В релятивистской теории орбитальный момент 1 и спин s движущейся частицы не сохраняются каждый в отдельности. Сохраняется лишь полный момент j = 1 + s. He сохраняется поэтому и проекция спина на какое-либо заданное направление (ось z\ и поэтому эта величина не может служить для пере- числения поляризационных (спиновых) состояний движущейся частицы. Сохраняется, однако, проекция спина на направление им- пульса: поскольку 1 = [гр], то произведение sn совпадает с со- храняющимся произведением jn (n = р/|р|). Эту величину на- зывают спиралъностъю 3) (мы уже рассматривали ее для фото- на в § 8). Ее собственные значения будем обозначать буквой А (А = —s,..., +s), а состояния частицы с определенными значе- ниями А будем называть спиральными состояниями. Пусть фр\ — волновая функция (плоская волна), описываю- щая состояние частицы с определенными р и A, a w '(p)—ее амплитуда; для краткости обозначений мы не выписываем ин- дексы компонент этой функции (для целого спина это — 4-тен- зорные индексы). Мы видели в предыдущих параграфах, что при релятивист- ском описании частиц с отличным от нуля (целым) спином при- ходится вводить волновую функцию с числом компонент, пре- вышающим 2s + 1. Однако число независимых компонент при этом остается равным 2s + 1; «лишние» компоненты устраня- ются наложением дополнительных условий, в силу которых эти х)См. Fierz M.,Pauli W.//Pioc. Roy. Soc. —1939. — V. A 173. —P. 211. В этой работе указанная программа проведена для частиц со спином 3/2 и 2. 2) Содержание этого параграфа относится к частицам с любым (целым или полу целым) спином. ) В английской литературе — helicity. § 16 СПИРАЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ 77 компоненты обращаются в нуль в системе покоя (в следующей главе мы увидим это же для полуцелых s). Согласно формулам преобразования момента (см. II, § 14) спиральность инвариантна относительно преобразований Лорен- ца, не меняющих направления р, на которое проецируется мо- мент. Поэтому число А сохраняет при таких преобразованиях свой смысл квантового числа, и для изучения свойств симмет- рии спиральных состояний можно воспользоваться системой от- счета, в которой импульс |р| <С т (в пределе — системой покоя). Тогда фр\ сведется к нерелятивистской Bs + 1)-компонентной волновой функции. Обозначим ее амплитуду через ^^A^(n), ука- зав в качестве аргумента направление п = р/|р|, вдоль которого квантуется момент. Амплитуда w^ —собственная функция опе- ратора us: nWA)(n) = Xww(n) A6.1) В спинорном представлении w^ — контравариантный симмет- ричный спинор ранга 2s; согласно формулам соответствия E7.2) (см. III) его компоненты можно перечислять также по отвеча- ющим им значениям проекции спина а на фиксированную ось В импульсном представлении волновые функции рассматри- ваемых состояний совпадают в основном с амплитудами Именно: фрХ(к) = u^x\k)S^(iy - п) = г/А)(р)<*B)A/ - п), A6.2) где импульс как независимая переменная обозначен к, в отличие от его собственного значения р, a v = к/|к|, в отличие от п = = р/|р| 2) . В нерелятивистском пределе фпХ(и) = w?\v)8{2){v - n) = ww(nM{2){u - п). A6.3) 1) Приведенные рассуждения (как и перечисление возможных значений Л) относятся к частицам с отличной от нуля массой. Для частиц с нулевой массой системы покоя не существует, а спиральность может иметь лишь два значения Л = ±s. Последнее связано с упомянутым уже в § 8 обсто- ятельством: состояния такой частицы классифицируются по их поведению по отношению к группе аксиальной симметрии, допускающей только дву- кратное вырождение уровней (с точки зрения свойств волнового уравнения это означает, что при переходе к пределу т —»¦ 0 система уравнений для частицы со спином s распадается на независимые уравнения, отвечающие безмассовым частицам со спинами s, s — 1, ... ). Так, для фотона Л = ±1, а роль соответствующих г^/Л) играют трехмерные векторы е^1) (8.2). 2) Здесь ^-функция ^^2^ определена так, что J S^2\iy — n) dou = 1. В A6.2) (и в аналогичном случае ниже, см. A6.4)) опущена ^-функция, обеспечива- ющая заданное значение энергии. 