В нерелятивистской теории частица с произвольным спином s описывается Bз+1)-компонентной величиной — симметричным спинором ранга 2s. С математической точки зрения это — вели- чины, реализующие неприводимые представления группы про- странственных вращений. В релятивистской теории эта группа выступает лишь как под- группа более широкой группы четырехмерных вращений — груп- пы Лоренца. В связи с этим возникает необходимость в постро- ении теории четырехмерных спиноров D-спиноров)—величин, осуществляющих неприводимые представления группы Лорен- ца; ее изложению посвящены § 17-19. При этом в § 17, 18 рас- сматривается лишь собственная группа Лоренца, не содержащая пространственной инверсии; последняя будет рассмотрена в § 19. Теория 4-спиноров строится аналогично теории трехмерных спиноров (В. L. van der Waerden, 1929; G. E. Uhlenbeck, O. La- porte, 1931). Спинор ^а есть двухкомпонентная величина (а = 1,2); как компоненты волновой функции частицы со спином lfe t;1 и ?2 отвечают собственным значениям ^-проекции спина, равным со- ответственно + х/2 и — lfe. При всяком преобразовании (собствен- ной) группы Лоренца две величины ^, ?2 преобразуются друг через друга: Коэффициенты а, /3, 7? ^ — определенные функции углов пово- рота 4-системы координат, подчиненные условию ш5-/37 = 1, A7.2) т. е. определитель бинарного преобразования A7.1) равен 1, как и определители преобразований координат в группе Лоренца. В силу условий A7.2) билинейная форма ^S2 — ^S1 (где ^а и?- два спинора) инвариантна относительно преобразования A7.1) (она отвечает частице со спином 0, «составленной» из двух частиц со спином 1/2)- Для естественной записи таких инвариант- ных выражений наряду с «контравариантными» компонентами 84 фермионы спинора t;a вводятся также и «ковариантные» компоненты ?а. Переход от одних к другим совершается с помощью «метриче- ского спинора» gap x) : U=gapZli, A7-3) где так что Тогда инвариант ^S2 — ^S1 записывается в виде скалярного произведения ?aSa. При этом ?aSa = —?aSa. До сих пор перечисленные свойства формально совпадали со свойствами трехмерных спиноров. Разница, однако, возникает при рассмотрении комплексно-сопряженных спиноров. В нерелятивистской теории сумма фгфи+ф2ф2*, A7.6) определяющая плотность вероятности локализации частиц в про- странстве, должна была быть скаляром, а для этого компоненты фа* должны были преобразовываться как ковариантные компо- ненты спинора; другими словами, преобразование A7.1) должно было быть унитарным (а = 5*, /3 = —7*)- В релятивистской же теории плотность частиц не является скаляром; она пред- ставляет собой временную компоненту 4-вектора. В связи с этим указанное требование отпадает и на коэффициенты преобразова- ния не накладывается теперь никаких дополнительных (помимо A7.2)) условий. Четыре комплексные величины а, /3, 7? 8 ПРИ одном лишь условии A7.2) эквивалентны 8 — 2 = 6 веществен- ным параметрам —в соответствии с числом углов, определяю- щих вращение 4-системы координат (повороты в шести коорди- натных плоскостях). Таким образом, комплексно-сопряженные бинарные преобра- зования оказываются существенно различными, так что в реля- тивистской теории существует два типа спиноров. Чтобы разли- чить эти типы, приняты специальные обозначения: индексы спи- норов, преобразующихся по формулам, комплексно-сопряжен- ным формулам A7.1), записываются в виде цифр с точками над ними (пунктирные индексы). Таким образом, по определению, ^~?а*, A7.7) 1) Спинорные индексы будем обозначать первыми буквами греческого ал- фавита: а, /3, 7, • • • § 17 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ СПИНОРЫ 85 где знак ~ означает «преобразуется как». Другими словами, фор- мулы преобразования «пунктирного» спинора: ,/'= «У +/ЗУ, ^'^У+сГу. A7.8) Операции опускания и поднимания пунктирных индексов производятся так же, как и для непунктирных индексов: 7/1=7/2, т = -г]1. A7.9) По отношению к пространственным вращениям поведение 4-спиноров совпадает с поведением 3-спиноров. У последних, как мы знаем, ф^ ^ фа. В силу определения A7.7) 4-спинор щ ве- дет себя, следовательно, при вращениях как контравариантный 3-спинор фа. Собственным значениям проекции спина lfe и —lJ2 соответствуют поэтому ковариантные компоненты гц ищ. Спиноры высших рангов определяются как совокупности ве- личин, преобразующихся как произведения компонент несколь- ких спиноров первого ранга. При этом среди индексов спинора высшего ранга могут быть как пунктирные, так и непунктирные. Например, существует три типа спиноров второго ранга: Тем самым указание одного лишь полного ранга спинора недо- статочно для однозначного определения этого понятия; мы будем поэтому при необходимости указывать ранг в виде пары чисел (к, I) —числа непунктирных и числа пунктирных индексов. Поскольку преобразования A7.1) и A7.8) алгебраически не- зависимы, нет необходимости фиксировать последовательность пунктирных и непунктирных индексов (в этом смысле, напри- мер, спиноры (а@ и ^а — одно и то же). Для того чтобы иметь инвариантный характер, всякое спи- норное равенство должно содержать с обеих сторон одинаковое число непунктирных и пунктирных индексов; в противном слу- чае оно заведомо нарушится при переходе от одной системы от- счета к другой. При этом надо помнить, что комплексное сопря- жение подразумевает замену пунктирных индексов непунктир- ными и наоборот. Поэтому имеет инвариантный характер соот- ношение г]а@ = (?а^) между двумя спинорами. Свертывание спиноров или их произведений может произво- диться лишь по парам индексов одинакового рода —двум пунк- тирным или двум непунктирным. Суммирование же по паре ин- дексов различного рода —не инвариантная операция. Поэтому из спинора 86 ФЕРМИОНЫ симметричного по всем к непунктирным и по всем / пунктирным индексам, нельзя образовать спинор более низкого ранга (на- помним, что упрощение по паре индексов, относительно которых спинор симметричен, дает в результате нуль). Это значит, что из величин A7.10) нельзя составить меньшего числа каких-либо их линейных комбинаций, которые бы преобразовывались друг че- рез друга при всех преобразованиях группы. Другими словами, симметричные 4-спиноры реализуют неприводимые представле- ния собственной группы Лоренца. Каждое неприводимое пред- ставление задается парой чисел (/с, /). Поскольку каждый спинорный индекс пробегает два значе- ния, имеется к + 1 существенно различных наборов чисел «1«2 • • • OLk в A7.10) (содержащих 0, 1, 2, ... , к единиц и /с, к — 1, ... , 0 двоек) и / + 1 наборов чисел $\$2 • • • $1- Всего, следователь- но, симметричный спинор ранга (/с, /) имеет (fc + l)(Z + l) незави- симых компонент; это и есть размерность осуществляемого им неприводимого представления.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Четырехмерные спиноры» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
