Будем искать функции / и g в виде где введены обозначения р = 2Аг, А = л/ш2-?2, 7 = V*2 - Z2a2. C6.4) Такая форма представляется естественной ввиду известного уже нам поведения функций при р —>> 0 C6.2) и их экспоненциального затухания (~ е~р'2) при /э —>• оо. Поскольку при /э —>• оо первое равенство C5.9) должно выполняться и в случае кулонова поля, следует ожидать, что при р —>• оо будет Qi ^> Q2- Подставив C6.3) в C5.4), получим уравнения p(Qi+ Q2)' + (т + x)(Qi + Q2) - PQ2 + ZaJz^iQ!- Q2) = 0, (штрих означает дифференцирование по р). Их сумма и разность дают )Q + [H C6 5) Р) Q2+[K+ —^) Ql = 0, или, после исключения Q\ или Q2, pQi + B7 + 1 - p)Q'i - G - ^f) Qi = о, pQ'2' + B7 + 1 - p)Q'2 - G + 1 - ^f) Q2 = 0 (надо учесть, что 72 — (Zae/XJ = ж2 — (Zam/XJ). Решение этих уравнений, конечное при р = 0: C6.6) 6 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY 162 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ ГЛ. IV где F(a, /3, z) — вырожденная гипергеометрическая функция. По- ложив в каком-либо из уравнений C6.5) /9 = 0, найдем связь между постоянными А ж В: В = -7"Za?/AA C6.7) к — Zam/X Обе гипергеометрические функции в C6.6) должны сводить- ся к полиномам (в противном случае они будут возрастать при р —>• оо как е^, а с ними будет возрастать — как ер'2 — и вся вол- новая функция). Функция F(a,f3,z) сводится к полиному, если параметр а равен целому отрицательному числу или нулю. Обо- значим 7- Zae/X = -nr. C6.8) Если пг = 1, 2, ... , то обе гипергеометрические функции сводят- ся к полиномам. Если же пг = 0, то сводится к полиному лишь одна из них. Но равенство пг = 0 означает, что 7 = Zas/X, и тогда, как легко проверить, Zam/X = |х|. Если к < 0, то коэф- фициент В C6.7) обращается в нуль, так что Q2 = 0, и требуемое условие не нарушается. Если же х > 0, то В = — А, и Q2 остается при пт = 0 расходящейся функцией. Таким образом, допустимы следующие значения квантового числа пт\ _ Г 0, 1, 2, ... при х<0; ,эдоч Пт - \ 1, 2, 3, ... при х>0. ^D-yJ Из определения C6.8) находим теперь следующее выражение для дискретных уровней энергии: ~ = f1 + ^а)\ 2I * C6Л0) В частности, энергия основного уровня Is у2 (|х| = 1, пг = 0): ei = ту/1 - (ZaJ. При Za <C 1 первые члены разложения формулы C6.10) да- ют m 2(|x|+nrJ [ \к\ +пг [\>с\ Щх\+пг) Обозначив пг + \к\ = п (= 1, 2, ... ) и заметив, что |х| = J+V2, мы вернемся к формуле C4.4), полученной нами ранее с помощью теории возмущений. Как уже было указано в конце § 34, дальней- шие члены этого разложения не имеют смысла, поскольку они заведомо перекрываются радиационными поправками. Формула C6.10), однако, имеет смысл в своем точном виде при Za ~ 1. § 36 ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ 163 Отметим, что обнаруживаемое приближенной формулой C4.4) двукратное вырождение уровней сохраняется и в точной фор- муле: поскольку в нее входит лишь |х|, уровни с разными / при одном и том же j по-прежнему совпадают. В волновой функции нам осталось еще определить общий нормировочный коэффициент А. Как всегда, волновая функ- ция дискретного спектра должна быть нормирована условием / \ф\2 d3x = 1; для функций / и g это означает условие (/2+g2)r2rfr = l. Коэффициент А проще всего найти по асимптотическому виду функций при г —>> оо. С помощью асимптотической формулы (см. Ill, (d. 14)) находим Сравнив эту формулу с выражением C6.22), которое будет най- дено ниже, определим А. Собрав затем полученные формулы, выпишем окончательные выражения для нормированных волно- вых функций: S 1 ±BАK/2 Г (m±g)rB7 + nr + l) I 1 ) ГB7 + 1) [4,m(Zam/X)(Zam/X-x)nr\\ x{(^-x)F(-nr,27 + l,2Ar)TnrF(l-nr,27 + l C6.11) (верхние знаки относятся к /, нижние — к g).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Дискретный спектр (е < m)» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