78 бозоны гл. Более подробно это выражение надо было бы написать в виде где явно указана также и дискретная независимая переменная а. Оператор спиральности !зп коммутативен с операторами jz и j2. Действительно, оператор момента связан с бесконечно ма- лым поворотом системы координат, а скалярное произведение двух векторов инвариантно по отношению к любому повороту. Поэтому существуют стационарные состояния, в которых части- ца обладает одновременно определенными значениями момента j, его проекции j'z = т и спиральности А. Будем называть такие состояния сферическими спиральными состояниями. Определим волновые функции этих состояний в импульсном представлении. Это можно сделать непосредственно по аналогии с полученными в т. III, § 103 формулами для волновых функций симметричного волчка. Они были получены там на основании формул для преобразования волновых функций при конечных вращениях (см. III, § 58). Последние, в свою очередь, основаны только на свойствах симметрии по отношению к вращениям; по- этому они применимы к функциям в импульсном представлении в той же мере, как и к координатным функциям. Наряду с фиксированной в пространстве системой координат xyz (по отношению к которой записываются функции ^-шд), вве- дем также «подвижную» систему ^г/^ с осью ? вдоль направле- ния v. Не повторяя заново соответствующих рассуждений (ср. вывод формулы A03.8) (см. III)), напишем где ?/г-д — волновая функция в «подвижной» системе координат, описывающая состояние частицы с определенным значением ("-проекции момента: j^ = А; в импульсном представлении эта функция совпадает, очевидно, с амплитудой г^л). Нормирован- ная (см. ниже) волновая функция (i A6.4) Здесь возникает, однако, вопрос о выборе фаз, связанный со следующей неоднозначностью. Поворот системы координат ^г/^ относительно xyz определяется тремя углами Эйлера а, /3, 75 направление же i/, от которого только и может зависеть волновая функция частицы, зависит лишь от двух сферических углов а = = у?, /3 = в. Поэтому надо условиться о каком-либо выборе угла 7- Будем полагать 7 = 0, т. е. определим Z?^(i/) как ? & ^1. A6.5) § 16 СПИРАЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ 79 В силу E8.21) (см. III) функции A6.5) удовлетворяют усло- виям ортогональности и нормировки: (dov = sm6d6d(p). Ортогональность же функций ^jm\ по индек- су А обеспечивается множителем г^л). Таким образом, функции ФзтХ ортогональны, как и должно быть, по всем индексам jmA, а при выбранном в A6.4) коэффициенте они нормированы усло- вием / №jm\\2dov = 1. A6.7) При этом предполагается, что амплитуды г^Л) нормированы на единицу: г/АМА)* = 1. Рассмотрим поведение волновых функций спиральных состо- яний по отношению к инверсии координат. Произведение поляр- ного вектора v на аксиальный вектор j — псевдоскаляр. Поэтому ясно, что в результате инверсии состояние со спиральностью А переходит в состояние с —А; надо лишь определить фазовые мно- жители в этих преобразованиях. При инверсии v —ь —V. Вектор v определяется двумя углами (р, #, и преобразование v —>• —v осуществляется заменой (р —>• —>• (^ + тг, в —>• тг — в. Тем самым фиксируется ось ?, но остается неопределенным полож:ение осей ^ и г/, зависящее такж:е и от третьего угла Эйлера 75 преобразование одних только в и (р не дает возможности различать в этом смысле инверсию системы координат от поворота оси ?. В терминах всех трех углов Эйлера инверсия есть преобразование а = (р —)> (р + тг, /3 = в —)> тг — б, 7^^ —7- A6.8) Поэтому, если Z?^(i/) определено согласно A6.5) (т. е. с 7 = = 0), а замена v —>• — i/ подразумевается как результат инверсии, то ?>Am(-")=?