Частица со спином 1 описывается в ее системе покоя трехком- понентной волновой функцией — трехмерным вектором (о такой частице часто говорят как о векторной). По своему четырех- мерному происхождению это могут быть три пространственные компоненты 4-вектора ф^ (пространственноподобного) или же смешанные компоненты антисимметричного 4-тензора второго ранга ф^, у которых в системе покоя обращается в нуль времен- ная (ф°) и пространственные (фгк) компоненты х) . Волновое уравнение — дифференциальная связь между вели- чинами ф^, ф^р — устанавливается соотношениями, которые мы запишем в виде A4.2) Забегая вперед, укажем, что совокупности 4-вектора ф^ и 4-тензора фи^ отвечает совокупность четырехмерных спиноров второго ранга <J , ^о, С , причем ^af3 и 77а/з — симметричные спиноры, переходящие друг в друга при инверсии (см. § 19). § 14 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1 71 где р = id (А. Ргоса, 1936). Применив к обеим сторонам урав- нения A4.2) операцию j5^, получим (ввиду антисимметрично- сти фпу) р»ф^ = 0. A4.3) Из A4.1, 14.2) можно исключить фц„, подставив первое урав- нение во второе. Учитывая A4.3), получаем (р2 - т2^ = 0, A4.4) откуда снова (ср. § 10) видно, что т — масса частицы. Таким образом, свободную частицу со спином 1 можно описывать все- го одним 4-вектором ф^, компоненты которого удовлетворяют уравнению второго порядка A4.4), а также и дополнительно- му условию A4.3), исключающему из ф^ часть, принадлежащую спину 0. В системе покоя, где ф^ не зависит от пространственных ко- ординат, найдем, что р°фо = 0. Поскольку в то же время р°фо = = тфо, мы видим, что в системе покоя ^о = 0, как и должно быть. Вместе с фо обращаются в нуль также и ф^. Частица со спином 1 может обладать различной внутренней четностью —в зависимости от того, является ли ф^ истинным вектором или псевдовектором. В первом случае а во втором Уравнения A4.1),A4.2) могут быть получены из вариацион- ного принципа с лагранжианом: L = A/2) ф^Ж"* ~ A/2)ф^*(д^ - dv%) - - A/2)</>И^€ " диф1) + т2ф^*. A4.5) Роль независимых обобщенных координат играют в нем ф^ ?/>*, Для нахождения тензора энергии импульса формула A0.11) в данном случае не вполне удобна, так как она привела бы к несимметричному тензору, который нуждался бы еще в допол- нительной симметризации. Вместо этого можно воспользоваться формулой 1) Если бы мы производили варьирование только по ф^ (предполагая зара- нее ф^и выраженными через ф^ согласно A4.1)), то уравнение A4.3) должно было бы вводиться как дополнительное условие, не связанное с вариацион- ным принципом. 72 бозоны гл. п в которой предполагается, что L выражено в виде, относящемся к произвольным криволинейным координатам (см. II, § 94). Если L содержит только компоненты самого метрического тензора g^v (но не их производные по координатам), то формула упрощается: т _ 2 d^TgL _ dL _ т (напомним, что d Ing = —g^dg^). Поскольку дифференцирование в формуле A4.6) производит- ся не по величинам ф^ Ф^у, ПРИ ее применении необязательно считать эти величины независимыми; можно сразу воспользо- ваться связью A4.1) и переписать лагранжиан A4.5) в виде L = (-1/2) WV>V/VP + m2VvVC<T• A4.7) Тогда (A/2) фХ A4.8) В частности, плотность энергии дается существенно положитель- ным выражением Too = A/2) фгкФ1к + ФогФш + Ш2 (фОф*о + фгф*) . A4.9) Сохраняющийся 4-вектор плотности тока дается выражением f = i {ф^*ф„ - гГФ1) ¦ A4.10) Его можно найти согласно формуле A2.12) дифференцировани- ем лагранжиана A4.5) по производным д^фу. В частности, A4.11) и не является существенно положительной величиной. Плоская волна, нормированная на одну частицу в объеме V = l: . ^ =-LiVT**, «„«"' = -1, A4.12) где и^—единичный 4-вектор поляризации, удовлетворяющий (в силу A4.3)) условию четырехмерной поперечности и^ = 0. A4.13) Действительно, подставив функцию A4.12) в A4.9) и A4.11), по- лучим Too = -2е2ф^* = е, j° = 1. В противоположность фотону векторная частица с ненуле- вой массой имеет три независимых направления поляризации. Соответствующие им амплитуды см. A6.21). § 14 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1 73 Поляризационная матрица плотности для частично поляри- зованных векторных частиц определяется таким образом, чтобы в чистом состоянии она сводилась к произведению * Р/11У — ^\1^1> (аналогично выражению (8.7) для фотонов). Согласно A4.12), A4.13) она удовлетворяет условиям рРр^ = 0, р? = -1. A4.14) Для неполяризованных частиц матрица p^v должна иметь вид Щц.» + ^V^Vv- Определив коэффициенты а и b из A4.14), найдем в результате /V = ~з Квантование поля векторных частиц производится аналогич- но скалярному случаю, и нет необходимости повторять заново все рассуждения, ^-операторы векторного поля имеют вид (~+ («)* грх - (а) -грх\ ^^ I flpa\ е -\- Ораи„ е I , \ / где индекс а нумерует три независимые поляризации. Положительная определенность выражения A4.9) для Too и неопределенность j° A4.11) приводят, как и в скалярном случае, к необходимости квантования по Бозе. Существует тесная связь между свойствами истинно ней- трального векторного и электромагнитного полей. Нейтральное векторное поле описывается эрмитовым ^-оператором: 'Т4 X ^ 1 Фа — У ра Лагранжиан этого поля Электромагнитному полю отвечает случай т = 0. При этом 4-вектор ф^ становится 4-потенциалом А*1, а 4-тензор ф^у —тен- зором поля F^v, связанным с потенциалом определением A4.1). Уравнение A4.2) превращается в д^ф^ = 0, что соответствует второй паре уравнений Максвелла. Из него уже не следует усло- вие A4.3), которое, таким образом, перестает быть обязатель- ным. Ввиду отсутствия дополнительного условия нет необходи- мости рассматривать в лагранжиане фи и фпУ как независимые 74 бозоны гл. п «координаты», и лагранжиан A4.18) сводится к L = -A/4)ф^ф>* A4.19) в согласии с известным классическим выражением лагранжиа- на электромагнитного поля. Этот лагранжиан, вместе с тензором V*jlm/j инвариантен по отношению к произвольному калибровочно- му преобразованию «потенциалов» ф^. Ясно видна связь этого обстоятельства с нулевой массой: лагранжиан A4.18) не облада- ет этим свойством благодаря члену т^ф^ф^.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Волновое уравнение для частицы со спином 1» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Забегая вперед, укажем, что совокупности 4-вектора ф^ и 4-тензора фи^ 