Уравнение Дирака может быть решено точно для электро- на, движущегося в поле плоской электромагнитной волны (Д. М. Волков, 1937). Поле плоской волны с волновым 4-вектором к (к2 = 0) зави- сит от 4-координат лишь в комбинации ср = кх, так что 4-потен- циал А" = А"(у>), D0.1) причем он удовлетворяет условию калибровки Лоренца д^ = к^А* = 0 (штрих означает дифференцирование по ср). Поскольку посто- янный член в А несуществен, в этом условии можно опустить штрих и записать его в виде кА = 0. D0.2) Исходим из уравнения второго порядка C2.6), в котором тен- зор поля F^ = к^А1, - КА1^. D0.3) При раскрытии же квадрата (id — еАJ надо учесть, что в силу D0.2) дц(А^ф) = А^д^ф. В результате получим уравнение [-д2 - 2ie(Ad) + е2А2 - т2 - ie(jk)(jA')]^ = 0 D0.4) Ищем решение этого уравнения в виде ф = e-ipxF((p), D0.5) 176 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ ГЛ. IV где р— постоянный 4-вектор. Прибавление к р любого векто- ра вида const • к не меняет такого вида функции ф (требуется лишь соответствующее переобозначение функции F((p)). Поэто- му можно без ограничения общности наложить на р одно допол- нительное условие. Пусть р2 = т2 D0.6) Тогда при выключении поля квантовые числа р^ переходят в компоненты 4-импульса свободной частицы. Смысл компонент 4-вектора р при наличии поля более нагляден в специальной си- стеме отсчета, выбранной так, чтобы было Aq = 0. Пусть в этой системе вектор А направлен по оси ж1, а к —по оси х3 (т. е. электрическое поле волны направлено по ж1, магнитное — по ж2, а сама волна распространяется вдоль оси ж3). Тогда D0.5) будет собственной функцией операторов Pi =2 — , Р2 = г — , р0 -р3 = г [ — - — 1 ох1 ох2 \дхо ох6/ с собственными значениями р\, р2, ро — Рз (сами же эти операто- ры, как легко видеть, коммутативны с гамильтонианом уравне- ния Дирака). Таким образом, в данной системе отсчета р1, р2 — компоненты обобщенного импульса вдоль осей ж1, ж2, а р° — р3 — разность между полной энергией и компонентой обобщенного импульса вдоль оси ж3. При подстановке D0.5) в D0.4) замечаем, что d»F = k»F', d^F = k2F" = 0, и находим для F(cp) уравнение 2i(kp)Ff + [-2е(рА) + е2А2 - ie(jk)(^Af)}F = 0. Формальное решение этого уравнения кх { -ъ [ \-?-{рА) - ^А2} dip + ^ММ I У [(кр)ур } 2(кР) \ * 2(кР) ( где и/л/2ро—произвольный постоянный биспинор (о форме его записи см. ниже). Все степени (/ук)(/уА) выше первой равны нулю, поскольку = -G*0G*0Ы)Ы) + 2(kA)(jk)(jA) = -к2 А2 = 0. Поэтому можно заменить 1+ 2{кр) 2{кр) § 40 ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ 177 так что ф принимает вид где х) кх jj^ [(РА) - е-А2] dip. D0.8) о Для выяснения условий, налагаемых на постоянный биспи- нор и, следует считать, что волна бесконечно медленно «вклю- чается», начиная от t = —оо. Тогда А —>> 0 при кх —>> —оо и ф должно переходить в решение свободного уравнения Дирака. Для этого и = и(р) должно удовлетворять уравнению GР - т)и = 0. D0.9) Этим условием отбрасываются «лишние» решения уравнения второго порядка. Так как и не зависит от времени, это условие остается в силе и при конечных кх. Таким образом, и(р) совпада- ет с биспинорной амплитудой свободной плоской волны; будем предполагать ее нормированной тем же условием B3.4): пи = = 2га. Изложенные рассуждения позволяют также сразу выяснить нормировку волновых функций D0.7). Бесконечно медленное включение поля не меняет нормировочного интеграла. Отсюда следует, что функции D0.7) удовлетворяют тому же условию нормировки /» у7°^М3я = BтгK5(р/ - р), D0.10) что и свободные плоские волны. Найдем плотность тока, отвечающую функциям D0.7). Заме- тив, что прямым перемножением получим f = ФРГФР = ~ {р" " еА* + к» (е-^- - ?f-) } . D0.11) Если А^(ср) периодические функции и их среднее (по времени) значение обращается в нуль, то среднее значение плотности тока D0.12) 1) Выражение для S совпадает с классическим действием для частицы движущейся в поле волны (ср. II, § 47, задача 2). 178 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ ГЛ. IV Найдем также плотность кинетического импульса в состоя- нии фр. Оператор кинетического импульса есть разность р—еА = = id — eA. Прямым вычислением найдем 8(кр)ро ™х D0.13) Среднее по времени значение этого 4-вектора, которое обозначим через </м, есть 2 Его квадрат: q2 = m^, m* = mi/1 - —A2; D0.15) V m2 m* играет роль «эффективной массы» электрона в поле. Сравнив D0.14) и D0.12), мы видим, что ? = ч^/ръ. D0.16) Отметим также, что условие нормировки D0.10), выраженное с помощью вектора q, имеет вид ( q) D0.17) Ро (переход от D0.10) к D0.17) проще всего произвести в указанной выше специальной системе отсчета).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Электрон в поле плоской электромагнитной волны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