>Am(V + T^-^T)- A6"9) С помощью формул E8.9), E8.16), E8.18) (см. III) находим по- этому или ^Ат("И = (-1)~АЛ-Ат(") A6.10) (j — А — целое число). Аналогичную формулу для спинора w^ мож:но получить, (Л) заметив, что его компоненты уоа совпадают, с точностью до 80 БОЗОНЫ ГЛ. II множителя, с функциями wixHu)cxD^(u)*. A6.11) Действительно, применив формулу преобразования E8.7) (см. III) к собственным функциям спина и положив, что его ("-про- екция имеет определенное значение А (т. е. заменив в правой стороне E8.7) (см. Ill) ipjmi на Sm/\), мы найдем, что D^(y) — спиновые волновые функции, отвечающие определенным значе- ниям его z- и ("-проекций (<т и А). Совокупность этих функ- ций (а = —s,..., +s) составляет (по формулам соответствия E7.6) (см. III)) ковариантный спинор ранга 2s. Компоненты же контравариантного спинора (которым по формулам E7.2) (см. III) отвечают компоненты ига ) преобразуются как комплексно- сопряженные от компонент ковариантного спинора того же ран- га. Из A6.10),A6.11) имеем n/A)(-i/) = (-1)S-V-A)(*/) A6.12) (s — А —целое число). Операция инверсии в применении к w^ состоит однако не только в замене v —>> — i/, но и в умножении на общий фазовый множитель («внутренняя четность» частицы), который мы обозначим г/: -v) = r/(-l)s-V-A)(i/). A6.13) Для релятивистской же амплитуды г^Л)(к) это преобразование запишется в виде Ри^(к) = г]Cи^(-к) = r/(-l)s-V-A)(k), A6.14) где /3 — некоторая матрица, единичная по отношению к компо- нентам и^\ остающимся в пределе |р| —>• 0. Важно, что эта ма- трица не зависит от квантовых чисел состояния, и в этом смысле разница между A6.13) и A6.14) несущественна . Применив A6.14) к A6.2), получим закон преобразования волновых функций состояний |пА): РфпхП = 17(-1)в" Vn-AM- A6-15) Для сферических спиральных состояний, воспользовавшись A6.10) и A6.12), получим закон преобразования: = v(-l)J~SlPjm-xH- A6-16) Так, для s = l амплитуды и^ —4-векторы A6.22); при этом /3 — полно- стью единичная матрица по 4-векторным индексам: Д^ = 8^и. Для s = 1/2 (как мы увидим в следующей главе) и^ — биспинор; при этом фазовый мно- житель 7] = г, а /3 — матрица Дирака 7° (см. B1.10)). 16 СПИРАЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ 81 Состояния ipjmo преобразуются, согласно A6.16), сами через себя, т. е. обладают определенной четностью. Если же А ф 0, то определенной четностью обладают лишь суперпозиции состоя- ний с противоположными спиральностями: = ^ (^imA ± ^im-A) • A6-17) При инверсии они преобразуются сами через себя согласно Обратим внимание на то, что мы произвели в этом параграфе классификацию состояний свободной частицы с заданным мо- ментом, оперируя только с сохраняющимися величинами и не прибегая к понятию орбитального момента (использованного, на- пример, в § 6, 7 для классификации состояний фотона). В качестве примера рассмотрим случай спина 1. В системе покоя амплитуды г^л) D-векторы) сводятся к трехмерным век- торам е' >, которые и играют здесь роль амплитуд w^ '. Действие оператора спина 1 на векторную функцию е дается формулой (sie)fc = -ieikiei A6.19) (см. Ill, § 57, задача 2). Поэтому уравнение A6.1) принимает вид i[neW] = AeW. A6.20) Его решения (в системе координат ^г/^ с осью ? вдоль п) совпа- дают с циркулярными ортами G.14) : е(°) = г@, 0,1), е = т4= у/2 В системе отсчета, где частица имеет импульс р, амплитуды спи- ральных состояний — 4-векторы „(о)/* = (И ?.е(оЛ и(=ы)„ = @ ^±1)^ Aб22) \т т ) Если е — полярный вектор, то г\ = — 1. Тогда функции A6.17) (при s = 1—трехмерные векторы) имеют следующие четности: Р = (-1У, p = (-1)я ф^т0 : P = (-l)j. Выбор фазовых множителей фиксируется требованием, чтобы вычис- ленные с помощью собственных функций A6.21) матричные элементы опе- раторов спина отвечали общим определениям в т. III, § 27, 107. 82 бозоны гл. п Сравнивая с определением шаровых векторов G.4), мы видим, что эти функции тождественны (с точностью до фазовых мно- жителей) соответственно с Y^, Y^, Y^. Определив фазовые множители (скажем, путем сравнения значений при 6 = 0), по- лучим следующие равенства: " jm (j — целое число!); е(Л)' = [пе(л)] —циркулярные орты в осях ^'rfX повернутых относительно ^г/^ на 90° вокруг оси ?. Последняя из формул A6.23) эквивалентна выражению E8.23) (см. III) для (г^{в). Из первой же (или второй) формулы (i) можно получить простое выражение для функций (ц_[т. Имеем 2? + 1 п(Я _ и±\т — Скалярное произведение в правой стороне равенства раскрываем в системе ?7/?, причем д^ дп/ \дв' sin(9 дш)' дц) \дв sin(9 д(р. Вспомнив определение G.2) функции Yjm и определение A6.5), получим в результате m > 0. A6.24)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Спиральные состояния частицы 2» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 