Рассмотрим трансформационные свойства различных били- нейных форм, которые можно составить из компонент функций фиф*. Такие формы вообще имеют большое значение в кванто- вой механике; к их числу относится и 4-вектор плотности тока B1.11). Поскольку фиф* имеют по четыре компоненты, из них можно составить 4-4 = 16 независимых билинейных комбинаций. Клас- сификация этих величин по их трансформационным свойствам очевидна из перечисленных в § 19 способов перемножения двух произвольных биспиноров (которыми в данном случае являются ф и ф*). Именно, можно составить скаляр (обозначим его через S), псевдоскаляр (Р), смешанный спинор второго ранга, эквива- лентный истинному 4-вектору V^ (четыре независимых величи- ны), смешанный спинор второго ранга, эквивалентный 4-псевдо- вектору А^ D величины), и биспинор 2-го ранга, эквивалентный антисимметричному 4-тензору Т^у (шесть величин). В симметричном виде (для любого представления ф) эти ком- бинации записываются следующим образом: S = фф, Р = гф^ф, V* = ф^ф, А^ = ф^^ф, Т^ = Щ)о^ф, B8.1) где a^ = iG/i7l/-7V) = (a,iS) B8.2) (перечисление компонент в B8.2) по A9.15)) . Все написанные выражения вещественны. Скалярность и псевдоскалярность величин S и Р очевидна из их спинорного представления: что как раз соответствует выражениям A9.7) и A9.8). Вектор- ный характер величин V^ очевиден после этого из уравнения Дирака: умножив равенство р^^ф = тпф слева на ф, получим поскольку справа стоит скаляр, скаляром должно быть и выра- жение в левой части. Правило составления величин B8.1) очевидно: они составля- ются так, как если бы матрицы 7^ образовывали 4-вектор, 75 1) При унитарном преобразовании ф (изменении представления) имеем ф^Щ, -y^U-ylT1, ф^фи~\ и инвариантность билинейных форм при таких преобразованиях очевидна. § 28 БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ 127 было псевдоскаляром, а стоящие с обеих сторон фиф образо- вывали вместе скаляр г) . Отсутствие билинейных форм, кото- рые имели бы характер симметричного 4-тензора, очевидное из спинорного представления, ясно и из этого правила: поскольку симметричная комбинация матриц 7^7^ + 7^7^ = 2g^^, то такая форма свелась бы к скаляру. Вторично-квантованные билинейные формы получаются за- меной в B8.1) ^-функций ^-операторами. Для большей общнос- ти будем считать, что два ^-оператора относятся к полям раз- личных частиц; будем различать их индексами а и Ь. Выясним, как преобразуются такие операторные формы при зарядовом со- пряжении. Замечая, что 2) фс = ис% %С = и?ф, B8.3) имеем, используя B6.3) и B6.21): ФаФъ = При перестановке операторов к исходному порядку (ф слева от ф) в силу правил коммутации Ферми B5.4) изменится знак про- изведения (и, кроме того, появятся члены, не зависящие от состо- яния поля, которые опускаем, как и при аналогичных выводах в § 13). Таким образом, получим Преобразовав аналогичным образом также и остальные формы, найдем, что при зарядовом сопряжении 3) аЬ ~^ 1Ьа ' «Псевдоскалярность» j5 сама соответствует этим правилам, поскольку 2) Для получения второго равенства из первого пишем ~ТС Гг7-*/Т 0*\1 О ~0Г7-* ОТ ~0Г7-+ ОТ ~0 0*Г7-+^ Г7-+Т <ф = \Uc(il>J )J 7 = 7 Ucl Ф = ~1 USJ ^ = 77 ЩФ = исФ (использованы B6.3), B6.21) и эрмитовость 7°)- 3) Обратим внимание на то, что для билинейных форм, составленных из ^-функций (а не ^-операторов), преобразования B8.4) имели бы обратный знак, поскольку возвращение к исходному порядку множителей ф и ф не сопровождалось бы изменением знака. 128 фермионы Аналогичным образом выясняется поведение тех же форм при обращении времени. При этом надо помнить (см. 13), что эта операция связана с изменением порядка расположения опе- раторов, и поэтому,например, Подставив сюда фт = [/"г?, ?