ = — р2 = р7 — начальный и конеч- ный импульсы. Устранение о-функции производится так же, как и при выводе F4.13), и получается !?L F4.19) da \Mfi\do 64тг2 \р\е2 (в частном случае упругого рассеяния, когда род частиц при столкновении не меняется, |р'| = |р|). Перепишем эту формулу еще и в другом виде, введя в нее инвариантную величину t = (pi - р[J = т\ + т? - 2(pipi) = = ml + ml - 26167! + 2IP1IIP7!! cos6>, F4.20) где в — угол между pi и р^ В системе центра инерции импуль- сы |pi| = |p| и Ip^l = |p;| определяются одной только полной энергией ?, и при заданном е rft = 2|p||p/|rfcos0. F4.21) Поэтому в F4.19) можно заменить 2|р||р'| где (ip — азимут р'х относительно pi 1). Таким образом, do =-^\Mfl\^df F4.22) 64тг I2 2тг (мы снова ввели инвариант / согласно F4.16)). Азимут <р, а с ним и сечение в форме F4.22) инвариантны относительно преоб- разований Лоренца, не меняющих направление относительного движения частиц. Если сечение не зависит от азимута, формула F4.22) принимает особенно простой вид da = J-\Mfi\2-. F4.23) 64тг J I2 V J Если одна из сталкивающихся частиц достаточно тяжела (и ее состояние в результате столкновения не меняется), то ее роль 1) Поскольку правильный знак дифференциала в подобных случаях оче- виден, будем ниже для простоты писать dt вместо d(—t) и т. п. § 65 АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ 289 в процессе сводится к роли неподвижного источника постоян- ного поля, в котором рассеивается другая частица. В соответ- ствии с тем, что в постоянном поле сохраняется энергия (но не импульс!) системы, при такой трактовке процесса столкновения представим элементы ^-матрицы в виде F4.24) В выражении для \Sfi\2 квадрат одномерной E-функции дол- жен пониматься как [6(Ef - Ei)]2 ^ ±5(Ef - Ei)t. Перейдя затем (как и при выводе F4.11)) к амплитуде Mfi вме- сто Tfi, получим следующее выражение для вероятности про- цесса, в котором одна частица, рассеиваясь в постоянном поле, создает в конечном состоянии некоторое число других частиц: dw = 2тг6(Ег - е)\Мп\2— П BttK2s^ Здесь снова е{= Ei) —энергия начальной частицы, р'а и е'а — им- пульсы и энергии конечных частиц. Сечение же рассеяния полу- чится делением dw на плотность потока j = v/V, где v = |р|/б — скорость рассеиваемой частицы. В результате нормировочный объем снова выпадает из ответа и получается da = 2тг6(Ег - е)\Мп\2— П d*p'a . F4.25) V / Л /*1 2|р| 11 BttK2s^ V J В частном случае упругого рассеяния в конечном состоянии имеется тоже одна частица с тем же (по величине) импульсом и той же энергией. Заменив d3pf —>> p^dlp'ldo' = \p'\s'ds'do' и устранив 8{е' — е) интегрированием по de1\ получим сечение в виде da = -^—\Mfi\2do'. F4.26) 16тг2' /г| V 7 Наконец, если внешнее поле зависит от времени (скажем, поле системы частиц, совершающих заданное движение), то в *5-ма- трице отсутствует также и 6-функция от энергии. Тогда Sfi = = iTfi и после перехода от Tfi к Mfi согласно F4.10) вероятность, например, процесса, в котором поле рождает определенную со- вокупность частиц, будет даваться формулой dw = \МН\2 ТТ d3p'a . F4.27) I /*l 11
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Амплитуда рассеяния» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Квадраты \Sfi\2 дают вероятности переходов в 