Система волновых функций непрерывного спектра для рассеяния в кулоновом поле
В дальнейшем (см. § 95, 96) будут рассмотрены различные неупругие процессы, происходящие при рассеянии ультрареля- тивистских электронов в поле тяжелого (Za ~ 1) ядра. Для вы- числения соответствующих матричных элементов нам понадо- бятся волновые функции, асимптотическая (при г —>> оо) форма которых складывается из плоской и сферической волн. Мы увидим, что в ультрарелятивистском случае (энергия электрона е ^> га) основную роль в рассеянии играют передачи импульса (от электрона ядру) q = |р7 — р| ~ га. Этим значениям q отвечают «прицельные расстояния» р ~ 1/q ~ 1/га, причем электрон отклоняется на углы 2) 0~1~™. C9.1) р е В терминах координат г (расстояние от центра) л z = r cos в это означает область р = rsm6 ~ 1/ra, p(r — z) = pr(l — cos в) ~ 1. C9.2) При этом г ~ е/гп2, т. е. мы имеем дело с областью больших расстояний. Напишем уравнение Дирака в виде (б - U - тр + госЧ)ф = О, U = -Za/r. C9.3) Преобразуем его в уравнение второго порядка, для чего приме- ним к C9.3) оператор (е — U + mf3 — iaV): (А + р2 - 2еи)ф = {-iocVU - 112)ф. C9.4) Поскольку в рассматриваемой области г ^> Za/e, то U <^ е. В первом приближении можно пренебречь в C9.4) правой ) Это видно и непосредственно из уравнений C8.1), поскольку для кулоно- ва поля заменой г —»¦ г' /е энергию е можно вообще устранить из уравнений. 2) В этом параграфе р обозначает |р|. 172 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ стороной. Остающееся уравнение по форме совпадает с нерелятивистским уравнением Шрединге- ра в кулоновом поле J-Д + ? + ^) ф = О, C9.5а) 2т 2т г / отличаясь от него лишь очевидным изменением обозначения параметров (в «потенциальной энергии»—лишний множитель е/т). Поэтому мы можем сразу написать его решение, имеющее требуемый асимптотический вид (см. III, § 136). Так, волновая функция, содержащая асимптотически плос- кую (ос егрг) и расходящуюся сферическую волны, имеет вид C9.6) Р ) где F — вырожденная гипергеометрическая функция, а и?р — постоянная биспинорная амплитуда плоской волны, нормирован- ная принятым нами условием B3.4) п?ри?р = 2т. C9.7) Волновая функция C9.6) нормирована таким образом, что плоская волна в ее асимптотическом выражении имеет обычный вид и?р грг отвечающий одной частице в единичном объеме. Поскольку в ультрарелятивистском случае р ~ ?, в C9.6) можно положить Zae/p ~ Za\ = C^Le^F (iZa, I, %{pr - pr)), C9.8) Обратим внимание на то, что хотя мы рассматриваем рассто- яния настолько большие, что рг ^> 1, заменить в C9.8) гипергео- метрическую функцию ее асимптотическим выражением нельзя: аргументом функции F является не рг, а величина pr(l — cos б), не предполагающаяся нами большой . :)В т. III, § 135 мы интересовались сколь угодно большими г, и поэтому такая замена была возможна для любых углов в. § 39 ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ 173 В применениях оказывается необходимым также следующее приближение в ф, которое имеет спинорную структуру, отлич- ную от структуры C9.8) (сводящейся к множителю и?р). Для его вычисления пишем ф в виде В правой стороне уравнения C9.4) сохраняем теперь член с пер- вой степенью U и для функции ср получаем уравнение (А + 2ipV - 2eU)<p = -iuep(aVU)F. C9.9) Его решение можно найти, заметив, что функция F удовлетво- ряет уравнению (А + 2ipV - 2eU)F = 0 (в чем можно убедиться, подставив C9.6) в C9.5)). Применив к этому уравнению операцию V, получим (А + 2ipV - 2eU)VF = 2eFVU. Сравнив с уравнением C9.9), найдем <р = ~(<xV)uepF. Выпишем окончательное выражение для ф^ и для такой же функции ф^~\ содержащей в своем асимптотическом выражении сходящуюся сферическую волну: ф<?> = ^=/pr (l - gv) F(iZa, 1, i(pr - pr))uep, = -5=e*Pr (l - ^V) F(-iZa, 1, -i(pr + pr))u?p, C9.10) J IS V As С = ^Za>2Y{\ - iZa) (W. H. Furry, 1934). Выпишем также аналогичные функции (ф_?_р) с «отрицательной частотой», которые понадобятся при рассмотрении процессов с участием позитронов. Их можно по- лучить из функций ф?р заменой р—)>— р,?—)>— ?, причем р = = |р| не меняется (в силу последнего обстоятельства параметр iZa гипергеометрической функции меняет знак, как это видно из первоначального выражения C9.6), в котором этот параметр фигурирует в виде iZae/p). Таким образом, получим C9.11) fe V) F(~iZa, 1, i(pr + g V) F(iZa, 1, -i(pr - 174 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ ГЛ. IV По поводу произведенных вычислений надо еще сделать сле- дующее замечание. Поставленное нами асимптотическое условие само по себе отнюдь не достаточно для однозначного выбора ре- шения волнового уравнения (это ясно хотя бы из того, что всегда можно добавить к ф, не нарушая этого условия, любую кулонову расходящуюся сферическую волну). Написав решение уравнения C9.5) в виде C9.6), мы тем самым молчаливо подразумевали вы- бор решения, конечного при г = 0. Такое требование было необ- ходимым в III, § 135, 136, где рассматривались решения точного уравнения Шредингера, справедливые во всем пространстве г) . В данном же случае уравнение C9.5) относится лишь к большим расстояниям, и потому произведенный отбор решения нуждается в дополнительном обосновании. Оно дается тем фактом, что большим «прицельным расстоя- ниям» р = г sin в соответствуют большие орбитальные моменты / и малые углы рассеяния в: при р ~ 1/га имеем / ~ рр ~ ре ~ е/т ^> 1, а угол в можно оценить квазиклассическим способом: p J dr Это значит, что в разложении ф по сферическим волнам будут фигурировать (в рассматриваемой области г и в) в основном вол- ны с указанными большими значениями /. Но сферическая волна с большим / заведомо убывает до малых значений при приближе- нии к началу координат на «классически недостижимые» (бла- годаря центробежному барьеру) расстояния г <С l/е. Поэтому, если производить «сшивание» решения уравнения C9.5) с реше- нием точного уравнения C9.4) на малых расстояниях при г ~ ri, где //'е ^> г\ ^> Za/e, то граничное условие для решения урав- нения C9.5) будет заключаться в требовании его малости, чем и оправдывается сделанный нами выбор.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Система волновых функций непрерывного спектра для рассеяния в кулоновом поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 