Т = -и$ф, B8.5) получим {фаФъ) = -фь&ти^фа = фьиТи^фа = фЬфа- Рассмотрев таким же образом остальные формы, найдем Sab^Sba, Раь^-Рьа, (V0, V)ab -»¦ (V0, -\)ba, ,,. 1 : ^ ^ ^ ^ ^ B8.6) (А°,А)аЬ -»• (А0, -А)ьа, Т% = (р,а)а6 -> (р, -a)te (р, а —трехмерные векторы, эквивалентные компонентам Т^ согласно A9.15)). При пространственной же инверсии, в соответствии с тензор- ным характером величин , р Sab^ Sab, Pab "»¦ -Р<Л, (V°, V)ab ~* (V°, -V)eb, ' (A0, A)ab -+ (-A0, A)ab, T% = (p, a)a6 ^ (-p, a)a6. Наконец, совместное применение всех трех операций оставляет все Sab, РаЬ) Т^ неизменными и меняет знак всех V^, A^ что как раз соответствует смыслу этого преобразования как 4-инвер- сии: поскольку 4-инверсия эквивалентна повороту 4-системы ко- ординат, то по отношению к ней нет разницы между истинными и псевдотензорами любого ранга. Рассмотрим попарные произведения билинейных форм, со- ставленных из четырех различных функций фа, фь, фс, фA. Мы получим различные результаты в зависимости от того, какие па- ры этих функций перемножаются между собой. Оказывается, однако, возможным свести всякое такое произведение к произ- ведениям билинейных форм с фиксированными парами множи- телей (W. Pauli, M. Fierz, 1936). Выведем соотношение, лежащее в основе такого приведения. Во избежание недоразумений напомним, что преобразования Т и Р тре- буют также изменения аргументов функции; правые стороны (преобразо- ванные формы в B8.6), B8.7)) — функции соответственно от хт = (-*,г), хР = (*,- если левые стороны — функции от х = § 28 БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ 129 Рассмотрим совокупность четырехрядных матриц 1, 75, 7^, ^75, 1°"" B8.8) A — единичная матрица). Перенумеровав эти 16 (= 1 + 1+4 + + 4 + 6) матриц в какой-либо определенной последовательности, обозначим их посредством 7 (А = 1,..., 16), а те же матрицы с опущенными 4-тензорными индексами (/i,z/) посредством 7А- Они обладают следующими свойствами: A А А iA7B = ^- B8.9) В силу последнего из этих свойств матрицы jA линейно незави- симы. Поскольку же их число равно числу D • 4) элементов че- тырехрядной матрицы, матрицы 7 составляют полную систему, по которой может быть разложена произвольная четырехрядная матрица Г: r = ^CA7A, cA = iSp7Ar, B8.10) А или в раскрытом виде с матричными индексами (г, А; = 1, 2, 3,4): Предположив, в частности, что матрица Г содержит всего один отличный от нуля элемент (Г/т), получим искомое соотношение («условие полноты») j. B8.11) А Умножая это равенство с обеих сторон на ф^ ф^,фтф^1 имеем (фаф*)(фсфь) = I ^(фа1АфЬ)(фС1Аф")- B8.12) А Это —одно из равенств указанного выше типа: оно сводит про- изведение двух скалярных билинейных форм к произведениям форм, составленных из других пар множителей . Другие равенства этого типа можно получить из B8.12), за- меняя ф* -> ^вфа, фЬ -> 7е'ФЬ Напомним во избежание недоразумений, это здесь имеются в виду фор- мы, составленные из ^-функций. Для форм, составленных из антикоммути- рующих ^-операторов, знак преобразования был бы обратным. 5 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY 130 ФЕРМИОНЫ и пользуясь разложением (см. задачу) R Укажем здесь для дальнейших ссылок также и аналогичное B8.11) соотношение для двухрядных матриц. Полную систему линейно независимых двухрядных матриц аА (А = 1,... ,4) со- ставляют l,ax,ay,az. B8.13) Для них SpH = 0 (И^1), -SpaAaB = 6АВ. B8.14) Условие полноты: Saryfa = A/2) Yl °«Р°*>1 = A/2)<Та^*у + (V2)*a/3^7 B8-15) (а, /б, • • • = 1,2) или иначе: ^. B8.16)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Билинейные формы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Все написанные 