Взаимодействие электронов с электромагнитным полем, как правило, может рассматриваться с помощью теории возмуще- ний. Это обстоятельство связано со сравнительной слабостью электромагнитного взаимодействия, выражающейся в малости соответствующей безразмерной «константы связи» — постоянной тонкой структуры а = е2/Не = 1/137. Эта малость играет фун- даментальную роль в квантовой электродинамике. В классической электродинамике (см. II, § 16, 28) электро- магнитное взаимодействие описывается членом -efA^ D3.1) в плотности лагранжиана системы «поле+заряды» (А — 4-потен- циал поля, j — 4-вектор плотности тока частиц). При этом плот- ность тока удовлетворяет уравнению непрерывности V = 0, D3.2) выражающему закон сохранения заряда. Напомним (см. II, § 29), что калибровочная инвариантность теории тесно связана именно с этим законом. Действительно, при замене А^ —>• А^ + д^х D.1) к плотности лагранжиана D3.1) добавляется величина —ej^d^x? которая в силу D3.2) может быть записана в виде 4-дивергенции и поэтому выпадает при интегрировании по d^x в действии S = В квантовой электродинамике 4-векторы j ж А заменяются соответствующими вторично квантованными операторами. При этом оператор тока выражается через ^-операторы согласно j = = ф^ф. Роль обобщенных «координат» q в лагранжиане (jA)d3x играют значения ф^ф^Ав каждой точке пространства. Посколь- ку плотность лагранжиана оказывается зависящей только от са- мих «координат» q (но не от их производных по ж), переход 188 ИЗЛУЧЕНИЕ ГЛ. V к плотности гамильтониана по формуле A0.11) сводится лишь к изменению знака плотности лагранжиана х) . Таким образом, оператор электромагнитного взаимодействия (интеграл по про- странству от плотности гамильтониана взаимодействия) имеет вид V = е / (jA)d3x. D3.3) Оператор свободного электромагнитного поля представляет собой сумму А = YfinAn{x) + <%А*п(х)}, D3.4) П содержащую операторы рождения и уничтожения фотонов в раз- личных состояниях (нумеруемых индексом п). Каждый из них имеет матричные элементы лишь для увеличения или уменьше- ния соответствующего числа заполнения Nn на 1 (при неизмен- ных остальных числах заполнения). Поэтому и оператор А име- ет матричные элементы лишь для переходов с изменением числа фотонов на 1. Другими словами, в первом приближении теории возмущений возникают только процессы однократного излуче- ния или поглощения фотона. Согласно B.15) матричные элементы (Nn - l\cn\Nn) = (Nn\c+\Nn - 1} = у/Щ;. D3.5) Если в начальном состоянии поля фотоны (сорта п) отсутству- ют, то A|с+|0) = 1. Матричный элемент оператора D3.3) для испускания фотона ftA*n)d3x, D3.6) где Ап(х) —волновая функция излучаемого фотона, a jfi — мат- ричный элемент оператора j для перехода излучателя из началь- ного состояния г в конечное / 2) . 4-вектор j% = (р/г J/г) назы- вают током перехода. Аналогичным образом получается матричный элемент для поглощения фотона: Vfl(t) = eJ(jfzAn)d3x. D3.7) Он отличается от D3.6) лишь тем, что вместо А* (х) стоит Ап(х). Независимо от этих рассуждений укажем, что если речь идет лишь о по- правке первого порядка малости, то всякая малая поправка к лагранжиану переходит в гамильтониан лишь с изменением своего знака (см. I, § 40). 2) Обозначения в D3.6) содержат некоторую непоследовательность: индек- сы у Vfi относятся к состояниям всей системы «излучатель+поле», а у jfi — к состояниям одного излучателя. § 44 ОПЕРАТОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 189 Указанием аргумента t у Vfi мы подчеркиваем, что речь идет о зависящем от времени матричном элементе. Выделив в волно- вых функциях временные множители, можно обычным образом перейти к независящим от времени матричным элементам: Vfi(t) = vne-^-EfTu)t D3.8) (Ei, Ef—начальная и конечная энергии излучающей системы; знаки =р соответствуют испусканию и поглощению фотона ио). Волновая функция фотона с определенным импульсом к и определенной поляризацией kr D3.9) (см. D.3); временной множитель опущен). Подставив в D3.6), найдем матричный элемент для испускания такого фотона в виде Vfi = е\/4^=ф-?(к), D3.10) где j/z(k) —ток перехода в импульсном представлении, т. е. ком- поненты Фурье jft(k) = J jft®e-*k43x. D3.11) Аналогичная формула для поглощения фотона: Vfi = eV4^=eMj?(-k). D3.12) Уравнение сохранения тока в импульсном представлении за- писывается в виде условия 4-поперечности токов перехода: M/i = W(k) - кЫк) = 0- D3-13) Написанные в этом параграфе формулы, в которых не пред- определен вид оператора тока, имеют общий характер и справед- ливы для электромагнитных процессов с участием любых заря- женных частиц. Существующая теория дает возможность уста- новить вид оператора тока (и тем самым в принципе вычислить его матричные элементы) лишь для электронов. При применении же к системам сильновзаимодействующих частиц (в том числе к ядрам) мы ограничимся изложением полуфеноменологической теории, в которой токи перехода выступают как заимствуемые из опыта величины, удовлетворяющие лишь общим требованиям пространственно-временной симметрии и уравнению непрерыв- ности.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Оператор электромагнитного взаимодействия» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Независимо от этих рассуждений укажем, что если речь идет лишь о по- 