Напишем асимптотическое выражение для волновой функ- ции частицы, рассеивающейся в поле неподвижного силового центра, в виде ф = иерё1р* + и'ер,ё1рг/г. C7.1) Здесь и?р — биспинорная амплитуда падающей плоской волны. Биспинор же и' , является функцией направления рассеяния п7, а при каждом заданном значении п7 совпадает по форме (но, конечно, не по нормировке!) с биспинорной амплитудой плоской волны, распространяющейся в направлении п7. Мы видели в § 24, что биспинорная амплитуда плоской вол- ны полностью определяется заданием двухкомпонентной вели- чины — 3-спинора w, представляющего собой нерелятивистскую волновую функцию в системе покоя частицы. Через этот спинор выражается и плотность потока: она пропорциональна w*w (с ко- эффициентом пропорциональности, зависящим только от энер- гии е и, следовательно, одинаковым для падающих и рассеянных *) В § 37, 38 р обозначает |р|, а в качестве индексов у амплитуды пишем отдельно вир. § 37 РАССЕЯНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 167 частиц). Поэтому сечение рассеяния da = (wf*w'/w*w)do или, ес- ли (как и в § 24 нормировать падающую волну условием w*w = 1, da = w'*w'do. Введем оператор рассеяния / согласно определению w' = fw. C7.2) Ввиду двухкомпонентности величин w, wf определенный таким образом оператор аналогичен операторной амплитуде рассеяния, фигурирующей в нерелятивистской теории рассеяния с учетом спина (см. III, § 140). Поэтому непосредственно переносятся сюда полученные там формулы, выражающие оператор через фазо- вые сдвиги волновых функций в рассеивающем поле. Надо лишь произвести переобозначение этих фаз, выразив введенные в III, § 140 сдвиги 6^ и 6^ через фазовый сдвиг 6^, фигурирующий в релятивистской формуле C5.7). Напомним, что фазы 6^~ и 6^ относились к состояниям с орбитальным моментом / и полным моментом j = / + Y2 и j = / — Y2. Согласно определению C5.3) ус = — / — 1 при j = / + Y2 и ус = / при j' = I — Y2. Поэтому мы должны переобозначить (и помнить, что индекс у S задает теперь значение числа х!). Таким образом, получим следующие формулы: Т=А + Ви<т, C7.3) (X) А = i~ Y№ + 1)^Ш-1-1 - 1) + К*™1 - 1)№(cos0), C7.4) гр i=o В = ±Y(e2iS-'-i - e2iSl)Pl(cose), C7.5) 2ptt где v — единичный вектор в направлении [пп']. Поскольку w — спинорная волновая функция в системе по- коя, то и поляризационные свойства рассеяния описываются с помощью / теми же формулами, что и в III, § 140. В случае кулонова поля оказывается возможным выразить обе функции А (в) и В (в) через одну. Укажем вкратце ход соот- ветствующих вычислений . Gluckstern R. L., Lin S.R.//J. Math. Phys. —1964.—Vol. 5. —P. 1594. 168 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ ГЛ. IV Для кулонова поля фазы 6^ даются формулой C6.18), кото- рую представим в виде —:Скч 1 C7.6) ГG + 1 + iv) (замечаем, что еш1 = еш™ при к > 0 и еш1 = — еш™ при к < 0). С помощью введенных таким образом величин ряды C7.4), C7.5) могут быть представлены в виде А(в) = X-G{d)-i^^F{d), Р , п Р г,* п C7-7) где оо оо G{9)=l-Yjl2Cl{Pl + Pl-l), F{9)=l-Y^lCl{Pl-Pl-l). C7.8) 1 = 1 1 = 1 При преобразовании ряда В (в) использованы следующие рекур- рентные соотношения между полиномами Лежандра: Pl + Р1г = ctg в- ¦ l{Pt - Pi-г), C7.9) P?-P?L1 = tgl.l(Pi + Pi-1). C7.10) С другой стороны, в силу тождества )[ dcosO = l[Pi(cose) + Pi-1(cos9)} C7.11) функции F{0) и G{0) связаны друг с другом соотношением G = A - cos^ = -ctg- — . 37.12 dcosO 2 d6 Тем самым А (в) и В (в) оказываются выраженными через одну функцию F{9) x) . х) Функция FF) не выражается в замкнутом виде через элементарные функции. Однако ее можно записать в виде определенного двойного ин- теграла— см. указанную выше статью.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Рассеяние в центрально-симметричном поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
